類(lèi)比遷移理論視角下高中空間向量教學(xué)研究

龐禮金

[摘? 要] 文章基于類(lèi)比遷移理論視角探究了高中空間向量教學(xué)，提出了“優(yōu)化類(lèi)比形式，精選類(lèi)比環(huán)”“及時(shí)總結(jié)歸納，反思學(xué)習(xí)方法”“示例層層遞進(jìn)，優(yōu)化圖式結(jié)構(gòu)”“聚焦幾何特征，把握問(wèn)題本質(zhì)”等策略.

[關(guān)鍵詞] 類(lèi)比遷移;高中數(shù)學(xué);空間向量

作為研究三維空間的有效工具，高中空間向量在研究空間基本圖形的位置和度量關(guān)系越來(lái)越有效，甚至在解決復(fù)雜空間問(wèn)題時(shí)還優(yōu)于綜合幾何方法.相當(dāng)數(shù)量的教師在組織學(xué)生學(xué)習(xí)空間向量時(shí)往往類(lèi)比平面向量的學(xué)習(xí)，但是空間向量不只是簡(jiǎn)單地將二維向量增加一個(gè)維度就能解決問(wèn)題，并且，空間向量又具有自身獨(dú)特的抽象原理與運(yùn)算規(guī)則，這種現(xiàn)象的存在在一定程度上影響了高中空間向量學(xué)習(xí)的質(zhì)量和水平. 類(lèi)比遷移理論是消除這一不利影響的可行手段，能夠有效幫助學(xué)生解決空間向量教學(xué)的相關(guān)問(wèn)題，因此，在類(lèi)比遷移理論視角下，探究高中空間向量教學(xué)策略具有重要的意義.

優(yōu)化類(lèi)比形式，精選類(lèi)比環(huán)節(jié)

最初在學(xué)習(xí)空間向量知識(shí)時(shí)，由于向量概念較為零散，并且缺乏一定的系統(tǒng)性與結(jié)構(gòu)性，若在教學(xué)中直接采用類(lèi)比形式，則很容易導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)繁重，并且在學(xué)習(xí)效果方面只能達(dá)到平面向量和空間向量之間初級(jí)關(guān)系的類(lèi)比，因此，在組織學(xué)生學(xué)習(xí)空間向量概念時(shí)，教師應(yīng)適當(dāng)增加例題教學(xué)，促使學(xué)生將源問(wèn)題類(lèi)比遷移到靶問(wèn)題上[1]■.

例如，在組織學(xué)生理解空間向量加法運(yùn)算概念時(shí)，筆者呈現(xiàn)了如下例題，即：已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，則■+■+■=■.實(shí)質(zhì)上，若將該題目中的空間四邊形修改為平面四邊形，則學(xué)生無(wú)疑就能對(duì)應(yīng)找到源問(wèn)題，從而通過(guò)類(lèi)比遷移平面向量知識(shí)理解空間向量的結(jié)合律和交換律.

又如，在組織學(xué)生利用空間向量證明四點(diǎn)共面問(wèn)題時(shí)，即：空間中不共線(xiàn)的三點(diǎn)A，B，C和任意一點(diǎn)O，已知點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)，試證明：■=x■+y■+z■，x+y+z=1. 為了有效幫助學(xué)生尋找源問(wèn)題與靶問(wèn)題之間的匹配與映射，筆者及時(shí)利用學(xué)生已學(xué)知識(shí)，通過(guò)類(lèi)比遷移理論增加了如下例題教學(xué)，即點(diǎn)O為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，已知點(diǎn)A，B，C在一條直線(xiàn)上，試證明：■=x■+y■，x+y=1，要求學(xué)生開(kāi)展合情推理中的類(lèi)比推理學(xué)習(xí).

及時(shí)總結(jié)歸納，反思學(xué)習(xí)方法

由于相當(dāng)數(shù)量的高中學(xué)生缺乏一定的學(xué)習(xí)自主性，思維習(xí)慣不夠良好，并且快速匹配源問(wèn)題和靶問(wèn)題僅是完成了基礎(chǔ)性的教學(xué)，因此，教師應(yīng)適時(shí)幫助學(xué)生總結(jié)歸納，及時(shí)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和知識(shí)掌握情況查漏補(bǔ)缺，促使學(xué)生形成完整的知識(shí)圖式，從本質(zhì)上有效解決核心問(wèn)題.

例如，在組織學(xué)生學(xué)習(xí)空間向量數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，空間向量運(yùn)算律與平面向量運(yùn)算律十分相似，但這并不意味著學(xué)生就能有效解決相應(yīng)題目，進(jìn)而真正掌握知識(shí)構(gòu)建圖式[2]■. 如圖1所示，已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，其同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)所形成的夾角為60°，且棱長(zhǎng)均等于1，試求該平行六面體中對(duì)角線(xiàn)AC1的長(zhǎng)度. 雖然這道題目的計(jì)算并不復(fù)雜，但由于學(xué)生類(lèi)比平面向量，致使在解題過(guò)程中往往是記憶大于理解，忽略了空間向量背后的幾何意義，因此，教師應(yīng)最大限度地發(fā)揮自己的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)歸納總結(jié)、查漏補(bǔ)缺，形成完整的知識(shí)圖式.

同時(shí)，為了有效降低類(lèi)比遷移的副作用，避免會(huì)而不對(duì)的現(xiàn)象，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多個(gè)類(lèi)比問(wèn)題進(jìn)行比較，促使學(xué)生不斷反思. 例如，立體幾何背景下，解決空間向量夾角問(wèn)題的本質(zhì)是什么？應(yīng)用坐標(biāo)法表示空間向量與平面向量有什么異同等等.

示例層層遞進(jìn)，優(yōu)化圖式結(jié)構(gòu)

無(wú)論是引入新知，還是鞏固所學(xué)知識(shí)都離不開(kāi)示例，而空間向量知識(shí)的學(xué)習(xí)，最終還是要落腳在立體幾何問(wèn)題解決上，還是要通過(guò)示例幫助學(xué)生理解. 值得注意的是，雖然空間向量知識(shí)本身具有鮮明的特點(diǎn)，并且空間向量的相關(guān)知識(shí)本身就是一環(huán)扣一環(huán)的，但學(xué)生解決綜合問(wèn)題的能力并沒(méi)有得到有效提高，究其原因是空間直線(xiàn)的代數(shù)表示在高中階段并沒(méi)有明確說(shuō)明. 因此，為了最大限度地避免由于該知識(shí)的欠缺而導(dǎo)致的負(fù)遷移，教師應(yīng)在示例選擇時(shí)做到層層遞進(jìn).

例如，在應(yīng)用類(lèi)比遷移理論遷移平面法向量時(shí)，筆者首先選取了如下直線(xiàn)的方向向量示例，即：如圖2所示，a，b為直線(xiàn)l在x軸、y軸上的截距，試求與直線(xiàn)l垂直的向量m.

由題意可知，直線(xiàn)l的方向向量可以用n=（a，-b）表示，根據(jù)m·n=0，則可獲得向量m=■，■

顯然，上述解題從平面入手，應(yīng)用類(lèi)比遷移理論，將其推廣到空間中，有效回避了當(dāng)前無(wú)法直接表示出空間直線(xiàn)代數(shù)特征這一問(wèn)題.隨后，在學(xué)生完全理解上述知識(shí)后，為了研究的深入，筆者又創(chuàng)設(shè)了如下示例，即如圖3所示，平面α在x軸、y軸、z軸上的截距分別為a，b，c，試求平面α的法向量.

類(lèi)比上述案例，不妨設(shè)法向量為u=（x，y，z），實(shí)質(zhì)上，p=（a，-b，0），q=（0，b，-c），根據(jù)p∥平面α，q∥平面α，p·u=0，q·u=0，則可求得u=■，■，■. 值得說(shuō)明的是，如何恰當(dāng)快速的選取至關(guān)重要，而上述利用示例解題的方式，有利于學(xué)生形成相關(guān)圖示，從而更好地幫助學(xué)生理解和應(yīng)用法向量.

聚焦幾何特征，把握問(wèn)題本質(zhì)

為了關(guān)注圖形的幾何特征，促使學(xué)生能夠獨(dú)立描述解決立體幾何問(wèn)題的一般程序，教師應(yīng)引導(dǎo)幫助學(xué)生建立空間直角坐標(biāo)系，而圖形幾何特征是構(gòu)建坐標(biāo)系的必要條件，實(shí)質(zhì)上，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中接觸到的立體幾何圖形往往復(fù)雜多樣，如果不注重空間幾何特征，則很難掌握問(wèn)題的本質(zhì).

例如，如圖4所示，已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，試求■·（■+■）的最小值.

如果按照傳統(tǒng)方式，要求■·（■+■）的最小值，則需要先判斷點(diǎn)P的位置，然后求得PA的模長(zhǎng)，顯然，這種解題模式較為麻煩. 若在此解題過(guò)程中，利用等邊三角形的對(duì)稱(chēng)性，按照?qǐng)D4所示建立平面直角坐標(biāo)系，則在平面圖形與向量之間建立了聯(lián)系，使得該問(wèn)題轉(zhuǎn)換為如下形式，即：

不妨設(shè)P（x，y），則■=（-x，■-y），■+■=（-2x，-2y），因此，■·（■+■）=2x2+2y-■■-■，當(dāng)且僅當(dāng)P為0，■時(shí)，則■·（■+■）取得最小值，最小值為-■.

又如，如圖5所示，已知D′H⊥菱形ABCD，AB=5，AC=6，AE=CF=■，OD′=■，則試求二面角B-D′A-C的正弦值.

顯然，熟知圖形的幾何特征是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 通過(guò)幾何直觀建立直角坐標(biāo)系，即以H為原點(diǎn)，建立H-xyz直角坐標(biāo)系，將幾何條件坐標(biāo)化，利用代數(shù)方法很快便能求出二面角B-D′A-C的正弦值.值得一提的是，上述題目解決中，若僅考慮平面，則坐標(biāo)原點(diǎn)還可以選取點(diǎn)O，但坐標(biāo)原點(diǎn)選取點(diǎn)O后，會(huì)大幅度增加運(yùn)算的難度.

總之，在具體教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從平面向量入手，緊扣問(wèn)題結(jié)構(gòu)，采取類(lèi)比遷移式的教學(xué)方法，并及時(shí)總結(jié)歸納，有效把握問(wèn)題本質(zhì)，最大限度地避免由平面向量所帶來(lái)的負(fù)遷移. 只有這樣，才能實(shí)現(xiàn)由二維的平面向量正向遷移至三維的空間向量，才能形成空間向量部分的圖式構(gòu)建，有效培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 向往. 基于類(lèi)比遷移理論的空間向量教學(xué)研究[J]. 湖南師范大學(xué)，2019（5）.

[2]? 余建國(guó). 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下的“空間向量的基本定理”教學(xué)[J]. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2019（5）.