對(duì)角線

組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線所穿越的小正方形個(gè)數(shù)研究:不難發(fā)現(xiàn),由6×2個(gè)小正方形組成的長(zhǎng)方形,它的對(duì)角線穿過6個(gè)小正方形(如圖1).由7×5個(gè)小正方形組成的長(zhǎng)方形,它的對(duì)角線穿過11個(gè)小正方形(如圖2).問題(1)由2022×120個(gè)小正方形組成的長(zhǎng)方形,它的對(duì)角線穿過多少個(gè)小正方形?(2)能否給出由m×n個(gè)(其中m,n是正整數(shù))小正方形組成的長(zhǎng)方形,它的對(duì)角線穿過的小正方形個(gè)數(shù)的計(jì)算公式,并說明理由.(3)能否將上述結(jié)論推廣成由m×n×h(其中m,n,h是正整

雪平行四邊形的對(duì)角線互相平分是平行四邊形一條重要的性質(zhì).利用該性質(zhì)可求解平行四邊形周長(zhǎng)、面積、線段長(zhǎng)等問題，也是歷年中考熱點(diǎn)問題之一.利用該性質(zhì)求解問題，需根據(jù)具體問題，合理利用已知條件進(jìn)行分析、求解，進(jìn)而得出答案.以下列舉說明它們的應(yīng)用.1 利用對(duì)角線求周長(zhǎng)例1 圖1如圖1，在平行四邊形ABCD中，BC=10，AC=14，BD=8.△AOD的周長(zhǎng)是多少？△ABC與△DBC的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？長(zhǎng)多少？解 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)B=OD=4，OA=

可以從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面來進(jìn)行判斷.針對(duì)具體的問題，同學(xué)們要注意認(rèn)真審題，結(jié)合題意和圖形，尋找相關(guān)特征要素，靈活選用平行四邊形的判定方法.思路一：尋找對(duì)角線在求證平行四邊形問題時(shí)，倘若題日中的已知條件涉及了對(duì)角線，那么同學(xué)們要注意聚焦對(duì)角線，看一看能否找到相等的線段，判定對(duì)角線互相平分，然后借助“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這一判定方法解題.C72B8F20-3BE9-49FB-A65A-EF258D2BC2BC

二個(gè)小正方形沿對(duì)角線向右下方對(duì)折后展開;第三個(gè)小正方形沿對(duì)角線分別向左下方和右下方各對(duì)折1次并展開;第五個(gè)小正方形沿對(duì)角線向右下方對(duì)折后展開。第四步從左往右數(shù)，第五排第二個(gè)小正方形沿對(duì)角線向右上方對(duì)折后展開;第三個(gè)小正方形沿對(duì)角線分別向左上方和右上方各對(duì)折1次并展開;第五個(gè)小正方形沿對(duì)角線向右上方對(duì)折后展開。第五步翻轉(zhuǎn)正方形折紙，拎起折紙的第二條橫向折痕，向第一條橫向折痕對(duì)折。再拎起倒數(shù)第二條折痕，向倒數(shù)第一條折痕對(duì)折，折出一個(gè)中間凸起的“日”字結(jié)構(gòu)后，再

然在給多邊形畫對(duì)角線的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪的“洞”。而且，這個(gè)“洞”竟然還是忽隱忽現(xiàn)的，這真是太神秘了！我已經(jīng)迫不及待地要去這個(gè)“洞”里探索一番！為了探索這個(gè)在多邊形世界里的“洞”，我們要先準(zhǔn)備一樣“工具”——對(duì)角線。對(duì)角線，是連接多邊形任意2個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段，這個(gè)線段將在接下來的探索中起到關(guān)鍵作用?？?，這個(gè)四邊形，它有4個(gè)頂點(diǎn)，通過連接不相鄰的頂點(diǎn)，我們就能得到2條對(duì)角線。這2條對(duì)角線是相互交叉的。令人遺憾的是，這2條對(duì)角線所形成的圖案，并沒有“洞”，

的平行四邊形，對(duì)角線互相平分且相等，因此四個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)角線交點(diǎn)的距離相等，也就是說矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成以四條邊分別為底邊的四個(gè)等腰三角形.一、矩形的對(duì)角線相等例1（2019·貴州·安順）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA = 3，AC = 4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為 .分析：由“三個(gè)角都為直角的四邊形為矩形”可得四邊形AMDN為矩形，MN是一條對(duì)角

牌的位置：處于對(duì)角線位置的牌有五張：A1、A3、A5、A7、A9；處于非對(duì)角線位置的牌有四張：A2、A4、A6、A8。這個(gè)魔術(shù)的原理在于，從處于對(duì)角線位置的牌出發(fā)（也就是A1、A3、A5、A7、A9），走奇數(shù)步（三步、五步、七步），最終會(huì)走到處于非對(duì)角線位置的牌（也就是A2、A4、A6、A8）；從處于非對(duì)角線位置的牌出發(fā)，走奇數(shù)步，最終會(huì)回到處于對(duì)角線位置的牌。還有一個(gè)重點(diǎn)：觀眾開始一定要從對(duì)角線位置出發(fā)。如果觀眾恰巧選了一個(gè)非對(duì)角線位置出發(fā)，那魔術(shù)師就要

階雙重幻方，各對(duì)角線和各行和各列和都是600，各對(duì)角線積，各行積各列積都是27×34×53×72×11×13×17×19×23，后續(xù)文章有揭秘二（構(gòu)造公式），揭秘三（必要證明）。【關(guān)鍵詞】幻方和 ?幻方積最小5，7，10，11，13，14，15，17，19，20，21，22，23，25，26，28，30，33，34，35，38，39，40，42，44，45，46，49，50，51，52，56，57，63，66，68，69，75，76，77，78，88，91

gonals（對(duì)角線）.2. Fold（折疊） the two sides（邊） inwards（向里）. Make it a triangle（三角形）.3. Cut the edge（邊緣） round（圓的）. Draw the spots（斑點(diǎn)）， face and the eyes. Cut from the middle（中間） to make two wings（翅膀）.4. Use black paper to make its feele

一對(duì)應(yīng)平面上的對(duì)角線，采用公式A.1計(jì)算同一平面上一對(duì)對(duì)角線尺寸差。圖A.1 折疊膠盒成品同一平面上一對(duì)對(duì)角線尺寸示意圖式中：R：同一平面上一對(duì)對(duì)角線尺寸差，單位為百分比（%）；：同一平面上對(duì)角線1的長(zhǎng)度，單位為毫米；：同一平面上對(duì)角線2的長(zhǎng)度，單位為毫米。

及正方形的兩條對(duì)角線互相垂直,那么對(duì)角線互相垂直的四邊形都有哪些性質(zhì)呢?(1)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于兩對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半.(2)順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形的四邊中點(diǎn),所得四邊形為矩形.(3)對(duì)角線互相垂直的四邊形,一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和.(4)如果四邊形一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和,那么它的對(duì)角線互相垂直.(5)若圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線互相垂直,則由對(duì)角線交點(diǎn)所引一邊之垂線必平分其對(duì)邊.還有其他性質(zhì),不再一一列舉.性質(zhì)1

等、對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分；2.矩形：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，四個(gè)內(nèi)角為直角，對(duì)角線相等；3.菱形：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，四條邊相等，對(duì)角線垂直；4.正方形：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，四個(gè)內(nèi)角為直角，對(duì)角線相等，四條邊相等，對(duì)角線垂直.由此可見，正方形的性質(zhì)包含了平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì).四、判定正方形1．利用正方形的定義證明：______________________.關(guān)鍵詞：

面積可以用兩條對(duì)角線乘積的一半來計(jì)算?生1：正方形．因?yàn)檎叫问翘厥獾牧庑危畮煟汉芎?還有什么四邊形呢?學(xué)生陷入沉思......圖1師：我們不妨回顧下菱形這一面積公式的推導(dǎo)過程,你能從中發(fā)現(xiàn)什么?如圖1：因?yàn)榱庑蔚?span id="j5i0abt0b" class="hl">對(duì)角線互相垂直,所以有生2：我知道了．菱形面積是被一條對(duì)角線分成的兩個(gè)三角形面積的和．因?yàn)榱庑蔚?span id="j5i0abt0b" class="hl">對(duì)角線互相垂直,所以以一條對(duì)角線為三角形的底邊,另一條對(duì)角線被交點(diǎn)分成的兩條線段正好是兩個(gè)三角形的高,所以才有這樣的結(jié)論．師：好!我們繼續(xù)前面的問題,

畫出的是圖形的對(duì)角線，而不是對(duì)稱軸。”小芳看了看小靜，接著說，“按照你的想法，把它們沿著你畫的對(duì)角線折疊，折疊后對(duì)角線兩邊的圖形要完全重合，這個(gè)圖形才是軸對(duì)稱圖形。如果不完全重合，就不是軸對(duì)稱圖形?！薄把刂耶嫷?span id="j5i0abt0b" class="hl">對(duì)角線折疊，對(duì)角線兩邊的圖形應(yīng)該會(huì)完全重合吧?！毙§o有點(diǎn)兒心虛?！拔覀兡靡粡埣埣魝€(gè)圖形，折一折，試一試。”小芳鼓勵(lì)著小靜，與小靜一起動(dòng)手?！巴?，不折不知道，一折嚇一跳?！毙§o一聲尖叫，“都不是軸對(duì)稱圖形，我畫的真的是對(duì)角線，不是對(duì)稱軸?！薄笆前?！沿

）矩陣（不包括對(duì)角線）即可體現(xiàn)。Kumar,D.,Asolekar,S.,Sharma,S.,2015.Post-treatment and reuse of secondary ef fluents using natural treatment systems:The Indian practices.Environ.Monit.Assess.187(10),1-15.https://doi.org/10.1007/s10661-015-4792-z.

平分；斜線；泛對(duì)角線；素質(zhì)教育幻方屬于中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，古典《易經(jīng)》就有記載。然而，由于編制幻方的程序比較復(fù)雜，很不利于推廣普及。簡(jiǎn)單是真理的標(biāo)志。因此，筆者采取變通的措施，創(chuàng)造出一種“亞幻方”，好玩速成，有利于推廣普及。“亞幻方”不完全符合傳統(tǒng)幻方的定義，而是其中一部分符合幻方的定義。以往編制N階幻方，N的取值不同，所采用的方法也不同。然而“亞幻方”就沒有取值的約束了，不論N取值多少，都通用一種方法，速成快捷，精準(zhǔn)無誤，從而使得亞幻方各行各列以及2N條泛

行、每列和每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)加起來的和都等于1.5?！痉治雠c解】如果用試填的方法來解答這道題是可以得到答案的，但是很麻煩。如果我們用“一排、二轉(zhuǎn)、三調(diào)”的方法來解答，問題就簡(jiǎn)單多了。這種方法分為三步：第一步是“排”，即把0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9這九個(gè)數(shù)按從小到大的順序排成三行三列，即每行每列都有三個(gè)數(shù)，然后把這些排好的數(shù)填在九宮方格中，如圖2所示。第二步是“轉(zhuǎn)”，即在圖2中除“0.5”之外，將其他的八個(gè)數(shù)按順時(shí)

對(duì)邊相等且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分；（6）一組對(duì)邊平行且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分；（7）一組對(duì)角相等且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分.這7個(gè)猜想能判定四邊形ABCD是平行四邊形嗎？接下來，我們將一一論證.猜想1：兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形已知四邊形ABCD，如圖1，∠A=∠C，∠B=∠D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D，∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD

對(duì)邊相等且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分；（6）一組對(duì)邊平行且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分；（7）一組對(duì)角相等且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分.這7個(gè)猜想能判定四邊形ABCD是平行四邊形嗎？接下來，我們將一一論證.猜想1：兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形已知四邊形ABCD，如圖1，∠A=∠C，∠B=∠D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.圖1證明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D，∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，∴

里、外以及兩條對(duì)角線上四個(gè)方框里的數(shù)之和都相等。看了題目后，我覺得不會(huì)太難，于是就試著填了起來?？墒窃嚵撕芫茫野l(fā)現(xiàn)左、右相等了，上、下不等了；左、右、上、下都相等了，里、外又不等了；左、右、上、下、里、外都相等了吧，對(duì)角線又不等了……我急得滿頭大汗！“別急，填數(shù)有竅門！”媽媽見我著急的樣子，就笑著提醒我，“你可以把1～8這八個(gè)數(shù)大小搭配，兩個(gè)兩個(gè)組成一對(duì)，每條對(duì)角線上依次填上兩組這樣的數(shù)，如果不符合要求，只要把同一組中的兩個(gè)數(shù)交換位置，一組不行再交換一組

間及擬-Gδ-對(duì)角線的注記吳代龍 （馬鞍山師范高等?？茖W(xué)校，安徽馬鞍山243041）通過對(duì)擬-σ-空間及擬-Gδ-對(duì)角線性質(zhì)的研究，得到廣義序拓?fù)淇臻g可度量化的條件及具有擬-Gδ-對(duì)角線的線性序空間的結(jié)果，改善了文獻(xiàn)［2］中關(guān)于擬-σ-空間及擬-Gδ-對(duì)角線的部分結(jié)果，主要結(jié)論為：X為 σ-空間當(dāng)且僅當(dāng)X為擬-σ-空間；具有擬-Gδ-對(duì)角線的線性序空間為Θ-空間。g-函數(shù)；擬-σ-空間；擬-Gδ-對(duì)角線作為對(duì)度量空間的推廣，σ-空間是一類重要的廣義度量空間

行四邊形；③從對(duì)角線考慮：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.如果把這些條件重新組合，那么得到的四邊形還是平行四邊形嗎？1.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D、E分別是邊AB、AC上的中點(diǎn)，容易證得DE∥BC，BD＝CE.在四邊形BCED中，雖然有DE∥BC，BD＝CE，即一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，但由于DE≠BC，顯然四邊形BCED不是平行四邊形.圖1結(jié)論：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.點(diǎn)評(píng)：要

，探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式的過程是個(gè)難點(diǎn)，但它也是初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。北師大版七年級(jí)上冊(cè)第四章第五節(jié)多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)的教學(xué)中，不僅要求學(xué)生掌握多邊形的對(duì)角線概念，還要會(huì)求多邊形的對(duì)角線的條數(shù)。筆者在教授這節(jié)課時(shí)運(yùn)用了兩種方法來探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式，學(xué)生接受的也不錯(cuò)。在探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式之前，應(yīng)該先把對(duì)角線的概念講清楚，否則學(xué)生后面探索對(duì)角線條數(shù)時(shí)會(huì)很難理解。筆者探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式用的主要思想是探索規(guī)律，因?yàn)樵趯W(xué)這章之前的

一列、以及兩條對(duì)角線上的和都分別相等。填九宮圖是有秘訣的哦！請(qǐng)把13-21這九個(gè)連續(xù)的自然數(shù)填入圖1的方格內(nèi)，使每橫行、豎行和兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)相加的和都是51。你能在一分鐘內(nèi)完成嗎？小文看后，不到一分鐘就填好了。他的妙法是：小數(shù)上邊中格填，依次邊邊對(duì)角線，接著邊邊數(shù)填完，右上左下對(duì)角換。練一練：把1、3、5、7、9、11、13、15、17這九個(gè)數(shù)填在圖6的方格內(nèi)，使每橫行、豎行、對(duì)角線上三個(gè)數(shù)相加的和都相等。小讀者，你覺得小文的方法如何？趕快用這個(gè)方法來

到有關(guān)求多邊形對(duì)角線條數(shù)的問題，那么這樣的問題該怎么去解決，如何去思考呢？首先我們可以通過畫圖來找到關(guān)于多邊形對(duì)角線的規(guī)律例如： 四邊形對(duì)角線有2條 五邊形對(duì)角線有5條.可以看到，2，5，9，14……這些數(shù)字背后存在著規(guī)律，我們可以根據(jù)這些規(guī)律去解決問題.那么，有沒有簡(jiǎn)單一點(diǎn)的方法呢？我們可以從多邊形對(duì)角線的定義來想：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.先考慮從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線數(shù)目，它不能向本身引對(duì)角線，不能向相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線，

2． 矩形兩條對(duì)角線的夾角為60°，較短的邊長(zhǎng)為3.6 cm，則對(duì)角線的長(zhǎng)為_______.3． 如果菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)是12 cm，面積為30 cm2，則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)是_______cm.4． 如圖2，BF、CD分別是△ABC的高，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，則圖中的等腰三角形有_______.5． 如圖3，E為正方形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，則∠DAE=_______.6． 橫格紙的橫線是互相平行的.在一條橫線上截取線段AB=25 mm，在另

知正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為4 cm，則這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是_______，面積是_______.2． 如圖1所示，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=6，則以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為_______.3． 如圖2，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若△ABE是等邊三角形，那么∠BCE=_______.4． 如圖3，E是正方形ABCD的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=AC，則∠BED=_______.5． 如圖4，正方形ABCD中，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC