巧用數(shù)形結(jié)合解最值與范圍問題

河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (475001) 盧 陽

最值與范圍問題作為高考常考題型，分布在函數(shù)、線性規(guī)劃、不等式、向量等問題中，具有較強(qiáng)的綜合性.數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用往往可使這些問題變得更直觀、簡(jiǎn)捷，并可以很好地考察學(xué)生知識(shí)間的建構(gòu)情況，下?lián)駭?shù)例說明之.

一、函數(shù)問題中的數(shù)形結(jié)合

函數(shù)中的最值和范圍問題通常采用求導(dǎo)、判別式法、直接觀察法、換元法等.但一些問題用常規(guī)方法不易或不能處理，此時(shí)如能找到函數(shù)的幾何意義，往往會(huì)迅速找到解題思路.

圖1

點(diǎn)評(píng)：該題使函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的幾何問題，讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的魅力，提高學(xué)生對(duì)此方法的興趣，減少學(xué)生對(duì)難題的畏難心理.

圖2

圖3

點(diǎn)評(píng)：此類問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn).該題從不同角度進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.引入了具有良好的代數(shù)與幾何性質(zhì)的圓和具有數(shù)與形于一體的向量，使學(xué)生體會(huì)到如何思考和解決以形代數(shù)的問題.我們要借助此題引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的觀念.

二、線性規(guī)劃中的數(shù)形結(jié)合

線性規(guī)劃問題常見模型有斜率型、點(diǎn)到直線距離型、兩點(diǎn)間距離型，但在中學(xué)階段還可以有很多其他類型的線性規(guī)劃問題.接下來，我們看兩例結(jié)合圓錐曲線的線性規(guī)劃問題.

圖4

圖5

分析：此題和上題一樣，可行域很容易確定.但目標(biāo)函數(shù)不常規(guī)，觀察x2+2y2，令k=x2+2y2，可以看出這是一個(gè)中心在原點(diǎn)的橢圓.

點(diǎn)評(píng)：例3、例4為求圓錐曲線類的目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，巧妙的將學(xué)過的幾個(gè)圓錐曲線融合到該類問題，可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察和探索能力，并讓他們感受到知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.

三、向量問題中的數(shù)形結(jié)合

向量是具有“數(shù)”與“形”于一體的數(shù)學(xué)概念，是各個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系的橋梁.我們?cè)诮鉀Q向量問題時(shí)，合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以使抽象問題直觀化，從而降低問題難度.

圖6 圖7 圖8

點(diǎn)評(píng)：該題以常見的數(shù)形結(jié)合模型向量為載體，考察圓心距、向量垂直有關(guān)知識(shí).其中由向量垂直想到圓是常見的思維過程，應(yīng)該多加注意.

四、求參數(shù)范圍中的數(shù)形結(jié)合

求參數(shù)范圍是導(dǎo)函數(shù)問題中的?？碱}，一般可采取分離參數(shù)法、分類討論、數(shù)形結(jié)合.簡(jiǎn)單問題用前兩種方法很好處理，但復(fù)雜問題分離參數(shù)后計(jì)算量較大，且需要利用洛必達(dá)法則.如若可以將復(fù)雜函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合，會(huì)降低解題難度，使問題很好解決.

例6 已知函數(shù)f(x)=x|x-a|+(a-1)x-2有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析：觀察此題發(fā)現(xiàn)用分離參數(shù)法需要分類討論，比較麻煩.如果分離函數(shù)并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合將會(huì)大大加快解題效率.

圖9

點(diǎn)評(píng)：此題采用分離函數(shù)法，將復(fù)雜問題變成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的問題，大大減少了計(jì)算量，并且說明起來很方便.在此類問題中數(shù)形結(jié)合往往可以起到關(guān)鍵作用，應(yīng)多加體會(huì).

五、小結(jié)

通過以上幾例，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)的很多模塊都起著不可或缺的作用，可以加快解題速度，降低思維難度.更重要的是，能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性，提高對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.教師在教學(xué)中應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來解決問題，并應(yīng)該有意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，形成對(duì)常見圖形的敏銳直覺，使之內(nèi)化到他們的知識(shí)體系中.

[1]魏芳.數(shù)形結(jié)合,讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義[J].教學(xué)與管理,2012,(32):33-34.

[2]陳玉娟.數(shù)形結(jié)合思想貴在“結(jié)合”——一類問題錯(cuò)解引發(fā)的思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2012(10):38-41.

[3]劉驍.探究在參數(shù)取值范圍中數(shù)形結(jié)合法的慣用技巧[J].文理導(dǎo)航·教育研究與實(shí)踐,2016,(11):151-152.