退到基本的方程函數(shù)上，跳出困境解難題

貴州省畢節(jié)市梁才學(xué)校 (551700) 熊福州

多元函數(shù)t=G(x,y,z)(F(x,y,z)=0)中，人為定義域F(x,y,z)=0又叫約束條件，求這類函數(shù)最值問(wèn)題，在高考和競(jìng)賽中比較常見(jiàn)，命題者多伴是從比較難想到的技巧轉(zhuǎn)化為用均值不等式或柯西不等式解決設(shè)計(jì)的，解題者按命題者的思路解就中計(jì)了，陷入冥思苦想而不得解的困境，若能退到基本的方程函數(shù)上，則可跳出困境，解決問(wèn)題.

例1 (2006年全國(guó)高考重慶卷文第12題)若a,b,c>0，且a2+2ab+2ac+4bc=12，則a+b+c的最小值是 .

例2的參考解答很不易想到，為便于比較，先把參考解答過(guò)程詳錄于下.

注：例2中，z(x2)是二次函數(shù)，z(x2)min和

z(x2)max可直接由二次函數(shù)在閉區(qū)間上求得，只是配方過(guò)程中的運(yùn)算比較繁，故本文用略顯簡(jiǎn)單些的導(dǎo)數(shù)法,解題過(guò)程為消元將三元函數(shù)化為二元函數(shù)，再認(rèn)一元(主元，即自變量)定一元(次元，即參數(shù))求最值，最后求次元(參數(shù))為自變量的函數(shù)最值，凡是元不多(不超過(guò)3個(gè))，次數(shù)不高(不超過(guò)3次)的函數(shù)求最值，當(dāng)用已知不等式(如均值不等式，柯西不等式等)不易解決(因?yàn)楹茈y想到怎樣變形轉(zhuǎn)化，即變形技巧很強(qiáng))時(shí)，不妨退到用函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性，極限)求函數(shù)的值域上，通過(guò)基本的換元，消元，認(rèn)元逐步解決，運(yùn)算雖然繁一點(diǎn)，但好想，且問(wèn)題本質(zhì)暴露無(wú)遺(如例2中取最小值的自變量不唯一，是兩組，即x3=1,x2=x1=0，或x3=0,x2=1,x1=0時(shí)，zmin=1).

f(b)max=g(c)=