例談應(yīng)用遞推思想處理數(shù)列問題

曹程錦+吳偉朝+王強芳

[摘 要]遞推思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想.通過遞推可以把有限的問題延伸到無限的境界.應(yīng)用遞推思想處理復(fù)雜的數(shù)列問題特別有效，同時能訓(xùn)練學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生能力.

[關(guān)鍵詞]遞推思想；數(shù)列問題；高中數(shù)學(xué)

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2017）32001704

眾所周知，處理數(shù)列問題的方法多種多樣，技巧也層出不窮.筆者試圖給出一個重要思想方法——遞推法.遞推是通過有限認識無限的一種數(shù)學(xué)思想.通過遞推可以把有限的問題延伸到無限的境界.遞推不是直接去面對問題，而是借助相鄰或相近若干項之間建立的一種遞推關(guān)系，如同新增加一個已知條件，使得問題更加容易獲解.其中，數(shù)學(xué)歸納法是遞推關(guān)系中的一種非常常用的方法.遞推法在證明一些較為復(fù)雜的數(shù)列問題時顯得特別有效.本文旨在系統(tǒng)介紹此法在數(shù)學(xué)競賽中與數(shù)列相關(guān)問題中的應(yīng)用，注重分析問題、解決問題的思維過程，滲透思想方法，提高學(xué)生解決問題的能力.

一、證明不等式問題

最后，巧妙地推證了式②的右邊，即本題的解答過程是先證式②的右邊，然后再用右式證明左邊.同時左右兩邊的證明都是利用an與an-1的大小通過放縮巧妙證明了結(jié)論，解法非常接地氣！

.此題背景為著名的貝努利放錯信箋問題，即錯位排列問題，又稱更列問題.

三、解與遞推數(shù)列相關(guān)的最值問題

因此，當m=k+1時結(jié)論成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知結(jié)論成立.

綜上所述，正數(shù)λ的最小值為2.

評注：本題主要是通過構(gòu)造數(shù)列，利用遞推思想結(jié)合數(shù)列單調(diào)性和極限觀點的方法加以解決.解決此題的關(guān)鍵是：構(gòu)造相應(yīng)遞推數(shù)列并利用柯西不等式證明不等式

故所構(gòu)造的序列滿足所有條件.

評注：此題運用了逐步逼近的數(shù)學(xué)思想.有些數(shù)學(xué)問題中，題目的條件與解題目標相距甚遠，難以一下就達到目的，這時需要采用逼近的策略來實現(xiàn)解題目標：從條件出發(fā)，一步一步逼近目標.如果我們尋找的對象需要同時滿足多個條件，我們可先構(gòu)造一個滿足題中部分條件的數(shù)學(xué)對象，稱為“擬對象”，然后對所構(gòu)造的擬對象進行優(yōu)化，直至使之滿足題目的全部條件.同時，數(shù)學(xué)解題的過程不可能一蹴而就，而是一個不斷經(jīng)歷挫折和失敗而逐步走向成功的過程，只有經(jīng)歷這樣的過程才能提高解題者的心理能力，才能積累解題經(jīng)驗，最終成為解題高手！

本文研討方法主要體現(xiàn)為解數(shù)列不等式問題，依托遞推方法來討論，具體利用數(shù)學(xué)歸納法求解.同時，間接遞推法也是離散數(shù)學(xué)的主要方法之一，它有較高的理論和應(yīng)用價值，在圖論、數(shù)論、代數(shù)數(shù)列、組合計數(shù)、組合幾何等多領(lǐng)域中均有滲透，因此遞推法——堪稱數(shù)列的問題“御用保鏢”！而數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)即是遞推關(guān)系解題一種實際應(yīng)用.

[ 參 考 文 獻 ]

[1]沈文選.奧林匹克數(shù)學(xué)中的組合問題[M].長沙：湖南師范大學(xué)出版社，2015.

[2]劉培杰.歷屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克試題集[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014.

[3]曹程錦.遞推法證明數(shù)列不等式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（4）.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）