點線對稱常見問題舉例

徐澤貴

在高中課程中常常出現(xiàn)有關(guān)點、線對稱的問題,此類問題主要涉及中點,垂直、夾角等相關(guān)知識點,利用“數(shù)形結(jié)合”來分析,此類問題就可迎刃而解,現(xiàn)舉例如下。

1 點與點關(guān)于點對稱問題

例:已知點A(1、2)、點B(5、-3),求A點關(guān)于點B的對稱點。

解:設(shè)A點關(guān)于點B對稱點A的坐標為(x、y)

由中點坐標公式得:

5=1+x2

-3=2+y2∴

x=9y=-8

∴所求點的坐標為(9、-8)

2 點與點關(guān)于線對稱問題

例:已知點P(1、-2),直線L:3x-2y+1=0。求點P關(guān)于直線L的對稱點。

分析:事實上直線L是點P與對點P的對稱點的中垂線,解題時抓住中點在直線上,和直線L和線段垂直即可解答。

解:設(shè)點P關(guān)于L對稱點為P1(x、y)

根據(jù)題意得:y+2x-1=-23

3xy+12-2×-2+y2+1=0

解得x=-3513y=613

∴所求對稱點的坐標為(-3513,613)

3 線與線線關(guān)于點對稱

例:已知直線L:x+y-1=0,求直線L關(guān)于點P(2,3)對稱的直線方程。

分析:線與線關(guān)于點對稱,則線與線平行,且點到線的距離相等。

解:設(shè)所求直線方程為:x+y+c=0

|2+3-1|12+12 = |2+3+c| 12+12

C1=-1(舍去) C2=-9

∴所示直線方程為:x+y-9=0

4 線與線關(guān)于線對稱問題

例:已知直線L1:x+y+3=0,L2:x+y-8=0,求L2關(guān)于L1對稱的直線方程

分析:由題意結(jié)合圖形可知L1∥L2,則所求對稱直線與L1、L2平行,且相隔距離相等。

解:設(shè)L2關(guān)于L1對稱的直線方程為:x+y+c=0

根據(jù)題意得:

|3+8|12+12 =|3-c|12+12

C1=-8(舍去)C2=14

∴所求直線方程為:x+y+14=0

例:已知直線L1:2x+y+1=0,L2:x-y+5=0,求L1關(guān)于L2對稱的直線方程

解:由2x+y+1=0X-y+5=0

得交點坐標為(-2,3)

設(shè)所求直線的斜率為k,由直線的夾角公式得:

1+21-2=k-11+k

K=-2(舍去),K=-12

y-3=-12(x+2),即:x+2y-2=0

∴所示直線方程為:x+2y-2=0

在解答有對稱問題時,一定要借助“形”來直觀分析,再抓住相關(guān)知識點(角、點、垂直等)關(guān)系來求解。

收稿日期:2009-06-25