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    靈活運(yùn)用乘法公式

    2017-05-11 06:17:55朱適宜
    初中生世界 2017年17期
    關(guān)鍵詞:平方差交換律靈活運(yùn)用

    朱適宜

    靈活運(yùn)用乘法公式

    朱適宜

    在“整式乘法與因式分解”這一章里我們學(xué)到的乘法公式有:完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.平方差公式:

    (a+b)(a-b)=a2-b2.

    那么對于這些公式,我們怎樣才能做到靈活運(yùn)用呢?下面和大家一起來分享一下.

    一、完全平方公式

    例1計(jì)算(a+b+c)2.

    解法一:

    解法二:

    【說明】解法一是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則:先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加;解法二是利用整體思想將a+b看成整體,直接套用完全平方公式展開的.

    例2若a是一個(gè)數(shù),且4x2+axy+9y2是一個(gè)完全平方式,則a=.

    解:±12.

    【說明】本題考查的是完全平方式,完全平方公式展開后右邊的形式a2+2ab+b2叫完全平方式,即兩項(xiàng)的平方和加上或者減去兩項(xiàng)乘積的2倍.這里可以確定兩項(xiàng)的平方分別是4x2和9y2,則這兩項(xiàng)分別是2x和3y,兩項(xiàng)積的2倍是12xy,前面的符號(hào)可以是加號(hào)也可以是減號(hào).所以答案是±12.

    例3若2a2-2ab+b2+4a+4=0,求ab的值.

    解:由題意知:a2-2ab+b2+a2+4a+4=0,

    ab=(-2)-2=0.25.

    【說明】本題由一個(gè)方程,求出兩個(gè)未知數(shù),所以這個(gè)方程一定是特殊的方程,結(jié)合已知條件可知:可以通過湊完全平方達(dá)到解決問題的目的,將2a2分成a2+a2,一個(gè)a2和-2ab,b2湊成(a-b)2,另一個(gè)a2和4a,4湊成(a+2)2,再根據(jù)平方具有非負(fù)性,得到兩者均為0,從而求得a與b的值,最后代入求值.

    二、平方差公式

    例4計(jì)算(x+y+4)(x-y-4).

    解法一:

    解法二:

    【說明】解法一是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則:先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加;解法二是利用整體思想將y+4看成整體,先套用平方差公式,再套用完全平方公式展開.我們在處理時(shí)要先觀察:找到相同的項(xiàng)和互為相反數(shù)的項(xiàng).那么對于(a-b+c-d)(-a-b+c+d)應(yīng)該怎樣套用平方差公式呢?這里找到相同的項(xiàng)-b和+c,互為相反數(shù)的項(xiàng)是a與-a,-d與d,我們就將其變?yōu)椋郏?b+c)+(a-d)]·[(-b+c)-(ad)]=(-b+c)2-(a-d)2,套用完全平方公式算出結(jié)果即可.

    例5計(jì)算(x-1)(x2+1)(x4+1)(x+1).

    【說明】本題經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)可以將x+1通過乘法交換律交換到前面,這樣x-1和x+1就可以套用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算,接著將上面所得的結(jié)果與x2+1再套用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算,直至得到結(jié)果.

    三、乘法公式的綜合運(yùn)用

    例6計(jì)算(2y+1)2(2y-1)2.

    解法一:

    解法二:

    【說明】本題的兩種解法都采取了乘法公式,第一種先套用完全平方公式再套用平方差公式;第二種先利用乘法的交換律和結(jié)合律將其轉(zhuǎn)化為[(2y+1)(2y-1)]2的形式,然后套用平方差公式,最后套用完全平方公式.兩種方法比較,個(gè)人認(rèn)為第二種在計(jì)算上更加簡便.

    例7解方程(2x-1)(1+2x)+3(x+2)(-2+ x)=7(x-1)2.

    【說明】本題經(jīng)過套用平方差公式和完全平方公式展開,發(fā)現(xiàn)關(guān)于x的二次項(xiàng)全部抵消,轉(zhuǎn)化成了一個(gè)解關(guān)于x的一元一次方程的問題.這里需注意的是在套用平方差公式時(shí),我們要看清楚相同的項(xiàng)以及互為相反數(shù)的項(xiàng).

    以上是我對運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡便計(jì)算的一些想法和體會(huì),相信你已經(jīng)感受到了運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算的簡便之處.其實(shí)在因式分解中,如果我們學(xué)會(huì)對乘法公式進(jìn)行靈活運(yùn)用,也可以大大地提高解題的速度和準(zhǔn)確率,在以后的學(xué)習(xí)過程中,同學(xué)們要注意積累.

    (作者單位:江蘇省淮安外國語學(xué)校)

    責(zé)任編輯:沈紅艷李詩email:czsshy@126.com

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