關(guān)于導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的探討與思考

易振宇

[摘? 要] 導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，可以應(yīng)用于眾多數(shù)學(xué)問題中，有利于解題思路的構(gòu)建，可顯著提高解題效率. 其中函數(shù)單調(diào)性、極值最值問題、零點(diǎn)問題和不等式問題是導(dǎo)數(shù)的四大應(yīng)用點(diǎn). 文章剖析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的背景，結(jié)合實(shí)例探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，總結(jié)方法策略，開展教學(xué)思考.

[關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù);應(yīng)用;單調(diào)性;極值;零點(diǎn);不等式

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜述

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，高考對導(dǎo)數(shù)的考查力度逐年遞增，命題的難度和廣度也同步加大. 一般對該部分的考查分三個(gè)層次：第一層是掌握求導(dǎo)公式，靈活運(yùn)用法則對函數(shù)求導(dǎo);第二層是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解一些簡單問題;第三層上升到綜合能力，需要熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決綜合性問題. 從導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的三大層次來看，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是重點(diǎn)，因此開展導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用探究，總結(jié)方法策略是提升解題能力的關(guān)鍵.

應(yīng)用探究及方法整合

導(dǎo)數(shù)不僅是重點(diǎn)知識，還可作為一種解題工具，在研究函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)極值與最值、分析函數(shù)零點(diǎn)、突破不等式問題中有著廣泛的應(yīng)用，下面將結(jié)合實(shí)例對其加以探究，并對解題方法進(jìn)行整合.

應(yīng)用一：研究函數(shù)單調(diào)性

研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，分析對應(yīng)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性實(shí)則就是判斷f′（x）的符號，實(shí)際應(yīng)用時(shí)需明確函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)對導(dǎo)函數(shù)的符號加以討論.

例1：已知某函數(shù)的解析式為f（x）=xea-x+bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4，試回答下列問題.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式;

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

解析：（1）求函數(shù)f（x）的解析式需要利用條件“點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4”，從而可得f（2）=2e+2，f′（2）=e-1，構(gòu)建方程可解得a=2，b=e，故函數(shù)解析式為f（x）=xe2-x+ex.

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間需要研究導(dǎo)函數(shù)f′（x）在定義域上的符號. f′（x）=（1-x）e2-x+e，令g（x）=（1-x）e2-x，g′（x）=（x-2）e2-x，可推得表1.

所以g（x）的最小值為g（2）=-1，則f′（x）的最小值為f′（2）=e-1>0，所以f′（x）>0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，沒有減區(qū)間.

評析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)可以按照如下步驟進(jìn)行，第一步，確定函數(shù)f（x）的定義域;第二步，求導(dǎo)函數(shù)f′（x），將f（x）間斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)及實(shí)數(shù)根按順序排列，并將其定義域分為若干區(qū)間;第三步，確定各開區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，根據(jù)其符號來判定f（x）在區(qū)間內(nèi)的增減性.

應(yīng)用二：求解函數(shù)極值與最值

利用導(dǎo)數(shù)可以求解函數(shù)的極值與最值，這是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用點(diǎn). 對于該應(yīng)用點(diǎn)首先需要充分理解極值與最值的概念，將兩者加以區(qū)分，然后明晰函數(shù)極值存在的條件，同時(shí)把握其中的核心結(jié)論，如函數(shù)的極值可能有多個(gè)，但最值僅有一個(gè)，極值與最值可以相互轉(zhuǎn)化.

例2：已知函數(shù)的解析式為f（x）=（ax2+x）ex，其中e為自然數(shù)的底數(shù)，a∈R.

（1）若a<0，求不等式f（x）>0的解集;

（2）若a>0，試分析f（x）的區(qū)間（-1，1）上是否存在最值？若不存在，說明理由.

解析：（1）可將不等式轉(zhuǎn)化為ax2+x>0，又知a<0，則xx+■<0，所以不等式f（x）>0的解集為0，-■.

（2）可利用導(dǎo)數(shù)來分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有無最值. 求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，其圖像的對稱軸為x=-1-■<-1. 由于g（-1）·g（0）<0，則g（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有零點(diǎn)，可將其記為x■，所以在區(qū)間（-1，x■）上g（x）<0，則f（x）單調(diào)遞減;在區(qū)間（x■，1）上g（x）>0，則f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）的區(qū)間（-1，1）上有最小值，但無最大值.

評析：對于可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），在點(diǎn)x■處存在極值需要滿足兩個(gè)條件：①f′（x■）=0;②點(diǎn)x■的左右兩側(cè)的f′（x）的符號不同. 在求解極值問題時(shí)要找準(zhǔn)解題的突破點(diǎn)，確定討論的關(guān)鍵，充分利用極值點(diǎn)存在的條件進(jìn)行探討，也可以結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖像，觀察圖像變化的趨勢，結(jié)合函數(shù)方程的特性來突破考題.

應(yīng)用三：分析函數(shù)零點(diǎn)

函數(shù)的零點(diǎn)是高考的熱點(diǎn)問題，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法有很多，可利用導(dǎo)數(shù)來分析及判斷函數(shù)的零點(diǎn). 學(xué)習(xí)時(shí)需要理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，把握零點(diǎn)的存在性定理，掌握導(dǎo)數(shù)分析零點(diǎn)問題的方法.

例3：（2018年理數(shù)全國卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，試證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1;

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

解析：此處重點(diǎn)求解第（2）問，設(shè)函數(shù)h（x）=1-ax2e-x，若f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)h（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合a的取值加以討論.

（Ⅰ）當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）>0，h（x）沒有零點(diǎn);

（Ⅱ）當(dāng)a>0時(shí)，h′（x）=ax（x-2）e-x. 在區(qū)間（0，2）上，h′（x）<0，在區(qū)間（2，+∞）上，h′（x）>0，所以h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）在（0，+∞）上的最小值為h（2）=1-■.

①當(dāng)h（2）>0時(shí)，有a<■，h（x）在（0，+∞）上無零點(diǎn);②當(dāng)h（2）=0時(shí)，有a=■，h（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)h（2）<0時(shí)，有a>■，h（x）在（0，2）上有一個(gè)零點(diǎn).

結(jié)合（1）問可知h（4a）=1-■=1-■>1-■=1-■>0，則h（x）在（2，4a）上有一個(gè)零點(diǎn)，故在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn). 綜上可知，若f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，則a=■.

評析：使用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)零點(diǎn)的策略是先利用導(dǎo)函數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來加以分析. 學(xué)習(xí)時(shí)需要理解以下兩個(gè)知識要點(diǎn)：一是函數(shù)單調(diào)性對零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響;二是配合零點(diǎn)與單調(diào)性確定函數(shù)符號，掌握導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)零點(diǎn)綜合問題的方法.

應(yīng)用四：破解不等式

導(dǎo)數(shù)在破解不等式綜合問題中同樣有著廣泛的應(yīng)用，如參數(shù)范圍、數(shù)列不等式、恒成立問題等，問題突破時(shí)需要結(jié)合不等式的特征結(jié)構(gòu)來構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式的性質(zhì)破解.

例4：已知函數(shù)的解釋式為f（x）=（1-x2）ex，當(dāng)x≥0時(shí)有f（x）≤ax+1，試求a的取值范圍.

解析：當(dāng)x=0時(shí)，顯然不等式成立，a可取任何值. 而當(dāng)x>0時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為a≥■=g（x），即■g（x）=1，可猜想g（x）<1. 下面證明當(dāng)x>0時(shí)，g（x）<1成立，實(shí)際就是證明f（x）-x<1. 構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-x=（1-x2）ex-x，則h′（x）=ex（-x2-2x+1）-1，h″（x）=ex（-x2-4x-1）. 分析可知當(dāng)x>0時(shí)，h″（x）<0，h′（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，h′（x）

評析：利用導(dǎo)數(shù)法求解復(fù)雜不等式問題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：若不等式含參則需要分離變量，構(gòu)造函數(shù);利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)時(shí)需充分考慮函數(shù)區(qū)間，確保結(jié)論遞推正確. 因此從求解過程來看，利用導(dǎo)數(shù)求復(fù)雜不等式實(shí)則就是將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，通過對函數(shù)性質(zhì)的研究來加以解決.

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的思考

下面對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及其教學(xué)做進(jìn)一步思考.

1. 深入剖析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用知識

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用較為廣泛，其中涉及曲線切點(diǎn)、零點(diǎn)、極值、單調(diào)性等知識，這些內(nèi)容也是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識. 學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用就應(yīng)對上述知識點(diǎn)的核心加以剖析，例如切線判斷的條件、零點(diǎn)存在性定理、極值存在滿足的條件等，理解必要條件與充分條件的內(nèi)涵，對條件加以辨析，以防混淆. 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用教學(xué)應(yīng)立足基本概念，引導(dǎo)學(xué)生對定理加以剖析，理解其中的邏輯關(guān)系，以此為依托開展應(yīng)用探討.

2. 強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解決問題

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用廣泛，上述呈現(xiàn)了其中具有代表性的問題，強(qiáng)化四大問題可提升學(xué)生導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的能力，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)關(guān)注問題的本質(zhì)，整體把握問題突破的思路. 例如利用導(dǎo)數(shù)求解含參不等式問題時(shí)，應(yīng)分離參數(shù)，合理構(gòu)造函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的最值問題，其本質(zhì)就是利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì). 教學(xué)中可以采用分模塊探討的方式，引導(dǎo)學(xué)生對問題突破的思路加以歸納，引入導(dǎo)數(shù)來優(yōu)化思路，逐步形成導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求解問題的策略.

3. 提升導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解題思維

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的過程中必然涉及眾多的思想方法，這些思想方法是構(gòu)建解題思路的關(guān)鍵，因此提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決問題的熟練度是十分重要的. 例如求解最值問題中需要對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)來輔助研究原函數(shù)性質(zhì)，必要時(shí)還需對參數(shù)的取值加以討論，其中涉及轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造思想和分類討論思想，正是三大思想的綜合簡化了解題過程. 因此導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解題的過程就是數(shù)學(xué)思維的過程，在該過程中可以促成知識與思想的融合，教學(xué)中應(yīng)立足數(shù)學(xué)思想開展問題探究，利用考題講解來完成思想方法的升華.