關(guān)于擬-σ-空間及擬-Gδ-對角線的注記

吳代龍（馬鞍山師范高等專科學(xué)校，安徽馬鞍山243041）

關(guān)于擬-σ-空間及擬-Gδ-對角線的注記

吳代龍
（馬鞍山師范高等?？茖W(xué)校，安徽馬鞍山243041）

通過對擬-σ-空間及擬-Gδ-對角線性質(zhì)的研究，得到廣義序拓?fù)淇臻g可度量化的條件及具有擬-Gδ-對角線的線性序空間的結(jié)果，改善了文獻(xiàn)［2］中關(guān)于擬-σ-空間及擬-Gδ-對角線的部分結(jié)果，主要結(jié)論為：X為 σ-空間當(dāng)且僅當(dāng)X為擬-σ-空間；具有擬-Gδ-對角線的線性序空間為Θ-空間。

g-函數(shù)；擬-σ-空間；擬-Gδ-對角線

作為對度量空間的推廣，σ-空間是一類重要的廣義度量空間，文獻(xiàn)［1］給出了關(guān)于σ-空間的刻畫及其與其它空間類的關(guān)系等重要結(jié)果。Mohamad在文獻(xiàn)［2］中引入擬-σ-空間的概念來推廣σ-空間，證明了第一可數(shù)的廣義序空間X可度量化當(dāng)且僅當(dāng)X為擬-σ-空間。Gδ-對角線這一概念在拓?fù)淇臻g的度量化問題中起著重要的作用，如：具有Gδ-對角線的可數(shù)緊空間為緊度量空間［1］。作為對Gδ-對角線概念的推廣，Hodel在文獻(xiàn)［3］中引入擬-Gδ-對角線的概念，之后的研究表明擬-Gδ-對角線這一概念在討論拓?fù)淇臻g類之間的關(guān)系時(shí)同樣起著重要的作用，如：具有擬-Gδ-對角線的正則θ加細(xì)，β空間為半層空間［3］。Mohamad在文獻(xiàn)［2］中討論了具有擬-Gδ-對角線的線性序空間的性質(zhì)，證明了具有擬-Gδ-對角線的線性序空間為θ-空間及具有擬對角線的線性序空間為空間。近年來，具有擬-Gδ-對角線的空間的性質(zhì)及其與其它空間的關(guān)系得到了廣泛的關(guān)注。如Jiang［4］研究具有σ-離散閉稠密子集的廣義序空間的性質(zhì)，證明在具有σ-離散閉稠密子集的廣義序空間X中，擬-Gδ-對角線，擬對角線，Gδ-對角線，G*δ-對角線等性質(zhì)均等價(jià)于X為CSS空間；Lin［5］研究拓?fù)淙褐袛M-Gδ-對角線的性質(zhì)，證明若非局部緊拓?fù)淙篏關(guān)于bG的剩余具有擬-Gδ-對角線，則G與bG均為可分度量空間。本文在此基礎(chǔ)上探討擬-σ-空間及擬-Gδ-對角線的問題。

1　定　義

定義1［6］設(shè)G為空間X的子集族，若對每一x∈X，存在x的開鄰域U使得U至多與G的一個(gè)（有限多個(gè)）元相交，則稱G為離散（局部有限）集族；若對每一x∈X，G中至多有有限多個(gè)元含x，則稱G為點(diǎn)有限集族。

定義4［9］若映射g：N×X→T滿足：對每一x∈X及n∈N，x∈g（n+1,x）?g（n,x），則稱g為X上的g-函數(shù)。

文獻(xiàn)［9-10］中給出下列條件：

（γ）若對每一n∈N，yn∈g（n,x）且xn∈g（n,yn），則x為的聚點(diǎn)；

（Θ）若對每一n∈N，｛x,xn｝?g（n,yn）且yn有聚點(diǎn)，則x為的聚點(diǎn)；

（θ）若對每一n∈N，｛x,xn｝?g（n,yn）且yn∈g（n,x），則x為的聚點(diǎn)。

若存在空間X上的g-函數(shù)g滿足條件（γ），則稱X為γ-空間，相應(yīng)的g-函數(shù)稱為γ-函數(shù)，其余定義類似。

2　擬-σ-空間

局部有限情形可類似證明。

由引理1立即可得下述定理。

定理1 X為σ-空間當(dāng)且僅當(dāng)X為擬-σ-空間。

由于正則σ-空間為半層空間，而半層的廣義序空間可度量化，故由定理1可得下述推論。

推論1廣義序空間X可度量化當(dāng)且僅當(dāng)X為擬-σ-空間。

推論1改進(jìn)了文獻(xiàn)［2］中的下述兩個(gè)結(jié)果。

定理2［2］設(shè)X為第一可數(shù)的廣義序空間，則X可度量化當(dāng)且僅當(dāng)X為擬-σ-空間。

定理3［2］廣義序空間X可度量化當(dāng)且僅當(dāng)X為具有擬-Gδ-對角線的擬-σ-空間。

3　擬-Gδ-對角線

Mohamad在文獻(xiàn)［2］中證明了具有擬-Gδ-對角線的線性序空間為θ-空間，本文得出下述更強(qiáng)的結(jié)果。

定理4對線性序空間X，下列等價(jià)：

1）X具有擬-Gδ-對角線；

2）X為擬可展空間；

3）X具有σ-點(diǎn)有限基。

設(shè)x∈X，U為x的開鄰域。往證存在k,l∈N使得x∈st（x,Akl）?U，僅對x不是X的端點(diǎn)的情形給出證明，對x是X的端點(diǎn)的情形可類似證明。設(shè)x不是X的端點(diǎn)，則存在開區(qū)間使得由于為X的擬-Gδ-對角線，存在k,l∈N使得x∈st（x,Gk）?X｛a｝且x∈st（x,Gl）?X｛b｝，則st（x,Akl）為X的含點(diǎn)x的凸集但不含點(diǎn)a和點(diǎn)b，故，這表明｛Amn：m,n∈N｝為X的擬展開列。

（2）?（3）見文獻(xiàn)［8］。（2）?（1）顯然。且蘊(yùn)含關(guān)系：

X具有σ-點(diǎn)有限基?X為γ-空間?X為Θ-空間?X為θ-空間

由定理4及上述關(guān)系可得：

推論2具有擬-Gδ-對角線的線性序空間為Θ-空間。

推論2改善了文獻(xiàn)［2］中的下述結(jié)果：

定理5［2］具有擬-Gδ-對角線的線性序空間為θ-空間

定理6［2］具有擬對角線的線性序空間為Θ-空間。

4　結(jié)　論

通過證明擬-σ-空間等價(jià)于σ-空間，得出擬-σ廣義序拓?fù)淇臻g可度量化這一結(jié)論，從而改善了文獻(xiàn)［2］中的兩個(gè)結(jié)果：1）第一可數(shù)的擬-σ廣義序拓?fù)淇臻g可度量化；2）具有擬-Gδ-對角線的擬-σ廣義序拓?fù)淇臻g可度量化。

此外，證明了具有擬-Gδ-對角線的線性序空間為Θ-空間，由于Θ-空間為θ-空間，擬對角線為擬-Gδ-對角線，故這一結(jié)論改善了文獻(xiàn)［2］中的另外兩個(gè)結(jié)果：1）具有擬-Gδ-對角線的線性序空間為θ-空間；2）具有擬對角線的線性序空間為Θ-空間。

［1］林壽.廣義度量空間與映射［M］.2版.北京：科學(xué)出版社，2007.

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責(zé)任編輯：丁吉海

Remarks on Quasi-σ-Spaces and Quasi-Gδ-Diagonals

WU Dailong
（Ma'anshan Teacher'College，Ma'anshan 243041，China）

By studying the properties of quasi-σ-spaces and quasi-Gδ-diagonals，some conditions on the metrizability of generalized ordered topological spaces and some results around linearly ordered topological spaces，which have quasi-Gδ-diagonals are obtained.These results modify some related results concerning quasiσ-spaces and quasi-Gδ-diagonals in the literature.The main results are：X is aσ-space if and only if it is a quasi-σspace；Alinearly ordered topological space with a quasi-Gδ-diagonal is aΘ-space.

g-functions；quasi-σ-spaces；quasi-Gδ-diagonals

O189.1

Adoi：10.3969/j.issn/1671-7872.2016.02.017

1671-7872（2016）02-0185-04

2015-12-01

校級自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2016xjkyxm18）

吳代龍（1980-），男，安徽懷寧人，碩士，助教，主要研究方向?yàn)橐话阃負(fù)鋵W(xué)。