平方差

的培養(yǎng)．特比是平方差公式作為公式學(xué)習(xí)的起始課，承載了乘法公式研究方法的指導(dǎo)、甚至是能力培養(yǎng)的重要使命．在公式教學(xué)中，教師往往只重視公式的運(yùn)用，雖然說以例題和練習(xí)作為重點(diǎn)可以提高學(xué)生運(yùn)算能力，但這樣導(dǎo)致公式的研究較為片面，學(xué)生由于不清楚為何學(xué)而感到枯燥，無法認(rèn)識(shí)公式的意義，進(jìn)而導(dǎo)致這樣的“運(yùn)算能力”留有隱患．教學(xué)中具體存在問題如下：2.1 缺乏知識(shí)結(jié)構(gòu)的指導(dǎo)平方差公式是多項(xiàng)式乘法的特殊情況，在教學(xué)中如何使學(xué)生認(rèn)識(shí)特殊之處，如果教學(xué)時(shí)僅僅使學(xué)生通過計(jì)算兩個(gè)特殊

)1 問題提出平方差公式是初中數(shù)學(xué)“代數(shù)”領(lǐng)域中重要的一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)，是代數(shù)式的變形、化簡和計(jì)算的重要依據(jù)，對(duì)于后續(xù)內(nèi)容，如因式分解和分式化簡有著非常重要的基石作用.在教材編排上，國內(nèi)北師大版、人教版、蘇教版教材都是將平方差公式放在整式的乘法后面，更具體地，是放在多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式之后，從而將平方差公式的學(xué)習(xí)邏輯簡單地“解釋”為多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的“特殊”形式.科學(xué)的論證要以事實(shí)資料為基礎(chǔ)，借助理論依據(jù)或者證據(jù)來支持自己的主張，并通過邏輯推理形成最終結(jié)論.在數(shù)學(xué)教

下面,筆者以“平方差公式(第1 課時(shí))”為例,談?wù)勗诤诵乃仞B(yǎng)的視角下對(duì)初中代數(shù)課堂的教學(xué)實(shí)踐與思考.1 教材分析平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中的一個(gè)重要公式,是在學(xué)習(xí)了整式乘法基本運(yùn)算法則之后,對(duì)于特殊形式的多項(xiàng)式乘法的進(jìn)一步研究,屬于數(shù)學(xué)再創(chuàng)造活動(dòng)的結(jié)果.平方差公式在整式乘法,因式分解,分式運(yùn)算及其它代數(shù)式的變形中起著十分重要的作用.同時(shí),它也是構(gòu)建學(xué)生有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)體系并形成相應(yīng)數(shù)學(xué)技能的重要內(nèi)容,是讓學(xué)生感悟化歸、換元、整體等數(shù)學(xué)思想,以及感受數(shù)學(xué)再

分析】式子符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，應(yīng)熟記平方差公式a2-b2=（a+b）·（a-b），利用平方差公式分解即可。解：9x2-1=（3x）2-12=（3x+1）（3x-1）?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查用平方差公式因式分解，我們應(yīng)熟記平方差公式的特點(diǎn)：兩項(xiàng)平方項(xiàng)，符號(hào)相反。三、運(yùn)用綜合方法例5 （2020·江蘇無錫）因式分解：ab2-2ab+a= 。【分析】先提取公因式a，再利用公式法繼續(xù)分解。解：ab2-2ab+a=a（b2-2b+1）=a（b-1）2。【點(diǎn)評(píng)】

分析】式子符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，應(yīng)熟記平方差公式a2-b2=（a+b）·（a-b），利用平方差公式分解即可?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查用平方差公式因式分解，我們應(yīng)熟記平方差公式的特點(diǎn)：兩項(xiàng)平方項(xiàng)，符號(hào)相反。三、運(yùn)用綜合方法例5（2020·江蘇無錫）因式分解：ab2-2ab+a=____?！痉治觥肯忍崛」蚴絘，再利用公式法繼續(xù)分解。解：ab2-2ab+a=a（b2-2b+1）=a（b-1）2。【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法以及公式法因式分解，正確應(yīng)用公式是解題的關(guān)

導(dǎo)思想，突出對(duì)平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，讓學(xué)生在參與平方差公式的探究推導(dǎo)、歸納證明、解釋應(yīng)用的過程中進(jìn)一步發(fā)展代數(shù)推理能力、表達(dá)能力等各方面的能力。③生成思維導(dǎo)圖。本節(jié)微課將平方差公式的學(xué)習(xí)過程用思維導(dǎo)圖的方式呈現(xiàn)，讓學(xué)生清晰了解并記憶知識(shí)體系。④語言風(fēng)趣幽默。在設(shè)計(jì)微課的過程中，重點(diǎn)強(qiáng)化語言的藝術(shù)性及規(guī)范性?！?制作背景①隨著新冠疫情的常態(tài)化，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了巨大的變化，如何設(shè)計(jì)出能夠滿足學(xué)生線上自主學(xué)習(xí)的相關(guān)配套資源顯得尤為重要。特別是在國家“雙減”

八年級(jí)上冊(cè)中的平方差公式的運(yùn)用于推導(dǎo)。平方差公式是一種較為獨(dú)特的乘法公式，可以是“多項(xiàng)式*多項(xiàng)式”的運(yùn)用，還可以是因式分解、分式等，對(duì)平方差有正要的作用，對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很關(guān)鍵。經(jīng)過學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用平方差公式的基本知識(shí)結(jié)構(gòu)，只不過在初學(xué)乘法公式、認(rèn)識(shí)公式結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)生來說是很艱難的。那么，教師就要在初中數(shù)學(xué)課堂中不斷強(qiáng)調(diào)平方差公式的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。二、教學(xué)目標(biāo)結(jié)合初中數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容以及新課標(biāo)的要求和學(xué)生當(dāng)下的知識(shí)水平，建立

上冊(cè)14.2“平方差公式”為例，采用“三段六環(huán)”教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐. 實(shí)踐證明，“三段六環(huán)”教學(xué)模式調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，突顯了學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位，學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動(dòng)轉(zhuǎn)為主動(dòng)，在夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)的情況下，有效促進(jìn)了學(xué)生核心素養(yǎng)的生成.[關(guān)鍵詞] 三段六環(huán);平方差;初中數(shù)學(xué)不久前，筆者有幸聽了一堂關(guān)于“三段六環(huán)”的專題講座，深受啟發(fā)，嘗試以人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)14.2“平方差公式”為例，采用“三段六環(huán)”教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐. “三段六環(huán)”教學(xué)模式中的“

己和老伴年齡的平方差是133，而孫女與孫子年齡的平方差竟然也是133. 露絲得知后不禁調(diào)侃道：“果然是一家人啊！”當(dāng)然，這種關(guān)系到了明年就不再成立. 請(qǐng)問：亨德利、露絲、孫女、孫子的年齡各是多少歲？已知：亨德利年齡比露絲大，孫女年齡比孫子大.解析：表面上看起來，只知亨德利和露絲年齡的平方差、孫女與孫子年齡的平方差，要求出四人的具體年齡似乎不太可能. 若考慮將133分解，即133 = 7 × 19 = 1 × 133，則能從這兩種形式中找出解題的突破口，根據(jù)

我們主要從利用平方差公式分解因式方面，讓同學(xué)們體會(huì)如何使用整體法。我們都知道，因式分解中的平方差公式是：a2-b2=（a+b）（a-b）。為了讓同學(xué)們更深刻地認(rèn)識(shí)這個(gè)公式，明確公式中a、b可以代表的具體內(nèi)容，我們換一種形式表達(dá)：A2-B2=（A+B）（A-B）。這里的A、B既可以指一個(gè)數(shù)字或字母，也可以指一個(gè)復(fù)雜單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。當(dāng)A、B指代的是一個(gè)復(fù)雜單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí)，我們就需要把這個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式當(dāng)作一個(gè)整體來看待，即公式中的A或B，這就應(yīng)用了整體法的思

學(xué)學(xué)習(xí)。一個(gè)是平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，另一個(gè)是完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2。接下來，我們看看如何運(yùn)用它們來解決問題。一、利用公式簡便運(yùn)算例1 化簡（x-2y+3z）（x+2y-3z）。【解析】有些同學(xué)在利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往不能準(zhǔn)確地找到公式中的a、b。我們仔細(xì)觀察平方差公式，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)括號(hào)里a相同，b的系數(shù)相反。所以本題中x為a，2y-3z為b或-2y+3z為b。答案為x2-4y2+12yz-9z2。二、利

主人.本文以“平方差公式”教學(xué)為例，分析如何在課堂教學(xué)中利用問題培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.一、明確教學(xué)目標(biāo)，設(shè)置問題情境平方差公式的學(xué)習(xí)，先要從教學(xué)目標(biāo)細(xì)化入手.一方面，讓學(xué)生明曉平方差表達(dá)式，了解其結(jié)構(gòu)特征;另一方面，借助于自主學(xué)習(xí)、合作探究，加深對(duì)平方差公式的理解，促進(jìn)學(xué)生學(xué)以致用，靈活解題.該節(jié)重點(diǎn)是探究平方差公式的本質(zhì)，難點(diǎn)是對(duì)于“字母可變性”的靈活運(yùn)用.在課堂情境導(dǎo)入部分，要激發(fā)學(xué)生的探奇欲望，設(shè)置智力題搶答，讓學(xué)生快速求解答案.對(duì)于“21×19=？”

材中首先研究了平方差公式，其研究過程具有很好的育人價(jià)值，從一般到特殊的研究方法，從具體到抽象的研究過程，數(shù)形結(jié)合的研究視角，為后續(xù)繼續(xù)研究其他公式提供研究思路和方法.本文以《乘方公式（第一課時(shí)）》為例，具體來談?wù)劷虒W(xué)中如何設(shè)計(jì)問題串，真正做到深度學(xué)習(xí)。關(guān)鍵詞：平方差公式;公式教學(xué)一、內(nèi)容與內(nèi)容解析1.內(nèi)容解讀某些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，可以寫成公式的形式，當(dāng)遇到相同形式的多項(xiàng)式相乘時(shí)，就可以運(yùn)用公式寫出結(jié)果，以簡化運(yùn)算。平方差公式是多項(xiàng)式的乘法公式的一種特殊

講到這里，學(xué)過平方差公式的同學(xué)一定能一眼看出來哪塊土地的面積大。因?yàn)椋╝+5）（a-5）=a2-52，所以大正方形的面積大。最終的土地少了25平方米，張老漢真的吃虧了。我們?cè)賮砜?，圖2中的紅色部分其實(shí)是圖1中的哪部分面積呢？通過面積割補(bǔ)法，一目了然。如圖2，大正方形內(nèi)去掉一個(gè)邊長為5的小正方形，剩余部分的面積a2-52就是地主最終租給張老漢的土地面積。其實(shí)，通過面積割補(bǔ)法，我們?cè)僖淮巫C明了a2-52=（a+5）（a-5）。對(duì)于平方差公式，大家都不陌生，但你

我們主要從利用平方差公式分解因式方面，讓同學(xué)們體會(huì)如何使用整體法。我們都知道，因式分解中的平方差公式是：a2-b2=（a+b）（a-b）。為了讓同學(xué)們更深刻地認(rèn)識(shí)這個(gè)公式，明確公式中a、b可以代表的具體內(nèi)容，我們換一種形式表達(dá)：A2-B2=（A+B）（A-B）。這里的A、B既可以指一個(gè)數(shù)字或字母，也可以指一個(gè)復(fù)雜單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。當(dāng)A、B指代的是一個(gè)復(fù)雜單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí)，我們就需要把這個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式當(dāng)作一個(gè)整體來看待，即公式中的A或B，這就應(yīng)用了整體法的思

講到這里，學(xué)過平方差公式的同學(xué)一定能一眼看出來哪塊土地的面積大。因?yàn)椋╝+5）（a-5）=a2-52，所以大正方形的面積大。最終的土地少了25平方米，張老漢真的吃虧了。我們?cè)賮砜?，圖2中的紅色部分其實(shí)是圖1中的哪部分面積呢？通過面積割補(bǔ)法，一目了然。如圖2，大正方形內(nèi)去掉一個(gè)邊長為5的小正方形，剩余部分的面積a2-52就是地主最終租給張老漢的土地面積。其實(shí)，通過面積割補(bǔ)法，我們?cè)僖淮巫C明了a2-52=（a+5）（a-5）。對(duì)于平方差公式，大家都不陌生，但你

學(xué)學(xué)習(xí)。一個(gè)是平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，另一個(gè)是完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2。接下來，我們看看如何運(yùn)用它們來解決問題。一、利用公式簡便運(yùn)算例1 化簡（x-2y+3z）（x+2y-3z）?！窘馕觥坑行┩瑢W(xué)在利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往不能準(zhǔn)確地找到公式中的a、b。我們仔細(xì)觀察平方差公式，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)括號(hào)里a相同，b的系數(shù)相反。所以本題中x為a，2y-3z為b或-2y+3z為b。答案為x2-4y2+12yz-9z2。二、利

較簡單。這里從平方差公式的運(yùn)用方面為同學(xué)們的復(fù)習(xí)提供一些幫助。例 （2019·常州）下列各數(shù)中與2+[3]的積是有理數(shù)的是（）。A.2+[3] B.2C.[3] D.2[-3]解析：只要能聯(lián)想到平方差公式，題目就能迎刃而解。解：（2+[3]）（2-[3]）=4-3=1，故選D。變式：（2019·揚(yáng)州）計(jì)算[5-22018][5+22019]=? ? ? ?。解析：先根據(jù)積的乘方得到原式=[5-25+220185+2] ，然后利用平方差公式計(jì)算。解：原式=[

較簡單。這里從平方差公式的運(yùn)用方面為同學(xué)們的復(fù)習(xí)提供一些幫助。例（2019·常州）下列各數(shù)中與2+的積是有理數(shù)的是（ ）。解析：只要能聯(lián)想到平方差公式，題目就能迎刃而解。解析：先根據(jù)積的乘方得到原式然后利用平方差公式計(jì)算。歸納：本題考查了二次根式的運(yùn)算。例1直接考查同學(xué)們對(duì)含根式的實(shí)數(shù)運(yùn)算的掌握情況，運(yùn)用平方差公式可以很快解決。變式的難度稍微增加，考查同學(xué)們對(duì)平方差公式、積的乘方的綜合運(yùn)用的掌握情況，以達(dá)到簡化計(jì)算的目的。在含有根式的實(shí)數(shù)運(yùn)算中，如能結(jié)合題

來算一算它們的平方差吧！不過，把它們算出來，辦法極多，譬如說也可以這樣來算：既然如此，我們可以干脆省略中間的運(yùn)算過程，直接寫出結(jié)果來：這樣的等式，可以一直寫下去，無窮無盡，統(tǒng)統(tǒng)都是成立的．上至三十三天，下及十八層地獄，屹立不動(dòng)，一個(gè)例外都沒有，這就使得圣賢豪杰、凡夫俗子，都要站起來向它們肅然致敬了．不論短到一、兩位，長達(dá)成百、上千位，等式的左邊和右邊，始終只出現(xiàn)3，4，6，8四個(gè)數(shù)字，其他數(shù)字都被一概謝絕了！迄今為止，這樣的一系列無窮等式，除此之外，別的地

兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”.比如，4=2-0，12=4-2，20=6-4，因此4，12，20都是神秘?cái)?shù).（1）28和2020這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k為整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？*23.（11分）觀察下列因式分解的過程，回答后面提出的問題.1+x+x（x+1）+x（x+1）=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（

有意識(shí)地運(yùn)用“平方差公式”解決相關(guān)的二次方程和不定方程問題，下面舉例加以說明。1.已知兩數(shù)之和（差）與積，求這兩個(gè)數(shù)。公元3世紀(jì)，丟番圖在其《算術(shù)》第1卷第27題中，運(yùn)用古巴比倫人的“和差術(shù)”，通過“平方差公式”來解答這個(gè)問題。假如已知兩數(shù)之和為20、積為96，求這兩個(gè)數(shù)。其解法用我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言敘述為：假設(shè)所求兩數(shù)分別為10+x和10-x，則（10+x）·（10-x）=96，根據(jù)“平方差公式”得100-x2=96，故x2=4，從而求得x=2（當(dāng)時(shí)人們認(rèn)

有意識(shí)地運(yùn)用“平方差公式”解決相關(guān)的二次方程和不定方程問題，下面舉例加以說明。1.已知兩數(shù)之和（差）與積，求這兩個(gè)數(shù)。公元3世紀(jì)，丟番圖在其《算術(shù)》第1卷第27題中，運(yùn)用古巴比倫人的“和差術(shù)”，通過“平方差公式”來解答這個(gè)問題。假如已知兩數(shù)之和為20、積為96，求這兩個(gè)數(shù)。其解法用我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言敘述為：假設(shè)所求兩數(shù)分別為10+x和10-x，則（10+x）·（10-x）=96，根據(jù)“平方差公式”得100-x2=96，故x2=4，從而求得x=2（當(dāng)時(shí)人們認(rèn)

解析1.內(nèi)容：平方差公式。2.內(nèi)容解析：平方差公式是具有特殊形式的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘得到的一種特殊形式，即兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。平方差公式的符號(hào)表示和語言表述解釋了公式的結(jié)構(gòu)特征。公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具體的數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式乃至任何代數(shù)式。平方差公式在代數(shù)中具有廣泛的應(yīng)用，它也是后續(xù)學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生提高運(yùn)算速度、準(zhǔn)確率有較大作用，更是以后學(xué)習(xí)因式分解、分式運(yùn)算的重要基礎(chǔ)。二、目標(biāo)和解析

面探究、推導(dǎo)“平方差公式”，觀察并總結(jié)出公式的形式特征?！娟P(guān)鍵詞】多項(xiàng)式乘法法則 平方差公式一、 知識(shí)回顧多項(xiàng)式乘法法則：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn其意義是：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.說明：這里相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式不管是幾項(xiàng)式，其法則不變.二、問題探究計(jì)算：（1）（x+2y）（x-2y）；（2）（x-6y）（x+6y）；（3）（3x+5y）（3x-5y）；（4）（a+b）（a-b

內(nèi)容解析內(nèi)容：平方差公式.內(nèi)容解析：為了進(jìn)一步理解平方差公式，可以利用（a+b）（a-b）=a2-b2的幾何意義——面積，運(yùn)用表示面積的方法解釋平方差公式，以便直觀地把握公式，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式.二、案例描述1.問題情境問題呈現(xiàn)（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室）：在邊長為a的正方形紙上剪去一個(gè)邊長為b（b2.建構(gòu)活動(dòng)師：同學(xué)們觀察一下這個(gè)圖形，該如何求陰影部分的面積？給學(xué)生充分的思考時(shí)間.生1：用大正方形的面積減去小正方形的面積，

的地位和作用《平方差公式》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例。對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法。因此，平方差公式作為初中階段的第一個(gè)公式，它能讓學(xué)生感悟換元思想，整體思想。感受數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造性，在教學(xué)中起著承上啟下的作用。2.教學(xué)目標(biāo)新課改的精神在于以學(xué)生發(fā)展為本，能力培養(yǎng)為重，根據(jù)

則有很多，例如平方差、相關(guān)、相關(guān)系數(shù)、歸一化平方差、歸一化相關(guān)、歸一化相關(guān)系數(shù)等.為了使運(yùn)算過程既簡單又快速，本文使用歸一化平方差作為模板匹配的相似性度量.2 模板匹配原理本文模板匹配采用將模板在待匹配圖中按照從左到右、從上到下的原則掃描待匹配圖，在掃描過程中用歸一化平方差準(zhǔn)則計(jì)算兩者的匹配度，以確定是否有最適合的對(duì)象.模板和待匹配圖像可以直接進(jìn)行歸一化平方差運(yùn)算，但是這樣可能會(huì)使得一些不必要的特征如灰度信息等讓運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)偏差甚至是出現(xiàn)錯(cuò)誤匹配.而邊緣檢

，江蘇 灌云）平方差公式是蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第9章第4節(jié)第二課時(shí)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)生對(duì)于平方差公式都能說上來：（a+b）（a-b）=a2-b2，但是在運(yùn)用過程中，總會(huì)出現(xiàn)各式各樣的錯(cuò)誤。下面我就針對(duì)存在的問題和大家談?wù)剳?yīng)對(duì)策略。一、練習(xí)中的錯(cuò)誤舉例錯(cuò)誤類型 1：（x+3）（x-3）=（x-3）2（x-3）（x-3）=x2-32錯(cuò)誤原因剖析：平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)沒有掌握，與完全平方公式的特點(diǎn)弄混了。錯(cuò)誤類型 2：（-2+x）（2+x）=（-2）2-x2=4-

單化。本文針對(duì)平方差公式進(jìn)行講解。關(guān)鍵詞 平方差；公式；教案中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）33-0252-01一、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課安排探究學(xué)習(xí)：兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積等于兩個(gè)數(shù)的平方差，叫做平方差公式。同時(shí)為下一節(jié)多項(xiàng)式分解因式打下十分重要的基礎(chǔ)，因此本節(jié)是重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容。二、教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算。【過程與方法】1.在探究平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號(hào)感和推理能力；2

一、教材分析《平方差公式》是初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)14.2的內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)上，已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，是從一般到特殊的典型范例.對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。在教材中起著承上啟下的作用。因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中也具有很重要地位，是初中階段的第一個(gè)公式。

課標(biāo)要求（1）平方差公式的推導(dǎo)。（2）平方差公式的幾何論證。（3）平方差公式的應(yīng)用。二、教學(xué)設(shè)計(jì)思想1.教材理解：通過自主探究理解平方差公式意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)用幾何圖形說明公式的意義，并能正確的運(yùn)用平方差公式。2.教學(xué)方法設(shè)計(jì)：啟發(fā)式、討論式，相結(jié)合的教學(xué)方法。3.學(xué)生特點(diǎn)分析：學(xué)生在剛接觸了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的乘法計(jì)算之后，從一般的計(jì)算中抽象出特殊形式的式子及結(jié)果寫成平方差公式，通過對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，豐富了學(xué)習(xí)內(nèi)容，也拓寬了學(xué)生的視野，在學(xué)

課標(biāo)要求（1）平方差公式的推導(dǎo)。（2）平方差公式的幾何論證。（3）平方差公式的應(yīng)用。二、教學(xué)設(shè)計(jì)思想1.教材理解：通過自主探究理解平方差公式意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)用幾何圖形說明公式的意義，并能正確的運(yùn)用平方差公式。2.教學(xué)方法設(shè)計(jì)：啟發(fā)式、討論式，相結(jié)合的教學(xué)方法。3.學(xué)生特點(diǎn)分析：學(xué)生在剛接觸了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的乘法計(jì)算之后，從一般的計(jì)算中抽象出特殊形式的式子及結(jié)果寫成平方差公式，通過對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，豐富了學(xué)習(xí)內(nèi)容，也拓寬了學(xué)生的視野，在學(xué)

內(nèi)容：經(jīng)歷探索平方差公式的全過程，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算。教學(xué)目標(biāo)：1.掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算；2.經(jīng)歷平方差公式的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力、歸納能力；3.會(huì)用幾何圖形說明公式的意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是：經(jīng)歷探索平方差公式的全過程，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算。對(duì)本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是：剛學(xué)過多項(xiàng)式的乘法，已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)和運(yùn)用平方差公式的知識(shí)結(jié)構(gòu)，但本節(jié)課所給的

2ab+b2.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.那么對(duì)于這些公式，我們?cè)鯓硬拍茏龅届`活運(yùn)用呢？下面和大家一起來分享一下.一、完全平方公式例1 計(jì)算（a+b+c）2.解法一：原式=（a+b+c）（a+b+c）=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2.解法二：原式=[（a+b）+c]2=（a+b）2+2（a+b）c+c2=a2+2ab+b2

2ab+b2.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.那么對(duì)于這些公式，我們?cè)鯓硬拍茏龅届`活運(yùn)用呢？下面和大家一起來分享一下.一、完全平方公式例1計(jì)算（a+b+c）2.解法一：解法二：【說明】解法一是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加；解法二是利用整體思想將a+b看成整體，直接套用完全平方公式展開的.例2若a是一個(gè)數(shù)，且4x2+axy+9y2是一個(gè)完全平方式，則a=.解：±12.【說明】本題考

何處 ——以“平方差公式因式分解”教學(xué)為例文︳向軍正確認(rèn)識(shí)和有效發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，是優(yōu)化課堂教學(xué)與提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。因此，在教學(xué)過程中要處理好傳授知識(shí)與培養(yǎng)能力的關(guān)系，注重培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立性和自主性，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、探究，使學(xué)習(xí)成為在教師指導(dǎo)下主動(dòng)的、富有個(gè)性的過程。那么在課堂教學(xué)中，教師究竟“導(dǎo)”向何處呢？一、“導(dǎo)”向知識(shí)的本質(zhì)課堂一旦還給學(xué)生，學(xué)生會(huì)用自己的方式去理解、表達(dá)，往往容易發(fā)散。對(duì)此，教師可以通過整合預(yù)學(xué)材料，給出導(dǎo)學(xué)提示，將學(xué)生的思考指向知

1）因式分解的平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即a2-b2=（a+b）（a-b）。這個(gè)公式就是把整式乘法的平方差公式等號(hào)左右兩邊顛倒過來。（2）因式分解的完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，即a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2。①直接提取公因式（x-y），進(jìn)而利用平方差公式進(jìn)行分解即可；a2（x-y）+4b2（y-x）=（x-y）（a2-4

四項(xiàng)式，再利用平方差公式展開，最后合并同類項(xiàng).【解析3】【點(diǎn)評(píng)】利用整體思想構(gòu)造平方差公式，再利用完全平方公式展開.二、尋找規(guī)律此題還有更多的解法.那么為什么有這么多的解法呢？這些解法是怎么想出來的？這其中有什么秘密嗎？這其中蘊(yùn)含了很多的規(guī)律.1.知識(shí)規(guī)律這中間包含了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法、平方差公式和完全平方公式，它們之間的聯(lián)系如圖所示.正是因?yàn)橛辛诉@些關(guān)系，才會(huì)使題目有多種解法.2.解題規(guī)律（1）選用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算與選用平方差公式和完全平方公式

形成為完全符合平方差公式的形式.觀察發(fā)現(xiàn)第一個(gè)括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)都是負(fù)的，所以可以考慮提出負(fù)號(hào)，變形成為-（x+3y）（x-3y），這樣對(duì)應(yīng)到平方差公式中“a”就是x，“b”就是3y；從另外一個(gè)角度看，兩個(gè)括號(hào)內(nèi)3y項(xiàng)的符號(hào)相同、x項(xiàng)符號(hào)相反，所以可以考慮交換兩項(xiàng)位置讓其滿足平方差公式.【點(diǎn)評(píng)】解答此類題目的關(guān)鍵是滿足公式的形式，符號(hào)上必須滿足和乘差才能運(yùn)用平方差公式.當(dāng)然，如果沒有看出可以變形后運(yùn)用公式，那就老老實(shí)實(shí)用整式乘法中多乘多的方法，一項(xiàng)一項(xiàng)相乘也是可以

“14.2.1平方差公式”為例☉天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué)劉家良導(dǎo)學(xué)案是引導(dǎo)學(xué)生自主求知的方案.而在日常教學(xué)中，學(xué)案的使用大多成為了一張學(xué)生解題的試卷，或者為教材的“分段”翻版，有聽課時(shí)用一用，沒有聽課的就扔到了一邊，這種流于形式上的導(dǎo)學(xué)案現(xiàn)象，造成教與學(xué)的脫節(jié)，違背了導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)的初衷.導(dǎo)學(xué)案不單單是突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的一個(gè)知識(shí)流程圖，更要承載學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生濃厚好奇心的效能，產(chǎn)生一種揭開神秘“面紗”的驅(qū)動(dòng)力，通過引導(dǎo)學(xué)生通過算一算、議一議、推一推等環(huán)節(jié)經(jīng)歷

征，及時(shí)地運(yùn)用平方差公式，則會(huì)使運(yùn)算過程簡潔、流暢.現(xiàn)舉例說明.分析：將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)進(jìn)行組合，使其滿足平方差公式，然后運(yùn)用平方差公式，再利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.說明：本題固然也可以通過多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法逐項(xiàng)相乘計(jì)算，但那樣的話運(yùn)算量較大，還容易出錯(cuò).說明：在二次根式的運(yùn)算中，及時(shí)“發(fā)現(xiàn)”并運(yùn)用平方差公式，可以簡化運(yùn)算過程，提高準(zhǔn)確率！

何通過拼圖驗(yàn)證平方差公式呢？課后，我們活動(dòng)小組的四位同學(xué)進(jìn)行了深入細(xì)致的探究，先后歸納出三種不同方法，現(xiàn)分別介紹如下.方法一：拼成長方形如圖1，在邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形（a>b），然后將陰影部分剪拼成一個(gè)長方形，分別計(jì)算這兩個(gè)陰影部分的面積，可驗(yàn)證平方差公式.驗(yàn)證：從邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，則左圖的面積可以表示為：a2-b2；將陰影部分拼成一個(gè)長方形，則右圖的面積可以表示為：（a+b）（a-b）. 因?yàn)檫@兩個(gè)陰影

在想：兩個(gè)數(shù)的平方差有什么規(guī)律呢？我舉了個(gè)例子：當(dāng)R=5m，r=4m時(shí)，外圓半徑與內(nèi)圓半徑的平方差是52-42=5×5-4×4=9。這時(shí)，我靈光一閃，9不就等于5+4嗎？我趕緊又舉了一個(gè)例子：當(dāng)R=6m，r=5m時(shí)，這個(gè)外圓半徑與內(nèi)圓半徑的平方差是62-52=6×6-5×5=11，而11=6+5……我又舉了個(gè)例子：當(dāng)R=8m，r=6m時(shí)， 82-62=64-36=28，而28≠8+6。為什么前幾個(gè)例子兩個(gè)數(shù)平方差的值等于這兩個(gè)數(shù)的和，而最后一個(gè)卻不是呢？我

的應(yīng)用——以“平方差公式”課堂教學(xué)實(shí)錄（二）為例訥河市訥南鎮(zhèn)中心學(xué)校楊東興（選自人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上14.2.1平方差公式）本課采用“自主、合作與交流”課堂教學(xué)模式.教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程.2.會(huì)推導(dǎo)平方差公式，運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算.3.在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用符號(hào)表示，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡潔美.教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：理解平方差公式并靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡單的計(jì)算，并能判斷在何種情況下可以利用公式

策略 ——以“平方差公式”課堂教學(xué)實(shí)錄（一）為例訥河市第三中學(xué)陸楊為進(jìn)一步推進(jìn)數(shù)學(xué)課堂從有效課堂向高效課堂邁進(jìn)，全面提升數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平和素養(yǎng)，訥河市教研院組織了一次同課異構(gòu)活動(dòng)，最大程度地展現(xiàn)了教師的智慧和力量.以下為3個(gè)教師對(duì)“平方差公式”的不同講解，現(xiàn)將具體案例呈現(xiàn)給廣大教師，以供參考和借鑒.同課異構(gòu)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)14.2.1平方差公式，主要探究平方差公式的過程及簡單應(yīng)用.重、難點(diǎn)是理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公

作用.下面以“平方差公式”這節(jié)課堂內(nèi)容談一談過程的作用.一、過程設(shè)計(jì)的步驟第一步：探索平方差公式的過程過程一：利用圖形得出平方差公式圖1圖2提問：（1）你能表示出陰影部分的面積嗎？（2）你能用陰影部分的圖形拼成一個(gè)長方形嗎？（3）小明將陰影部分的面積拼成了（如圖2）的一個(gè)長方形，你能表示出它的面積嗎？（4）比較上面兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？得出結(jié)論：這兩部分面積應(yīng)該是相等的，即（a+b）（a-b）=a2-b2第二步：驗(yàn)證平方差公式的過程過程二

王國有兩兄弟：平方差公式和完全平方公式.一天，兩人閑來無事聚到一起，突然冒出了一起行走江湖的念頭.兩人談得很興奮，但到最后卻為誰來做“老大”發(fā)生了爭執(zhí).兩人互不相讓，各執(zhí)一詞，都認(rèn)為自己做“老大”是理所當(dāng)然的.他們爭得面紅耳赤，不可開交.最后沒辦法，只好去找乘法公式大伯來評(píng)判.大伯聽明白兩人的來意后皺了皺眉頭，大聲說道：“既然你們都認(rèn)為自己該做‘老大，那么你們分別說說自己有什么過人之處吧.”平方差公式首先站起來說道：“我的形象好呀，你看，我的左邊是兩個(gè)二項(xiàng)