解答任意四邊形問題的四種作輔助線的技巧

楊再發(fā)

1 已知四邊形四邊長，且有一個角是直角，用連接對角線法

例1 如圖1，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積.

解 連接AC，

在△ABC中，因為

∠B=90°，BC=3，AB=4，

所以AC=AB2+BC2=42+32=5，

所以S△ABC=12AB×BC=12×4×3=6，

因為AD=13，CD=12，

因為132=122+52，

所以AD2=AC2+CD2，

所以△ACD是直角三角形，

且∠ACD=90°，

則S△ACD=12AC×DC=12×5×12=30，

所以S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36.

例2 如圖2，在四邊形ABCD中，AB=26，BC=24，CD=6，AD=8，∠ADC=90°，求四邊形ABCD的面積.

解 連接AC.

在△ADC中，因為

∠ADC=90°，AD=8，CD=6，

所以由勾股定理得AC=10，

S△ACD=12AD×CD=12×8×6=24，

因為AB=26，BC=24，

262=242+102，

所以AB2=AC2+BC2，

所以△ACB是直角三角形，

且∠ACB=90°，

所以S△ACB=12AC×BC=12×10×24=120，

則S四邊形ABCD=S△ACB-S△ACD=120-24=96.

例3 如圖3，在四邊形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1，且∠B=90°，求∠DAB的度數(shù).

解 連接AC，

因為AB∶BC∶CD∶DA

=2∶2∶3∶1，

設(shè)AB=BC=2x，

由CD=3x，AD=x.

因為∠B=90°，

所以∠BAC=∠BCA=45°，

由勾股定理得

AC=22x，

因為（3x）2=（22x）2+x2，

所以CD2=AC2+AD2，

即△CAD是直角三角形，

且∠DAC=90°，

所以∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°.

2 分別延長對邊法

例4 圖4

如圖4，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四邊形的面積.

解 分別延長AD，BC交于點E，

因為∠A=60°，∠B=∠D=90°，

所以∠E=30°，∠CDE=90°，

因為AB=2，CD=1，

所以AE=4，CE=2，

由勾股定理得

DE=CD2-CD2=22-12=3，

BE=AE2-AB2=42-22=23，

所以S△ABE=12BE×AB=12×2×23=23，

S△CDE=12CD×DE=12×1×3=32，

所以S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=23-32=332.

例5 如圖5，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠DCB互余，求證：BD2+AC2=AD2+BC2.

解 分別延長BA，CD交于點E，

因為∠ABC與∠DCB互余，

所以∠E=90°，

即△BEC，△EAD，△BDE，△CAE是直角三角形，

即BD2=BE2+DE2，

AC2=CE2+AE2，

所以BD2+AC2=（BE2+CE2）+（DE2+AE2），

因為AD2=AE2+DE2，

BC2=BE2+CE2，

所以BD2+AC2=AD2+BC2.

3 既延長對邊又連接對角線法

例6 圖6

如圖6，四邊形ABCD中，∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，求AD的長.

解 分別延長AD，BC交于點E，連接AC，

因為∠B=90°，

∠DAB=60°，

所以∠E=30°，

又因為∠ADC=90°，

所以∠CDE=90°，

因為CD=2，

所以CE=4，AE=2AB，

所以DE=CE2-CD2=42-22=23，

因為BC=1，

所以BE=5，

因為AE2=AB2+BE2，

所以4AB2=AB2+52，

AB=533，

因為AC2=AB2+BC2，

AC2=AD2+CD2，

所以AD2=AB2+BC2-CD2

=5332+12-22，

AC=433.

4 借特殊角構(gòu)成特殊的直角三角形

例7 圖7

如圖7，在四邊形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=2，BC=3-3，CD=23，求AD的長.

解 過點A作AE⊥CB的延長線于點E，過點D作DF⊥BC的延長線于點F，過點A作AG⊥DF于點G，

所以四邊形AEFG是矩形，

所以EF=AG，

因為∠ABC=135°，∠BCD=120°，

所以∠ABE=45°，∠DCF=60°，

則∠ABE=∠BAE=45°，

∠CDF=30°，

因為AB=2，

BC=3-3，CD=23，

由勾股定理得

CF=3，BE=AE=1，DF=3，

所以EF=AG=BE+BC+CF

=1+3-3+3=4，

DG=DF-FG=DF-AE=3-1=2，

由勾股定理得

AD=AG2+DG2=42+22=25.