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    三角形與三棱錐的兩個(gè)性質(zhì)命題的逆命題

    2008-12-10 10:11王本民
    中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年2期
    關(guān)鍵詞:三棱錐三邊過(guò)點(diǎn)

    王本民

    文[1]討論了三角形的一個(gè)向量性質(zhì)并將其推廣到三棱錐中.

    命題1 如圖1所示,已知△ABC及其內(nèi)部一點(diǎn)P,若│霜1㏄A擢+λ2㏄B+λ3㏄C=0,λ1,λ2,λ3都是正實(shí)數(shù),過(guò)點(diǎn)P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn),且〢M=x〢B擼〢N=y〢C

    命題2 如圖2所示,已知三棱錐ABCD及其內(nèi)部一點(diǎn)P,若λ1㏄A+λ2㏄B+λ3㏄C+λ4㏄D

    筆者進(jìn)一步研究后發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)命題的逆命題也成立,現(xiàn)將其敘述并證明如下.

    命題3 如圖1所示,已知△ABC及其內(nèi)部一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn),且〢M=x〢B

    證明:∵M(jìn)、N、P三點(diǎn)共線(A不在直線MN上),∴〢P=μ1〢M+μ2〢N=μ1x〢B+μ2y〢C擼(且μ1+μ2=1) ①

    =0.故命題成立.

    命題4 如圖2所示,已知三棱錐ABCD及其內(nèi)部一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作平面與AB、AC、AD三邊分別交于M、N、K三點(diǎn),且

    故命題成立.

    顯然,由上述命題及證明可以得到如下兩個(gè)“充要性”的命題:

    命題5 如圖1所示,已知△ABC及其內(nèi)部一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn),且〢M=x〢B

    命題6 如圖2所示,已知三棱錐ABCD及其內(nèi)部一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作平面與AB、AC、AD三邊分別交于M、N、K三點(diǎn),且

    參考文獻(xiàn)

    [1]田富德.三角形的一個(gè)向量性質(zhì)及其空間拓廣.數(shù)學(xué)通訊.2007(13).

    注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?!?/p>

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