矩形對角線相等性質(zhì)的應(yīng)用

劉家良

矩形是一種特殊的平行四邊形，對角線互相平分且相等，因此四個頂點到對角線交點的距離相等，也就是說矩形的兩條對角線將矩形分成以四條邊分別為底邊的四個等腰三角形.

一、矩形的對角線相等

例1（2019·貴州·安順）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA = 3，AC = 4，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為 .

分析：由“三個角都為直角的四邊形為矩形”可得四邊形AMDN為矩形，MN是一條對角線，欲求線段MN的最小值，需根據(jù)矩形對角線相等的性質(zhì)，將線段MN的最小值轉(zhuǎn)化為AD的最小值.依據(jù)“垂線段最短的性質(zhì)”可知AD的最小值就是斜邊BC上的高.

解：連接AD，如圖2.

∵∠BAC = 90°，BA = 3，AC = 4，

∴BC[ = ][BA2+AC2] = 5.

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMA = ∠DNA = ∠BAC = 90°，

∴四邊形DMAN是矩形，∴MN = AD.

當(dāng)AD⊥BC時，AD的值最小.

過點A作BC的垂線，垂足為點G，

根據(jù)三角形面積的不變性，得[12]AB × AC[ =][ 12]BC × AG.

∴AG[ =][ AB?ACBC] = [125]，∴MN的最小值為[125] .

故應(yīng)填[125].

二、矩形的對角線分矩形為四個以四條邊為底邊的等腰三角形

例2（2019·黑龍江·哈爾濱）已知：在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F.（1）如圖3①，求證：AE = CF;（2）如圖3②，當(dāng)∠ADB = 30°時，連接AF，CE，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖3②中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形ABCD面積的[18].

[A][C][D][B][E][F] [A][C][D][B][E][F][①][②][圖3]

分析：（1）欲證AE = CF，需證AE和CF分別所在的三角形全等;

（2）求解面積比的問題通常轉(zhuǎn)化為同高不同底的三角形面積比的問題.易證四邊形AECF為平行四邊形，連接AC，交BD于點O，則AC與EF將其分成四個面積相等的三角形. 矩形對角線將矩形分為以四邊為底邊的四個等腰三角形，加之∠ABD = 60°，可得△ABO和△CDO為等邊三角形且全等，再利用等腰三角形的“三線合一”可得邊之間的數(shù)量關(guān)系.

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB = CD，AB[?]CD，∴∠ABE=∠CDF.

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB = ∠CFD = 90°，

∴△ABE ≌△CDF（AAS），∴AE = CF.

（2）[S△ABE] = [S△CDF]= [S△ADF] = [S△BCE] = [18][S矩形ABCD].

理由：連接AC交BD于點O，如圖4.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD = ∠ADC = 90°，AO = CO = [12]AC，BO = DO =[ 12]BD，AC = BD，

∴AO = BO，CO = DO.

∵∠ADB = 30°，∠BAD = ∠ADC = 90°，

∴∠ABO = ∠CDO = 60°，

∴△ABO和△CDO為等邊三角形.

∵AE⊥BO，CF⊥DO，∴BE = EO = [12]BO，DF = OF= [12]DO，

∴BE = EO = OF = DF，

∴[S△ABE] =[ S△AEO] =[ S△AOF] =[ S△ADF] = [14S△ABD]，[S△BCE] = [S△CEO] = [S△COF] = [S△CDF] = [14S△CBD].

∵在△ABD和△CDB中，AB = CD，∠BAD = ∠DCB，AD = CB，

∴△ABD ≌△CDB（SAS），∴[S△ABD] = [S△CBD] = [12][S矩形ABCD].

∴[14][S△ABD] =[ 14][S△CBD] = [18][S矩形ABCD].

∴[S△ABE] = [S△CDF] = [S△ADF] = [S△BCE] = [18][S矩形ABCD].