一道中考幾何壓軸題的多種證法與教學(xué)啟示

☉重慶市萬州高級(jí)中學(xué) 張 進(jìn)

一、試題呈現(xiàn)

（2018年龍東中考題）如圖，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，點(diǎn)A在CB的延長線上，且BA=BC，點(diǎn)E在直線BD上移動(dòng)，過點(diǎn)E作射線EF⊥EA，交CD所在直線于點(diǎn)F.

（2）當(dāng)點(diǎn)E在直線BD上移動(dòng)時(shí)，如圖2、圖3所示，線段BC、DE與DF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明.

二、思路探究

三、解法探究

1.關(guān)于第（1）問的解法探究

思路1：利用直角，構(gòu)“三垂直”.

證法1：如圖4，過點(diǎn)F作FG⊥BD于點(diǎn)G.

所以∠EGF=∠ABE=90°，則∠BAE+∠AEB=90°.

因?yàn)镋F⊥EA，所以∠GEF+∠AEB=90°.

所以∠BAE=∠GEF.

因?yàn)锽C=BD，BA=BC，所以AB=BD.

因?yàn)椤螩BD=90°，BC=BD，所以∠CDB=∠FDG=45°，則

思路2：洞察結(jié)構(gòu)，構(gòu)“輔助圓”.

證法2：如圖5，連接AD、AF.

因?yàn)锽C=BD，BA=BC，∠CBD=90°，所以△CBD、△ABD均為等腰直角三角形，則∠ADF=90°.又因?yàn)镋F⊥EA，所以A、E、D、F四點(diǎn)共圓，⊙O的圓心O即為AF的中點(diǎn)，所以∠EAF=∠CDB=∠BAD=45°，即∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF，所以∠BAE=∠DAF.

思路3：巧妙截取，構(gòu)造全等.

證法3：如圖6，在AB上截取AG=ED，連接EG.

證法4：如圖7，連接AD，過點(diǎn)E作EG⊥BD交CD于點(diǎn)G.

證法5：如圖8，連接AD，過點(diǎn)E作EG⊥BD交AD于點(diǎn)G.

證法6：如圖9，連接AD，過點(diǎn)E作EG⊥BD交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AH⊥EG交EG的延長線于點(diǎn)H.

思路4：巧妙對(duì)稱，構(gòu)造等腰.

證法7：如圖10，過點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，連接CE.

易證△EGD、△CBD為等腰直角三角形，然后證明△ABE△CBE（SAS），再證△ECG△EFG（AAS），則FG=CG.

證法8：如圖11，連接AD并延長至點(diǎn)H，使DH=FD，連接EH，過點(diǎn)E作EG⊥AH于點(diǎn)G.

證法9：如圖12，連接AD并延長至點(diǎn)G，使DG=FD，連接EG、FG.

思路5：巧妙旋轉(zhuǎn)，構(gòu)“特殊形”.

證法10：如圖13，在BC上截取BG=BE，連接EG、DG.

證法11：如圖14，過點(diǎn)F作FG∥BD交AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GA′∥EF交DB的延長線于點(diǎn)A′，過點(diǎn)G作GH∥FD交A′B于點(diǎn)H.

證法12：如圖15，過點(diǎn)D作DG⊥BD，使DG=ED，連接EG、AD，過點(diǎn)G 作GH∥AE交AD于點(diǎn)H.

證法13：如圖16，連接AD，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H.

證法14：如圖17，過點(diǎn)A作AM⊥AB，過點(diǎn)D作DM⊥BD于點(diǎn)D，在AM上截取MG=MN，連接DG、NG.

思路6：用代數(shù)法，求解直角三角形.

證法15：如圖18，過點(diǎn)F作FG⊥BD于點(diǎn)G，連接AD.

因?yàn)镋F⊥EA，所以∠DEF+∠AEB=90°.又∠BAE+∠AEB=90°，所以∠BAE=∠DEF，則tan∠BAE=tan∠GEF，所以，整理得（y-x）（x-z）=0.因?yàn)閥≠x，所以x=

證法16：如圖19，連接AF，過點(diǎn)F作MF⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥AB交MF的延長線于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DG⊥AN于點(diǎn)G.

可得矩形ABMN和正方形ABDG.

設(shè)AB=x，BE=a，F(xiàn)M=DM=GN=b，則FN=x-b，EM=x+b-a.

根據(jù)勾股定理，可得AF2=AE2+EF2，AE2=AB2+BE2，EF2=EM2+FM2，AF2=AN2+FN2，所以（x+b）2+（x-b）2=（x+b-a）2+b2+x2+a2，整理并化簡得a=b，即BE=FM=DM，所以

2.關(guān)于第（2）問圖2、圖3的解法探究

借用第（1）問的解題方法，采用類比推理的辦法可探究圖2的結(jié)論為圖3的結(jié)論為BC+限于篇幅，不再贅述.

四、教學(xué)啟示

1.提倡一題多解，開闊解題視野

幾何壓軸題教學(xué)時(shí)，教師要深刻理解問題結(jié)構(gòu)和圖形結(jié)構(gòu)的變化情況，要善于抓住題目中的條件特征、數(shù)字特征、結(jié)論特征和圖形特征，從中尋找解題突破口，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和解題方法，就可以得到不同的解法，這就是數(shù)學(xué)上常說的一題多解.數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地針對(duì)一些典型的課本習(xí)題、中考試題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用不同的方法去解決，有利于溝通知識(shí)的內(nèi)涵和外延，尋找自然解法.一題多解的目的并不在于“多解”，而在于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和層次性，這樣就可以拓寬學(xué)生的解題思路，克服思維定式，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維能力，開闊學(xué)生的解題視野.

2.學(xué)會(huì)類比推理，提高解題效率

三角形和四邊形是初中數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，在數(shù)學(xué)解題過程中，有很多幾何壓軸題可通過類比推理的方法解決，以達(dá)到高效、快捷的效果，激活學(xué)生思維，提高解題效率.類比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間的形同和相似進(jìn)行推理論證的一種重要數(shù)學(xué)思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的重要方法之一，通過類比推理能夠?qū)で蠼鉀Q同類問題的思路，可讓模糊的問題清晰化、復(fù)雜的問題簡單化、隱性的問題顯性化.初中數(shù)學(xué)內(nèi)容廣泛，很多內(nèi)容如代數(shù)問題、幾何問題、方程和函數(shù)問題都需要用到類比推理.類比推理是一種行之有效的數(shù)學(xué)解題方法，在初中數(shù)學(xué)中大膽運(yùn)用類比推理，不但可以達(dá)到溫故而知新的目的，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的靈活性思維，使復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題簡單化，從而大大提高解題的效率和速度.

3.構(gòu)建基本模型，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在平時(shí)的解題教學(xué)中，教師幫助學(xué)生提煉總結(jié)出一些常見的幾何基本模型，并運(yùn)用這些基本模型解題，不僅有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高解題效率，而且對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.重視基本模型解決幾何題的一個(gè)基本套路，首先要認(rèn)真分析條件，將條件與相關(guān)“基本模型”結(jié)合起來，利用這個(gè)“基本模型”的性質(zhì)獲得相關(guān)的結(jié)論，有時(shí)，背景圖形中不一定有與條件匹配的“基本模型”，這時(shí)需要聯(lián)想相關(guān)知識(shí)添加輔助線構(gòu)造出相關(guān)的“基本模型”，再利用這個(gè)“基本模型”的性質(zhì)，獲取相應(yīng)的結(jié)論，達(dá)到解決問題的目的.教師在平時(shí)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生尋找解題思路，要熟悉基本模型，多總結(jié)、多積累、多識(shí)記、多聯(lián)想、多應(yīng)用，形成基本的解題能力，積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，徹底脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”，努力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).