半素環(huán)上的左理想①

劉雙雙

(吉林師范大學(xué)研究生院，吉林 長春130000)

0 引 言

本文中，R 是結(jié)合環(huán)，I 是R 的左理想，d 是R 的導(dǎo)子，F(xiàn) 是R 的廣義導(dǎo)子.Daif 和Bell［1］證明了若R是帶有非零左理想I 的半素環(huán)，d 是R 的導(dǎo)子，使得d(［x，y］)=±［x，y］，x，y ∈I，，則R 是可交換的.最近，Quadri et al.［2］已經(jīng)將這一結(jié)果推廣到素環(huán)的廣義導(dǎo)子上.

Basudeb Dhara［3］又在半素環(huán)的情況下研究了［2］的結(jié)果.本文中，我們將在半素環(huán)的左理想上討論相似的恒等式.

1 主要結(jié)果

定理1 R 是2－扭自由半素環(huán)，I 是R 的非零左理想.d:R →R 是R 的非零導(dǎo)子，F(xiàn):R →R 是R 的廣義導(dǎo)子.若F(u)u=ud(u)，u ∈I，則［I，I］d(I)=0.

證明: 由假設(shè)知，

在(1)中令u=u+v，得到

在(2)中令v=vu，得到

在(3)中令v=ωv，得到［u，ω］vd(u)=0 u，v，ω ∈I

由于I 是非零左理想，則有［u，ω］Rvd(u)=0 u，v，ω ∈I.由于R 是半素環(huán)，它必包含一個素理想的集族Ω={Pα|α ∈Λ}，使得∩α∈ΛPα={0}［4］.若P 是Ω 的典型元，x ∈I，則有［x.I］?P 或Id(x)?P.對于給定P，集合T1={x ∈I|［x，I］?P}與T2={x ∈I|Id(x)?P}是I 的兩個可加真子群，則I=T1∪T2.因此I=T1或I=T2，即［I，I］?P 或Id(I)?P，則有［I，I］d(I)?P，?P ∈Ω，.于是［I，I］d(I)?∩α∈ΛPα=0.

定理2 R 是2－扭自由半素環(huán)，I 是R 的非零左理想.d:R →R 是R 的非零導(dǎo)子，F(xiàn):R →R 是R 的廣義導(dǎo)子.若d(u2)=2F(u)u，u ∈I，則［I，I］d(I)=0.

證明: 有假設(shè)知d(u2)=2F(u)u，u ∈I，即，

由上式的線性變換得到

在上式中令v=vu，得到

即，

在(7)中令v=ωv，得到［u，ω］vd(u)=0，u，v，ω ∈I.因此有［u，ω］Rvd(u)=0.接下來的討論過程與定理1 相同，即可得到［I，I］d(I)=0.

定理3 R 是2－扭自由半素環(huán)，I 是R 的非零左理想.d:R →R 是R 的非零導(dǎo)子，F(xiàn):R →R 是R 的廣義導(dǎo)子.若［F(u)，u］=0，u ∈I，，則［I，I］d(I)=0.

證明: 有假設(shè)知，

由上式的線性變化得到

在上式中令v=vu，得到

在(10)中令v = ωv，得到［ω，u］vd(u)=0 u，v，ω ∈I，因此有［u，ω］Rvd(u)=0.接下來的討論過程與定理1 相同，即可得到［I，I］d(I)=0.

［1］ M.N.Daif and H.E.Bell.Remark on Derivations on Semiprime Ring［J］.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences，vol.15，no.1，pp.205－206，1992.

［2］ M.A.Quadri，M.S.Khan，and N.Rehman.Generalized Derivations and Commutativity of Prime Ring，Indain［J］.Journal of Pure and Applied Mathematics，vol.34，no.9，pp.1393－1396，2003.

［3］ B.Dhara.Remark on Generalized Derivations in Prime and Semiprime Rings［J］.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences，vol.2010，Article ID 646587，6 pages，2010.

［4］ Basudeb Dhara and Atanu Pattanayak.Generalized Derivations and Left Ideals in Prime and Semiprime Rings［M］.Interinational Scholarly Research Network ISRN Algebra Volume 2011，ARticle ID 750382，5 pages doi:10.5402 /2011/750382.