關(guān)于非線性退化時滯微分方程解的研究①

王 健，張志信，蔣 威

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601)

0 引 言

近年來，控制系統(tǒng)引起了國內(nèi)外許多學(xué)者們的廣泛研究.在控制系統(tǒng)是否穩(wěn)定和穩(wěn)定時對其解是否可控制的方面正吸引著許多學(xué)者們孜孜不倦的探索著.雖然現(xiàn)在已經(jīng)在系統(tǒng)穩(wěn)定性［1～4］的研究上取得了豐碩的重要的成果，但都只是在常微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題上，而關(guān)于退化的時滯微分系統(tǒng)的研究中，結(jié)果相對較少，而時滯現(xiàn)象普遍存在于實(shí)際系統(tǒng)中，是我們在系統(tǒng)建模時必須要考慮的重要因素之一.目前關(guān)于退化時滯微分方程的研究已引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，并取得了一定的理論成果［5～8，10～16］，而且隨著科技發(fā)展和實(shí)際建模的復(fù)雜性提高，退化時滯微分系統(tǒng)廣泛的用于控制系統(tǒng)，管理系統(tǒng)，工程系統(tǒng)，金融分析系統(tǒng)等許多科學(xué)和工程系統(tǒng)中，所以研究這類退化時滯微分系統(tǒng)具有十分重要的實(shí)際意義.本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，研究了含有退化和時滯現(xiàn)象的非線性系統(tǒng)的解的估計問題，所研究的非線性系統(tǒng)具有很重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價值.

在文獻(xiàn)［7］中討論了對退化多時滯微分系統(tǒng):

作者在系統(tǒng)是正則的條件下給出解的存在性和指數(shù)估計的充分條件.

文獻(xiàn)［8］對退化中立型退化多時滯微分系統(tǒng):

作者給出了此系統(tǒng)解的存在性和指數(shù)穩(wěn)定問題.

本文主要討論了如下非線性退化時滯微分系統(tǒng)的解的存在性和指數(shù)估計問題

其中E ∈Rn×n，E ≠0，|E|=0，τ ＞0，矩陣對(E，A)是正則的，x(t)，φ(t)，f(t，x(t－τ))∈Rn，且有x(t)，f(t，x(t－τ))在(t ＞0)上是連續(xù)函數(shù)，并且φ(t)，f(t，x(t－τ))是有界函數(shù).

1 預(yù)備知識

定義1.1 對矩陣對(E，A)，若存在不全為零的常數(shù)λ 使得det(λE+A)不恒等于0，則稱(E，A)是正則的.若det(λE+A)不恒等于常數(shù)，則稱矩陣對(E，A)是嚴(yán)格正則的.

引理1.1［9］系統(tǒng)

的解存在唯一的充要條件是矩陣對(E，A)是正則的.

引理1.2［9］如果矩陣對(E，A)是正則的，則存在可逆矩陣P，Q 使得

其中n1+n2=n，In1和In2分別是n1，n2階單位矩陣，Nn2是n2階冪零矩陣.

引理1.3［10］Gromwell 不等式，若u(t)，α(t)都是［a，b］上連續(xù)的實(shí)函數(shù)，β(t)≥0 在［a，b］上可積，α(t)非減，且有:

則必有:

引理1.4［11］設(shè)D 為微分算子，N 為冪零矩陣，則算子(ND－I)－1存在且為有界線性算子.

2 解的存在性

定理1: 若系統(tǒng)(3)是正則的，則存在滿足初始條件的解x(t)(t ＞0).

證明: 因?yàn)榫仃噷?E，A)是正則的，所以存在可逆矩陣P，Q 使得，其中A1是n1維的，并且n1+n2=n，這里令所以系統(tǒng)(3)就化為:

(5)方程的兩邊得到方程:

是可逆的矩陣)所以(6)和(5)是同解的.

b)對(6)第二個式子首先考慮t ∈［0，τ］時，

d)在區(qū)間［τ，2τ］上，利用b)中的方法在由a)和b)可得解(t)，(t ∈［τ，2τ］)也是存在且唯一的;

e)在其他區(qū)間［iτ，(i+1)τ］，(i ＞1)上，由上訴的方法類似證明可知方程的解是存在且唯一的，綜上所述可知，當(dāng)t ≥0 時(6)的解是存在的，即系統(tǒng)(3)解是存在的.

證畢.

3 解的指數(shù)估計

定理2: 設(shè)x(t)為(3)的解，若系統(tǒng)(3)是正則的，且有界連續(xù)函數(shù)g(t，x(t－τ))滿足Lipchitz條件的，則存在正常數(shù)a，b，使得:x(t)≤aebt

證明: 下面考慮系統(tǒng)(3)的等價方程(6)，

a)對方程(6)第一個式子兩邊同時積分0 →t，由于

b)對(6)第二個方程，在0 ≤t 時，

由引理2.4 可知(ND－I)是可逆的有界算子，設(shè)|(ND－I)|－1|≤M2，(M2＞0)，所以上式可化為:

聯(lián)立(7)和(8)式得:

則(9)式變?yōu)?

其中:

由引理2.3 Gromwell 不等式得:

又因?yàn)?3)和(6)同解則:

即系統(tǒng)(3)的解可指數(shù)估計.

證畢.

4 中立型的研究

對于非線性中立型退化時滯微分方程:

令:

則對(10)系統(tǒng)第一個方程整理得:

聯(lián)立方程(11)和(12)得:

設(shè):

則(10)可以化為:

則(10)和(13)同解的，且將非線性中立型退化時滯微分方程轉(zhuǎn)化為一般的非線性退化時滯微分方程研究，其也有解的存在性和指數(shù)估計.

具體例子:考慮如下系統(tǒng):

所以有:a=5，b=2

則系統(tǒng)(14)的解滿足:

［1］ Mao X.Exponential Stability of Nonlinear Differential Delay Equations［J］.Systems and Control Letters，1996，(28):159－165.

［2］ Jie Chen.On Computing the Maximal Delay Intervals for Stability of Linear Delay Systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1995，(40):1087－1093.

［3］ John Chiasson.A Method for Computing the Interval of Delay Values for Which a Differential－delay System is Stable［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1988(33):1176－1178.

［4］ Brierley S D，Chiasson J N，Zak S H.On Stability Independent of Delay for Linear Systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1982，(27):252－254.

［5］ 蔣威.時變退化時滯微分系統(tǒng)的變易公式［J］.數(shù)學(xué)年刊，2003，24A(2):161－166.

［6］ 王曉佳.廣義時滯微分方程的漸近穩(wěn)定性和數(shù)值分析［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2008，28(4):13－16.

［7］ 周先鋒.關(guān)于退化多時滯泛函微分方程解的研究［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009，22(1):177－184.

［8］ 王曉佳.退化時滯中立型微分系統(tǒng)解的存在唯一性及指數(shù)估計［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011，24(2):384－390.

［9］ Gnatcatcher FR.The Theory of Matrices，Vol.2［M］.New York:Chalse，1974.

［10］ 鄭祖庥.泛函微分方程理論［M］.合肥:安徽教育出版社，1994.

［11］ 蔣威.退化時滯微分系統(tǒng)［M］.合肥:安徽大學(xué)出版社，1998.

［12］ Dai L.Singular Control Systems［M］.New York:Springer，1989.

［13］ Campbell S L.Singular Systems of Differential Equations［M］.San Francisco:Pitman Advanced Publishing Program，1980.

［14］ 楊冬梅，等.廣義系統(tǒng)［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［15］ 蘇曉明，等.廣義周期時變系統(tǒng)［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［16］ 秦元勛，等.帶有時滯的動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性(第2 版)［M］.北京:科學(xué)出版社，1989.