解析并推廣2014年“北約”自主招生不等式試題

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(勝利第一中學(xué) 山東東營(yíng) 257027)

證法6

題目

已知正實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn滿足x1x2…xn=1，求證：

證法1

證法2

由AM-GM不等式知

(1)

由平均值不等式得

證法4

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)不等式成立，即

則當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤1x2…xkxk+1=1，所以至少存在2個(gè)數(shù)，其中一個(gè)不大于1，另一個(gè)不小于1，不妨設(shè)xk≤1，xk+1≥1，從而(xk-1)(xk+1-1)≤0，則xk+xk+1≥1+xkxk+1.由x1x2…xk-1(xkxk+1)=1以及n=k的假設(shè)知

故當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.

綜合(1)(2)知，不等式對(duì)任意正整數(shù)n均成立.

證法5

于是f(x)是凸函數(shù).由琴生不等式得

證法6