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    一道IMO試題的完善性推廣

    2016-11-16 17:39:28董正武
    新一代 2016年15期
    關(guān)鍵詞:不等式

    董正武

    摘 要:在《奧林匹克數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題》一書中摘錄如下一道IMO試題(見引例),這道試題是關(guān)于三元的不等式結(jié)論,筆者將這個(gè)不等式中的“元”的個(gè)數(shù)增加到任意正整數(shù)個(gè),得到了相對(duì)完善的結(jié)論.

    關(guān)鍵詞:IMO;完善性推廣;不等式

    引例.設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且滿足abc=1,求證:++≥

    推廣1.設(shè)a,b,c,d為正實(shí)數(shù),且滿足abcd=1求證

    +++≥

    證明:將所證不等式的左邊記為N

    ∵abcd=1

    ∴N=+++

    由柯西不等式,有

    ∴[a(bc+bd+cd)+b(ac+ad+cd)+c(ab+ad+bd)+d(ab+ac+bc)]×N≥(bcd+acd+abd+abc)2,

    故N≥

    再利用算術(shù)-幾何平均不等式,得N≥×4=.

    推廣2.設(shè)a1,a2,a3,…,an為正實(shí)數(shù),且滿足ni=1ai=1求證:

    ni=1≥.

    證明:∵ni=1ai=1

    ∴N=ni=1

    =ni=1

    由柯西不等式,有ni=1ai(j≠ik≠i,jak)×N

    ≥(ni=1j≠i,aj)2

    ∴(n-1)(ni=1j≠i,aj)×N≥(ni=1j≠i,aj)2

    再利用算術(shù)-幾何平均不等式,得

    ∴.N≥(ni=1j≠i,aj)≥×n

    =

    其中1≤i,j,k,1≤n且i,j,k,l,n∈N+.

    推廣3.設(shè)a1,a2,a3,…,an為正實(shí)數(shù),且滿足ni=1ai=1,求證:

    ni=1≥.

    證明:將3中的a1分別替換為aim(i=1,2,…n),即可得到所要證明的結(jié)論.

    參考文獻(xiàn):

    [1]沈文選等.奧林匹克數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題[M].湖南:湖南大學(xué)出版社,2009:187—187.

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