平面幾何中“+=”型問題的新證法

324300 浙江省開化縣第二中學(xué) 曹嘉興

324300 浙江省開化縣第二中學(xué) 曹嘉興

基本引理 如圖1，已知 AB∥EF∥CD，則

圖1

證明 因?yàn)锳B∥EF∥CD，

圖2

例1 如 圖 2，在△ABC中，已知 AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于點(diǎn)E.

證明 過點(diǎn)B作BF∥DE與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，因?yàn)镈E∥AC，所以BF∥AC，于是∠F=∠CAD，又因?yàn)?/p>

例2 如圖3，已知∠POR=120°，OQ 平分∠POR，直線 l分別交 OP，OQ，OR 于 A，B，C.

圖3

證明 延長(zhǎng)AO至點(diǎn)D使OD=OC，延長(zhǎng) CO至點(diǎn) E使OE=OA，連接 CD，AE.易知△OCD，△OAE均為正三角形，故得CD∥OB∥AE.

例3 如圖4，在 Rt△ABC中，⊙O的圓心在斜邊AB上，直角邊 AC，BC分別切半圓于G，F(xiàn)，⊙O 交斜邊 AB 于 D，E.

圖4

證明 延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M使CM=AC，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)N使CN=BC，并連接 AM，BN，OC，OF，OG.易知△ACM，△BCN均為等腰直角三角形，且四邊形OFCG為正方形，

故得AM∥OC∥BN.

例4 如圖5，△ABC是等腰三角形，過底邊BC的中點(diǎn)D任意作一直線l分別交一腰和另一腰的延長(zhǎng)線于M，N兩點(diǎn)，設(shè)AC的中點(diǎn)為E.

圖5

證明 連接DE，過點(diǎn)N作NF∥DE與ME的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，由三角形的中位線定理可知AB∥DE∥NF.

在“山”字形AMDNFE中，

圖6

例5 如圖6，在△ABC中，四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接正方形，AM是BC邊上的高，高AM分別交 BC，DG 于 M，N.

證明 過點(diǎn)B作BH∥DE與AE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，

易知BH∥DE∥AM.

又因?yàn)镈E=DG，所以BH=BC，又DE=EF，

例6 如圖7，△ABC是直角三角形，分別以直角邊AC，BC為邊向形外作正方形 ACDE，BCFG，連接 BE，AG分別交 AC，BC于 R，S.

圖7

證明 過點(diǎn)R作RH∥BC交AB于點(diǎn)H，易知AE∥RH∥BC.

例7 如圖8，已知A，B，D三點(diǎn)共線，△ABC，△BDE都是正三角形，連接CD，AE，分別交 BE，BC于G，F(xiàn).

圖8

證明 過點(diǎn)F作FH∥AC交AB于點(diǎn)H，

易知AC∥FH∥BE.

在“山”字形CAHBEF中，利用基本引理得

顯然△BFH是正三角形，所以FH=BF.

又因?yàn)锽E=DE，

圖9

例8 如圖9，在△ABC中，∠A ∶∠B ∶∠C=1 ∶2 ∶4.

證明 不妨設(shè)∠CAB=α，則∠ABC=2α，∠ACB=4α.

在△ABC的內(nèi)部作∠ACD=α交AB于點(diǎn)D，

則∠CDB=2α =∠ABC，于是 CD=CB=a.

過點(diǎn)B作BE∥CD與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，

過點(diǎn)A作AF∥CD與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，

易知∠E=∠ACD=α，∠F=∠DCB=3α=∠ACF，

故得 BE=BA=c，AF=AC=b.顯然 AF∥CD∥BE.

在“山”字形FADBEC中，利用基本引理得

20110406)