靈活運(yùn)用乘法公式

朱適宜

靈活運(yùn)用乘法公式

朱適宜

在“整式乘法與因式分解”這一章里我們學(xué)到的乘法公式有：完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2.平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2.

那么對于這些公式，我們怎樣才能做到靈活運(yùn)用呢？下面和大家一起來分享一下.

一、完全平方公式

例1計(jì)算（a+b+c）2.

解法一：

解法二：

【說明】解法一是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加；解法二是利用整體思想將a+b看成整體，直接套用完全平方公式展開的.

例2若a是一個(gè)數(shù)，且4x2+axy+9y2是一個(gè)完全平方式，則a=.

解：±12.

【說明】本題考查的是完全平方式，完全平方公式展開后右邊的形式a2+2ab+b2叫完全平方式，即兩項(xiàng)的平方和加上或者減去兩項(xiàng)乘積的2倍.這里可以確定兩項(xiàng)的平方分別是4x2和9y2，則這兩項(xiàng)分別是2x和3y，兩項(xiàng)積的2倍是12xy，前面的符號(hào)可以是加號(hào)也可以是減號(hào).所以答案是±12.

例3若2a2-2ab+b2+4a+4=0，求ab的值.

解：由題意知：a2-2ab+b2+a2+4a+4=0，

ab=（-2）-2=0.25.

【說明】本題由一個(gè)方程，求出兩個(gè)未知數(shù)，所以這個(gè)方程一定是特殊的方程，結(jié)合已知條件可知：可以通過湊完全平方達(dá)到解決問題的目的，將2a2分成a2+a2，一個(gè)a2和-2ab，b2湊成（a-b）2，另一個(gè)a2和4a，4湊成（a+2）2，再根據(jù)平方具有非負(fù)性，得到兩者均為0，從而求得a與b的值，最后代入求值.

二、平方差公式

例4計(jì)算（x+y+4）（x-y-4）.

解法一：

解法二：

【說明】解法一是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加；解法二是利用整體思想將y+4看成整體，先套用平方差公式，再套用完全平方公式展開.我們在處理時(shí)要先觀察：找到相同的項(xiàng)和互為相反數(shù)的項(xiàng).那么對于（a-b+c-d）（-a-b+c+d）應(yīng)該怎樣套用平方差公式呢？這里找到相同的項(xiàng)-b和+c，互為相反數(shù)的項(xiàng)是a與-a，-d與d，我們就將其變?yōu)椋郏?b+c）+（a-d）］·［（-b+c）-（ad）］=（-b+c）2-（a-d）2，套用完全平方公式算出結(jié)果即可.

例5計(jì)算（x-1）（x2+1）（x4+1）（x+1）.

【說明】本題經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)可以將x+1通過乘法交換律交換到前面，這樣x-1和x+1就可以套用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算，接著將上面所得的結(jié)果與x2+1再套用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算，直至得到結(jié)果.

三、乘法公式的綜合運(yùn)用

例6計(jì)算（2y+1）2（2y-1）2.

解法一：

解法二：

【說明】本題的兩種解法都采取了乘法公式，第一種先套用完全平方公式再套用平方差公式；第二種先利用乘法的交換律和結(jié)合律將其轉(zhuǎn)化為［（2y+1）（2y-1）］2的形式，然后套用平方差公式，最后套用完全平方公式.兩種方法比較，個(gè)人認(rèn)為第二種在計(jì)算上更加簡便.

例7解方程（2x-1）（1+2x）+3（x+2）（-2+ x）=7（x-1）2.

【說明】本題經(jīng)過套用平方差公式和完全平方公式展開，發(fā)現(xiàn)關(guān)于x的二次項(xiàng)全部抵消，轉(zhuǎn)化成了一個(gè)解關(guān)于x的一元一次方程的問題.這里需注意的是在套用平方差公式時(shí)，我們要看清楚相同的項(xiàng)以及互為相反數(shù)的項(xiàng).

以上是我對運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡便計(jì)算的一些想法和體會(huì)，相信你已經(jīng)感受到了運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算的簡便之處.其實(shí)在因式分解中，如果我們學(xué)會(huì)對乘法公式進(jìn)行靈活運(yùn)用，也可以大大地提高解題的速度和準(zhǔn)確率，在以后的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們要注意積累.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）

責(zé)任編輯：沈紅艷李詩email：czsshy@126.com