高等數(shù)學(xué)建模思想與大學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維養(yǎng)成實(shí)踐研究

摘要：高等數(shù)學(xué)教育改革要圍繞素質(zhì)教育實(shí)踐，著力從數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)上來(lái)增強(qiáng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和能力。數(shù)學(xué)建模思想和建模方法是培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的有效途徑，也是當(dāng)前高等教育人才培養(yǎng)的重要方向。本文將從數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的益處入手，就高等數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)的必要性進(jìn)行闡述，特別是從教育方法、教育理念及教育手段創(chuàng)新上，豐富高等數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，增強(qiáng)大學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；建模思想；大學(xué)生；創(chuàng)新思維；教學(xué)應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：O1-0 文獻(xiàn)識(shí)別碼：A 文章編號(hào)：1001-828X（2016）019-000-02

素質(zhì)教育將創(chuàng)新思維培養(yǎng)作為高等教育的首要任務(wù)，高等數(shù)學(xué)作為素質(zhì)教育改革的重要內(nèi)容，迫切需要從大學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)上，強(qiáng)化大學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和實(shí)踐。數(shù)學(xué)建模思想已經(jīng)成為當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革重點(diǎn)，本文將從數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)應(yīng)用著手，從具體數(shù)學(xué)建模應(yīng)用中來(lái)提升大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

一、數(shù)學(xué)建模思想與大學(xué)生創(chuàng)新思維的養(yǎng)成

（一）數(shù)學(xué)建模思想對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)踐性教學(xué)提供基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的有效途徑。將建模思想與數(shù)學(xué)應(yīng)用相統(tǒng)一，從問(wèn)題中來(lái)創(chuàng)設(shè)解決思路。如概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)，主要從隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性上來(lái)探討數(shù)學(xué)應(yīng)用。作為理工類(lèi)基礎(chǔ)課程之一，其特點(diǎn)是與具體工程行業(yè)發(fā)展相結(jié)合，利用數(shù)學(xué)建模思想來(lái)分析實(shí)際問(wèn)題。再如線(xiàn)性代數(shù)和微積分，這些課程對(duì)于數(shù)學(xué)建模能力要求不高，但對(duì)于線(xiàn)性代數(shù)的應(yīng)用，可以從其知識(shí)點(diǎn)共性上來(lái)加強(qiáng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維意識(shí)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)知識(shí)與工程技術(shù)學(xué)科、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理科學(xué)等都有滲透，特別是對(duì)于學(xué)科實(shí)際問(wèn)題，從數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科的交叉中來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，探究問(wèn)題的解決路徑。數(shù)學(xué)建模過(guò)程是創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的有效方式，從數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)新思維研究中，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，多體現(xiàn)在抽象理論的運(yùn)算，而往往忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐性。高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模課程的開(kāi)展，為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用創(chuàng)造了條件，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)功用，提升大學(xué)生勇于探索的數(shù)學(xué)精神。

（二）數(shù)學(xué)建模思想與創(chuàng)新思維的關(guān)系

創(chuàng)新思維是廣大大學(xué)生最缺乏訓(xùn)練的科學(xué)思維，在大學(xué)數(shù)學(xué)與建模思想應(yīng)用中，對(duì)于傳統(tǒng)的教學(xué)，多停留在教師的講解與學(xué)生的聽(tīng)與背，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)所涵蓋的科學(xué)思維則缺乏思考。數(shù)學(xué)建模將創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題作為前提，利用數(shù)學(xué)方法來(lái)多角度的觀(guān)察和分析實(shí)際問(wèn)題，特別是從數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建中，發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。如對(duì)高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論知識(shí)，如何去理解概率的概念，倘若直接給出概率的定義和公式，對(duì)于學(xué)生在理解樣本點(diǎn)、樣本空間等概念時(shí)將面臨與實(shí)際相脫節(jié)的尷尬。為此，在教學(xué)中可以從隨機(jī)試驗(yàn)范例描述中，針對(duì)可能發(fā)生的隨機(jī)事件來(lái)找出事件間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生從事件的組合與運(yùn)算中來(lái)理解數(shù)學(xué)建模思維過(guò)程，抓住基本事件的本質(zhì)，并能夠從數(shù)學(xué)模型中來(lái)進(jìn)行表達(dá)，突出實(shí)際問(wèn)題到抽象概念間的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成在于對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，教師要能夠從數(shù)學(xué)問(wèn)題中來(lái)多提問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)學(xué)模型中來(lái)探究數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系，特別是從課題探討、動(dòng)手實(shí)踐中，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)建構(gòu)學(xué)科問(wèn)題，從自由思考、廣泛交流、深入探究中提出見(jiàn)解，增強(qiáng)思維群體間的碰撞與啟發(fā)，以挖掘和調(diào)動(dòng)廣大學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和潛能。

二、數(shù)學(xué)建模與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用是廣泛的，如結(jié)合當(dāng)前購(gòu)房還貸問(wèn)題，我們可以從差分方程的應(yīng)用中來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。假設(shè)某同學(xué)要購(gòu)買(mǎi)房子，依照按揭貸款要求，如何從數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建中來(lái)探究各變量間的關(guān)系。假設(shè)第n月欠銀行款為An，第n-1個(gè)月欠款結(jié)余為An-1，利息額為An-1（1+r），本月還款為x，還欠銀行款為An-1（1+r）-x。當(dāng)學(xué)生在第n月還款之后還剩欠款為An時(shí)，則An應(yīng)該滿(mǎn)足上次還款欠款余額An-1與上次還款利息An-1r的和，再與本月還款x作差，即可得到購(gòu)房還款數(shù)學(xué)模型。記作：

從上述差分方程的建模過(guò)程來(lái)看，利用建 模思想來(lái)圍繞現(xiàn)實(shí)購(gòu)房問(wèn)題展開(kāi)數(shù)學(xué)分析，有助于我們從中來(lái)細(xì)化各變量間的關(guān)系，從而更好的幫助我們處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。同樣道理，利用差分方程，還可以從數(shù)列{3，54，10，33，......}中來(lái)解決第五個(gè)數(shù)字是多少。我們從數(shù)列的各項(xiàng)數(shù)值關(guān)系來(lái)分析，第一項(xiàng)3與第二項(xiàng)4之間的關(guān)系可以記作：4=1×3+1；第三項(xiàng)可以記作：10=2×4+2；第四項(xiàng)可以記作：33=3×10+3；那么第五項(xiàng)則可以記作：136=4×33+4。對(duì)于本題在解決過(guò)程中，利用建模思想，可以得到An=（n-1）（An-1+1），n=2，3，...，N；可見(jiàn)，對(duì)于本模型在實(shí)踐應(yīng)用中能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)觀(guān)察與分析能力。

同樣道理，高等數(shù)學(xué)中的定積分知識(shí)的應(yīng)用，在生活中也較為常見(jiàn)。如我們?cè)趯?duì)易拉罐進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，通過(guò)讓同學(xué)們觀(guān)察易拉罐的整體結(jié)構(gòu)，從實(shí)物的觀(guān)察中來(lái)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)定積分的認(rèn)知和理解，特別是從易拉罐自身正圓柱體結(jié)構(gòu)，應(yīng)該從那些變量及參數(shù)優(yōu)化上，來(lái)獲得總體積為330ml。因此，需要從易拉罐的形狀及結(jié)構(gòu)分析上，從圓柱的半徑與高之間的比值之間來(lái)優(yōu)化表面積S，以滿(mǎn)足體積要求。根據(jù)圓柱體表面積S的求解方法，我們可以記作S（r，h）=2πrh+πr2=2π[r2+rh]，對(duì)于圓柱體的體積V可以記作：V=πr2h，而h=V/πr2。通過(guò)上述分析，利用數(shù)學(xué)建模思想來(lái)探究易拉罐的數(shù)學(xué)模型，可以從如下目標(biāo)函數(shù)的表示中來(lái)獲得：。對(duì)于式中的S表示為目標(biāo)函數(shù)，而對(duì)于，則是對(duì)本模型的約束條件，也就是說(shuō)，在易拉罐體積恒定且已知條件下，滿(mǎn)足該易拉罐體積最小所對(duì)應(yīng)的圓柱半徑r和圓柱高h(yuǎn)的值。通過(guò)對(duì)易拉罐最優(yōu)化設(shè)計(jì)，讓學(xué)生能夠從生活中來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題，特別是在數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系上，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用，提升廣大學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

從數(shù)學(xué)建模應(yīng)用來(lái)看，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論在教學(xué)中可以采用多種思維方式來(lái)滲透建模思想，從問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與分析中，通過(guò)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，利用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)展開(kāi)探討，拓寬數(shù)學(xué)思維，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模在想象力培養(yǎng)中的積極作用。如泊松分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布等。針對(duì)這些分布特征，學(xué)生們?cè)趯?shí)踐探究中，往往難以理解數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與概率分布類(lèi)型之間的內(nèi)在關(guān)系。因此，我們從概率分布問(wèn)題中來(lái)聯(lián)系實(shí)際，利用具體分布特征來(lái)探討各類(lèi)隨機(jī)問(wèn)題的變化情況。如對(duì)于泊松定理的學(xué)習(xí)，從該定理的證明來(lái)看，泊松分布可以看作是二項(xiàng)分布的極限表示方式，那么如何從隨機(jī)變量的表示上來(lái)幫助學(xué)生正確分析定理成立的條件。從極限表示來(lái)看，在 nPn=中，我們可以從二項(xiàng)分布中來(lái)獲得隨機(jī)變量的序列，與數(shù)列都是同階無(wú)窮小，當(dāng)n足夠大時(shí)，則P值最夠小，由此可以利用λ=np來(lái)對(duì)二項(xiàng)分布進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算。在判定概率出現(xiàn)次數(shù)較少時(shí)，我們稱(chēng)之為“稀有事件”，則可以將二項(xiàng)分布近似看做是泊松分布。對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)與檢驗(yàn)過(guò)程，任何猜想的驗(yàn)證都需要從檢驗(yàn)中來(lái)獲得。同樣，在泊松定理中，利用數(shù)學(xué)建模思想來(lái)提出假設(shè)，并從檢驗(yàn)中來(lái)驗(yàn)證。

對(duì)于概率學(xué)中的頻率穩(wěn)定性問(wèn)題，可以從概率概念及頻率概念間的差異性上，借助于隨機(jī)變量來(lái)幫助學(xué)生們正確理解。以貝努里大數(shù)定律為例，對(duì)于任意的一個(gè)，當(dāng)時(shí)， 貝努里大數(shù)定律成立。從理論上來(lái)看，我們可以利用計(jì)算機(jī)軟件模擬蒲豐投針試驗(yàn)，讓學(xué)生從軟件模擬中來(lái)理解該定理的特點(diǎn)。當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n足夠大時(shí)，所獲得的頻率具有穩(wěn)定性，從而獲得頻率與概率之間的關(guān)系。同樣道理，在利用蒙特卡羅方法時(shí)，當(dāng)我們將確定性問(wèn)題是由隨機(jī)模擬方法近似求解的話(huà)，很多學(xué)生更樂(lè)于從中來(lái)洞悉具體方法。如在工程實(shí)踐中，對(duì)于圓周率的估算，可以從蒙特卡羅方法中來(lái)近似計(jì)算；還有對(duì)于物理學(xué)中的核反應(yīng)堆屏蔽層問(wèn)題，也可以從模擬近似方法中，利用模擬現(xiàn)實(shí)的隨機(jī)變量來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)?？梢?jiàn)，對(duì)于模擬理論的應(yīng)用，其依據(jù)是在貝努里大數(shù)定律的使用中，通過(guò)頻率來(lái)完成對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)。在豐富的現(xiàn)實(shí)生活世界里，諸如此類(lèi)的充滿(mǎn)趣味的數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用是廣泛的，利用數(shù)學(xué)建模思想來(lái)激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)樂(lè)趣，從中來(lái)鼓勵(lì)學(xué)生在資料查閱和動(dòng)手實(shí)踐中來(lái)提升創(chuàng)新思維能力。

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)模型是基于數(shù)學(xué)符號(hào)、公式及數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上，對(duì)現(xiàn)實(shí)本原型問(wèn)題的描述和反映。在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型應(yīng)用中，要從數(shù)學(xué)思想與實(shí)際問(wèn)題的銜接上，從數(shù)學(xué)方法的滲透和運(yùn)用中來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。如在高等數(shù)學(xué)積分過(guò)程研究中，從不同解題方法或一題多解中來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)建模中來(lái)探究數(shù)學(xué)領(lǐng)域與其他行業(yè)學(xué)科知識(shí)的關(guān)系，嘗試用數(shù)學(xué)建模來(lái)激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出新的見(jiàn)解和方法，在數(shù)學(xué)建模實(shí)踐中增強(qiáng)學(xué)生對(duì)創(chuàng)新思維能力的運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]李鑫，張建華.應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)改革探索[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2015（11）：22-25.

[2]何俊杰，王娟.數(shù)學(xué)建模教學(xué)與學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[J].黑龍江教育（高教研究與評(píng)估），2015（11）：84-86.

[3]龔雅玲.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教材中的滲透[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015（03）：105-107.

[4]逄世友，苗連英.以本原問(wèn)題驅(qū)動(dòng)高等數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)模式改革[J]. 教育現(xiàn)代化，2015（12）：91-94.

作者簡(jiǎn)介：張恩賓（1981-），男，漢族，河南封丘人，理學(xué)碩士，河南財(cái)政金融學(xué)院信息工程系，講師，研究方向：信息與計(jì)算科學(xué)。