巧追問 小臺階 慢步走——例談平方差公式的教學

江蘇省南京市南湖第二中學 周 麗

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容：平方差公式。

2.內(nèi)容解析：

平方差公式是具有特殊形式的兩個多項式相乘得到的一種特殊形式，即兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。平方差公式的符號表示和語言表述解釋了公式的結(jié)構(gòu)特征。公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具體的數(shù)、單項式、多項式、分式乃至任何代數(shù)式。平方差公式在代數(shù)中具有廣泛的應(yīng)用，它也是后續(xù)學習的必備基礎(chǔ)，對學生提高運算速度、準確率有較大作用，更是以后學習因式分解、分式運算的重要基礎(chǔ)。

二、目標和解析

1.教學目標

（1）會由多項式乘多項式推導平方差公式；

（2）了解公式的幾何背景；

（3）能運用公式進行簡單的計算；

2.目標解析

達成目標（1）的標志是：學生能夠根據(jù)多項式乘法提煉出平方差公式，把握平方差公式的基本結(jié)構(gòu)與特征，并能用多項式乘法法則驗證平方差公式。

達成目標（2）的標志是：學生可以通過剪拼等方法完成形狀雖然有變化，但是面積相等的幾何圖形轉(zhuǎn)化，從而理解平方差公式的幾何意義。

達成目標（3）的標志是：能用數(shù)學語言表述公式內(nèi)容，當字母表示具體的數(shù)、單項式時，能正確使用公式進行計算。

3.教學問題診斷分析

學生剛接觸整式乘法公式，經(jīng)過一段時間的練習和矯正，大部分學生掌握得還不錯，平方差公式的特點經(jīng)過多項式乘法的提煉，學生應(yīng)該能找到并掌握。

學生在應(yīng)用公式過程中經(jīng)常會出現(xiàn)的困難有：（1）不確定是否能用公式；（2）公式右邊的被減數(shù)與減數(shù)顛倒；（3）兩個以上字母的單項式的乘方容易出錯。

本節(jié)課的教學難點是探索平方差公式的過程。

三、教學過程

1.復習

計算：（1）（5x+y）（5x-y）；（2）（a+2b）（a-2b）；

（3）（2n+m）（-m+2n）；（4）（c+d）（-c-d）；

（5）（2a+b）（2a-c）；（6）（3y-x）（-x-3y）。

師生活動：讓學生自己計算，并要求板書或者實物投影，檢驗對錯。

師問：觀察幾個式子計算所得的結(jié)果，哪幾個項數(shù)更少？這些式子有何特征？你有何猜想？

【設(shè)計意圖：（1）溫故。通過復習多項式乘以多項式，鞏固多項式乘法法則；（2）知新。讓學生在計算中對結(jié)果加以比較，并觀察發(fā)現(xiàn)算式的特殊之處，從而引發(fā)思考。讓學生體會本節(jié)內(nèi)容與多項式乘法的關(guān)系】

在總結(jié)多項式特征的時候，學生可能不會表達得很準確，老師可以加以指導。

追問1：為什么這些式子的結(jié)果項數(shù)會比較少？

追問2：這些式子有相同點嗎？有不同點嗎？不同點在哪兒呢？

追問3：結(jié)果又有什么特點呢？你能構(gòu)造一個類似的式子嗎？

盡量小步子，多臺階，慢步走。試上時，能力薄弱一點的班級學生不會構(gòu)造類似的式子，我就追問4：那我來構(gòu)造一個，但我只寫一半，還有一半你來補充，（a+b）= 。

學生立即思考開了，有的說（a-b），有的說（b-a）。不急，給學生充分思考糾結(jié)的時間，先填寫（a-b），問學生：對不對？

追問5：相同項是什么？相反項是什么？結(jié)果是什么？

追問6：（b-a）可以嗎？有學生回答可以，有同學回答不可以。接著問：有沒有相同項？有沒有相反項？學生答有。那這樣補充可不可以？學生答可以。

追問7：那結(jié)果是什么？進而推出今天的課題，今天我們就學習平方差，注意平方差是以結(jié)果來命名的，兩數(shù)的平方差。

追問8：那到底誰是被減數(shù)，誰是減數(shù)呢？啟發(fā)學生說出相同項的平方是被減數(shù)，相反項的平方是減數(shù)。板書平方差公式，讓學生說出兩者的區(qū)別。

（a+b）（a-b）=a2-b2；（a+b）（b-a）=b2-a2。

出示平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2。

你能用多項式乘法法則說明（a+b）（a-b）=a2-b2的正確性嗎?

【設(shè)計意圖：讓學生體會平方差公式是多項式乘法中的一個特例，進而體會從特殊到一般的數(shù)學方法】

用語言描述為：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差。

特別注意：學生往往分不清哪項是a，哪項是b，也就是說結(jié)果是差，那誰是被減數(shù)，誰是減數(shù)呢？觀察特點的時候就一定要說清楚，相同項是被減數(shù)，相反項是減數(shù)，是用相同項的平方減去相反項的平方。

2.例題講解

例1 （1）（2a+b）（2a-b）；（2）（x-3y）（-x-3y）；（3）（3ab-mn）（-3ab-mn）。

師生活動：先辨識相同項、相反項，再用公式計算，特別注意積的乘方。（完整板書）

【設(shè)計意圖：具體體會公式在解題中的應(yīng)用，進一步熟悉公式】

小練：課本P78 練一練的1。

例2 計算102×98。

師生活動：師生共同分析，如何湊整？符合平方差公式嗎？體會運用公式的好處。教師板書。

小練：計算22×18。

例3 計算（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）。

【設(shè)計意圖：一是平方差公式的甄別和應(yīng)用（設(shè)想的是后面可能學生也會嘗試用“錯誤的平方差”，寫成y2-5，并且結(jié)果忘記加括號）；二是強調(diào)結(jié)果的整體性】

活動：利用你手中的邊長為a的正方形紙片剪去一個邊長為b的（b＜a）的小正方形，這張紙片的面積可以表示為 ，如果只允許你再剪去一刀，你能拼成一個矩形嗎？你還能拼成什么形狀呢？你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

【設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)在探究中引導學生自主操作，并讓不同的學生展示自己的想法，從而讓學生在觀察與反思中感悟“圖形變化，面積相等”，體會變中存在的不變，滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想，從圖形中直觀理解平方差公式的幾何意義】

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【設(shè)計意圖：進一步強化學生對公式的理解，知道公式運用的優(yōu)勢，理解特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想】

作業(yè)：作業(yè)單P61、62 的目標達成和基礎(chǔ)作業(yè)鞏固。