第58屆IMO平面幾何題命題探秘

江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué) (222200) 仇玉祥

人教版、蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-1《幾何證明選講》都選用了下列經(jīng)典例題：

圖1

原題如圖1，⊙O1、⊙O2交于點(diǎn)S、K，直線RT過點(diǎn)S，與⊙O1、⊙O2分別交于點(diǎn)R、T，直線HB過點(diǎn)K，與⊙O1、⊙O2分交于點(diǎn)H、B，求證：RH∥TB．

延長HR到點(diǎn)Z，并連結(jié)SK，注意到∠ZRS=∠HKS=∠STB，即知RH∥TB．

下面，讓我們來看看這道經(jīng)典例題是如何被盧森堡數(shù)學(xué)奧林匹克命題專家巧妙演繹為國際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)平面幾何試題的.

1.極端化

如圖1，記RH所在直線為l，令點(diǎn)H、B分別在⊙O1、⊙O2上運(yùn)動(直線HB過點(diǎn)K)，當(dāng)點(diǎn)H趨近于點(diǎn)R并最終與點(diǎn)R重合時，直線l由割線變?yōu)榍芯€(切點(diǎn)為R)，顯然有l(wèi)∥TB，于是我們得到：

圖2

命題1 如圖2，⊙O1、⊙O2交于點(diǎn)S、K，直線l與⊙O1相切于點(diǎn)R，射線RS、RK與⊙O2分別交于點(diǎn)T、B，則l∥TB．

命題1是人教版原初中數(shù)學(xué)課本中的經(jīng)典習(xí)題．

2.特殊化

如圖2，令點(diǎn)R在⊙O1上運(yùn)動，同時點(diǎn)T、B在⊙O2上運(yùn)動(直線RT過點(diǎn)S，直線RB過點(diǎn)K)，到點(diǎn)S為線段RT的中點(diǎn)時運(yùn)動停止，命題1顯然成立．于是我們得到：

圖3

命題2 如圖3，⊙O1、⊙O2交于點(diǎn)S、K，直線RT過點(diǎn)S，與⊙O1、⊙O2分別交于點(diǎn)R、T(點(diǎn)S為線段RT的中點(diǎn))，射線RK與⊙O2交于點(diǎn)B，直線l與⊙O1相切于點(diǎn)R，則l∥TB．

3.縱深化

如圖4(在圖3的基礎(chǔ)上)，連結(jié)BS，并延長交直線l于點(diǎn)A，連結(jié)AT、AK、KT、SJ，設(shè)AK與⊙O1交于點(diǎn)J，注意到RA∥TB，知∠ARS=∠BTS，∠RAS=∠TBS，結(jié)合RS=TS，即知ΔRAS≌ΔTBS，從而知RA∥TB，故四邊形RATB是平行四邊形，于是ATRB．

注意到∠SJK=∠SRK=∠ATS，知A、J、S、T四點(diǎn)共圓，記此圓為⊙O3．再注意到

∠KTS=∠SBK=∠TAS，KT與⊙O3相切于點(diǎn)T．

4.構(gòu)造賽題

在圖4中，去掉⊙O2以及線段AT、AB、BT、RB，添加線段JT，并將⊙O1、⊙O3分別替換成Ω、Γ，即可構(gòu)作2017年7月在巴西里約熱內(nèi)盧舉辦的第58屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)第4道賽題：

圖4 圖5

[1]第58屆IMO試題[J].中等數(shù)學(xué)，2017，8.

[2]姚一雋．第58屆IMO試題解答[J].中等數(shù)學(xué)，2017，9.