初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)建模思想的實(shí)踐與探索

廖永宗

【摘要】縱觀當(dāng)前學(xué)科，建模思想廣泛應(yīng)用，其中數(shù)學(xué)學(xué)科也在解題教學(xué)中通過應(yīng)用建模思想引領(lǐng)學(xué)生走出困惑，提升解題效率.所謂建模思想即運(yùn)用模型提煉題目重要信息并在此基礎(chǔ)上結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)建模知識(shí)針對重要信息建立模型，隨即高效解答相關(guān)問題.和其它解題方式相比，建模思想具有顯著優(yōu)勢，能較好地簡化復(fù)雜知識(shí)，促使學(xué)生增強(qiáng)靈活運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力，更能較好地鍛煉思維能力，對學(xué)生未來學(xué)習(xí)和發(fā)展有著重要現(xiàn)實(shí)意義.對此，本文則從多方面分析在初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生建模思想的策略，望給予相關(guān)研究者提供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);建模思想;培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)是一門集抽象性與邏輯性于一體的學(xué)科，涉及較多公式和定理，再加上知識(shí)點(diǎn)零散且繁多，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯思維能力和判斷能力，正因如此，學(xué)生在理解和學(xué)習(xí)時(shí)不可避免會(huì)出現(xiàn)困難.同時(shí)，學(xué)生因多種因素影響，在解答數(shù)學(xué)題目過程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)思維混亂、粗心大意以及好費(fèi)時(shí)間較長等現(xiàn)象，凸顯為學(xué)生傳授正確且高效解題技巧的必要性和重要性.建模思想能幫助學(xué)生在充分理解題目實(shí)質(zhì)的同時(shí)梳理解題思路，提升解題效率與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心，更對未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要現(xiàn)實(shí)意義.

1 影響初中數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)原因

作為一種全新學(xué)習(xí)方式，建模思想為學(xué)生自主探究知識(shí)提供空間.與此同時(shí)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)也是教師和學(xué)生相互作用并持續(xù)溝通交流的過程.培養(yǎng)學(xué)生建模思想并非單純地疊加內(nèi)外部知識(shí)，因?yàn)閷W(xué)生在建模學(xué)習(xí)中會(huì)遇到各種困難，多數(shù)初中生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)水平和思維邏輯能力大致相同，故而，可從教師和學(xué)生層面分析影響初中數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)原因.

1.1 教師因素

1.1.1 教學(xué)方式單一

隨著新課程改革全面實(shí)施，很多學(xué)科教師均改革和創(chuàng)新教學(xué)方式，從傳統(tǒng)灌輸式教學(xué)轉(zhuǎn)為啟發(fā)式教學(xué).然而未徹底改革，教師在接觸新事物和概念時(shí)直接傳輸至學(xué)生，忽視學(xué)生自主探究，課堂教學(xué)效率偏低.

1.1.2 知識(shí)儲(chǔ)備不足

前幾年初高中數(shù)學(xué)教材并未較多地涉及數(shù)學(xué)建模，很多數(shù)學(xué)教師都是在學(xué)生時(shí)期才接觸建模知識(shí)，只有部分教師學(xué)習(xí)建模理論知識(shí).尤其對運(yùn)用建模思想解題方面并未融入自身理解，以致于建模教學(xué)深度不足.

1.2 學(xué)生因素

1.2.1 缺乏自信心

事實(shí)上，數(shù)學(xué)建模是一種創(chuàng)造性極強(qiáng)的活動(dòng)，學(xué)生在解決問題中可能會(huì)出現(xiàn)難以把握建模方向和思路受阻等問題.若學(xué)生具備較強(qiáng)的心理素質(zhì)，那么就能持續(xù)探究和學(xué)習(xí).相關(guān)調(diào)查研究指出，大部分學(xué)生對數(shù)學(xué)建模方法較為感興趣，然而在分析和解決實(shí)際問題時(shí)因題干較長且不了解題目實(shí)際背景，不知解題方向，故而缺乏學(xué)習(xí)自信心.所以，數(shù)學(xué)教師可選取簡單應(yīng)用題使學(xué)生獲取學(xué)習(xí)成功體驗(yàn)，樹立學(xué)習(xí)自信心，為后續(xù)解決更為復(fù)雜和高難度問題做好鋪墊.

1.2.2 缺乏信息提煉技巧

數(shù)學(xué)建模最為重要的步驟即將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.縱觀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題，語言高度凝練，數(shù)據(jù)簡單，為了便于解題給出假設(shè)、圖形以及相關(guān)公式、概念，尤其部分復(fù)雜題目，以表格形式呈現(xiàn)復(fù)雜關(guān)系，學(xué)生對題目涉及數(shù)量和關(guān)系一目了然.再加上數(shù)學(xué)建模題目多描述現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)情況，文字信息量大且數(shù)量關(guān)系相對復(fù)雜.學(xué)生只有有取舍地提煉相關(guān)信息才能理解題目.但多數(shù)學(xué)生因缺乏社會(huì)和生活經(jīng)驗(yàn)，閱讀理解能力相對薄弱，未明確不同量關(guān)系，難以整合信息，以致于在解題中頻頻出現(xiàn)問題.

2 在初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生建模思想策略

2.1 貫徹循序漸進(jìn)原則 提升學(xué)生學(xué)習(xí)自信

相關(guān)教育心理學(xué)認(rèn)為，當(dāng)人擁有成功經(jīng)驗(yàn)后會(huì)雄心勃勃，意氣風(fēng)發(fā)，反之，失敗經(jīng)驗(yàn)則會(huì)打擊自信.初中數(shù)學(xué)教師針對學(xué)生對建模思想學(xué)習(xí)缺乏自信心的現(xiàn)狀時(shí)可精心選擇實(shí)際問題，緊貼學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活且趣味性極強(qiáng)的問題，引領(lǐng)學(xué)生在此類問題中建立簡單模型，為后續(xù)分析和解決更為復(fù)雜問題做好鋪墊.

例1 教師在講解方程知識(shí)后為學(xué)生呈現(xiàn)以下問題：某款熱銷童裝標(biāo)價(jià)為150元，正值六一兒童節(jié)，店家為吸引客源決定打折銷售，每件衣服打8折后仍可獲利20%，請問該童裝進(jìn)貨價(jià)？

解析 毫無疑問，上述題目涉及方程知識(shí)，閱讀題目后提取以下關(guān)鍵信息：售價(jià)：150元，其中售價(jià)為標(biāo)價(jià)的80%，利潤率為20%，隨即建立等量關(guān)系：（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）/進(jìn)價(jià)=利潤率，再設(shè)未知數(shù)后列方程，即設(shè)該童裝進(jìn)貨價(jià)為x元，轉(zhuǎn)化問題后求方程：150×0.8-xx=20%的解，最后解得x=100元.

對于初中生而言，打折銷售是生活中常見的情況，普遍較為感興趣.部分學(xué)生可能不太了解利潤和利潤的概念.數(shù)學(xué)教師可讓學(xué)生提前查閱相關(guān)資料對利潤和利潤率概念進(jìn)行探索，此方式效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)死記硬背公式方式.當(dāng)學(xué)生成功運(yùn)用模型思想解題后就會(huì)樹立自信心，教師可進(jìn)一步深化題目.

例2 某精細(xì)化工廠在購買原材料時(shí)以80元/箱購入60箱材料，所購材料分別應(yīng)用于1號和2號生產(chǎn)染色劑車間.其中1號車間運(yùn)用每箱原材料可生產(chǎn)出12千克染色劑，耗水4噸;2號車間則在生產(chǎn)過程中運(yùn)用節(jié)能技術(shù)，減少耗水量近50%，但染色劑產(chǎn)出率則比1號車間少2kg.已知染色劑售價(jià)30元/kg，其中生產(chǎn)成本中，水費(fèi)為5元/t.工廠為了響應(yīng)國家提出的綠色節(jié)能理念，要求所有車間總用水在200t內(nèi)，請問，該化工程如何在保證用水不超標(biāo)的前提下實(shí)現(xiàn)利潤最大化，最大獲利為多少？

解析 雖然上述題目和例1相比較為復(fù)雜，但學(xué)生具備解答例1時(shí)成功建立模型經(jīng)驗(yàn)，依舊可順利梳理題目中重要量關(guān)系.再加上在解答例1時(shí)已理解利潤和利潤率，該題解答重點(diǎn)為利潤=產(chǎn)品總售價(jià)-原材料購買成本-水費(fèi).設(shè)1號車間運(yùn)用x箱原材料，工廠共購入60箱原料，那么2號車間運(yùn)用（60-x）箱原材料，從條件可得知，1號車間耗水量為4x噸，2號車間耗水量為2（60-x）噸，1號與2號車間產(chǎn)品總產(chǎn)量分別為12x千克與10（60-x）千克，兩個(gè)車間染色劑總售價(jià)為300（60[12x+1-x）]元，由此一來就可運(yùn)用含有x的式子表示所有變量，有效處理信息.設(shè)最大利潤為w，即w=30[12x+10（60-x）]-80×60-5[4x+2（60-x）]=50x+12600，化工廠為響應(yīng)節(jié)能減排目標(biāo)，要求生產(chǎn)總用水在200t內(nèi)，那么為4x+2（60-x）≤200，確定x范圍后，x≤40，隨x增大，w也在增大，當(dāng)x=40時(shí)，w取最大值為14600元.

上述案例難度大于案例1，學(xué)生有了建模經(jīng)驗(yàn)后自信心大幅度提升，根據(jù)建模步驟整理信息，再建立模型后得出答案.數(shù)學(xué)教師在此過程中可給予適當(dāng)點(diǎn)撥和引導(dǎo)，由學(xué)生獨(dú)立完成運(yùn)用含x式子表示其他變量，提升學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量.

2.2 緊抓重點(diǎn)轉(zhuǎn)化問題 簡化理解分析難度

通常建模需較長文字篇幅敘述，尤其部分建模題涵蓋較多學(xué)生未聽過的專業(yè)術(shù)語，數(shù)學(xué)教師需指導(dǎo)學(xué)生緊抓重點(diǎn)轉(zhuǎn)化問題，簡化理解難度，提升教學(xué)效率.與此同時(shí)，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中需引導(dǎo)學(xué)生分析原始問題并緊抓其中的主要因素，忽略對問題結(jié)果影響較小或基本沒有影響的次要因素.與此同時(shí)，在正確分析原始問題基礎(chǔ)上需引導(dǎo)學(xué)生尋找問題與數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系，最后再將問題轉(zhuǎn)化至數(shù)學(xué)模型，提高解題效率.一般初中生在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)會(huì)將很多地精力投入至分析問題和結(jié)合用問題提供條件轉(zhuǎn)化至數(shù)學(xué)關(guān)系上，很少重視將數(shù)學(xué)計(jì)算將結(jié)果帶入最初問題中進(jìn)行討論與檢驗(yàn)這一步，從而長期在學(xué)習(xí)中過于依賴教師，依舊不理解未做過的問題.對此，教師在教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生將重點(diǎn)傾向于問題模型.

例如 借助表格提取信息;借助表格梳理復(fù)雜數(shù)量關(guān)系或數(shù)量間有緊密關(guān)聯(lián)的建模題目，為迅速建模做好鋪墊.例如以下題目：某城市公交車具有宇通和金龍兩種類型客車，其中宇通客車可載客30人，租金280元/輛，金龍載客45人，租金400/輛.某學(xué)校根據(jù)自身實(shí)際情況計(jì)劃租賃5輛兩類客車送師生前往某基地參與實(shí)踐活動(dòng).請問如果保證車費(fèi)不超1900元前提下可租多少輛金龍客車？若保證車牌不超1900元，師生共有195人，可設(shè)計(jì)出哪幾種可行租車方案？是否能設(shè)計(jì)最為省錢的租車方案？上述題目條件分散且多，較易混淆，可運(yùn)用表格表示數(shù)量關(guān)系

解析 從上述表格中得知租金總數(shù)為400x+280（5-x），如果使租車費(fèi)用在1900元內(nèi)，即400x+280（5-x）≤1900，得x≤416，所以x最大值為4.從上述解析可得知，x≤416，x可能取值為0、1、2、3、4.隨即運(yùn)用模型檢驗(yàn)：

①宇通客車5輛，金龍客車0輛，車費(fèi)：400×0+280×5=1400元，但載客量為45×0+30×5=150<195，不符題意，故舍去.

②宇通客車4輛，金龍客車1輛，車費(fèi)為400×1+280×4=1520元，然而載客量為45×1+30×4=165<195，不符題意，故舍去.

③金龍客車 2 輛，宇通客車 3 輛，租車費(fèi)用為400×2+280×3=1640元，載客量為45×2+30×3=180<195，不符題意，故舍去.

④宇通客車2量，金龍客車3量，車費(fèi)為400×3+280×2=1760元，載客量為45×3+30×2=195=195，符合題目要求.

⑤宇通客車1輛，金龍客車4輛，車費(fèi)為400×4+280×1=1880元，載客量為45×4+30×1=210元，符合題目要求.上述與題目要求相符的只有④與⑤，最為節(jié)省的租車方案為宇通客車2輛，金龍客車3輛.

3 結(jié)語

總之，數(shù)學(xué)是一門強(qiáng)調(diào)思維的學(xué)科，該學(xué)科核心即培養(yǎng)學(xué)生思維能力.在初中數(shù)學(xué)過程中應(yīng)用建模思想能拓寬學(xué)生思維和眼界，形成清晰的解題和學(xué)習(xí)思路，提升解題效率和正確性.與此同時(shí)，巧用建模思想能深化學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和記憶，增強(qiáng)學(xué)生的歸納總結(jié)和創(chuàng)新能力，實(shí)現(xiàn)預(yù)期教育教學(xué)目標(biāo).教師在應(yīng)用建模思想時(shí)應(yīng)注重考慮學(xué)生學(xué)情與學(xué)科特征，最大限度發(fā)揮建模思想優(yōu)勢作用，引領(lǐng)學(xué)生梳理學(xué)習(xí)思路，提升學(xué)習(xí)效率和學(xué)科教學(xué)質(zhì)量.

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