四川卷與全國(guó)卷試題對(duì)比之“解三角形”

陳爽

摘 要： 從2017年起，四川普通高考各科全部使用全國(guó)統(tǒng)一命題試卷，四川卷與全國(guó)卷在數(shù)學(xué)試題上存在一些區(qū)別， “解三角形”常常與三角函數(shù)、不等式、平面向量、解析幾何、立體幾何等相互結(jié)合，求解與三角形有關(guān)的邊、角、面積等問題。本文從2013—2015年四川卷和全國(guó)卷I、II分析解三角形的考點(diǎn)，以及四川卷與全國(guó)卷在“解三角形”試題類型上的差異與相同點(diǎn).

關(guān)鍵詞： 解三角形 考點(diǎn)分析 三角函數(shù) 不等式 實(shí)際問題

2016年將是四川最后一次自主命題，隨著高考改革的推進(jìn)，從2017年起，四川普通高考各科全部使用全國(guó)統(tǒng)一命題試卷，對(duì)于數(shù)學(xué)這門學(xué)科而言，解三角形一直是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它具有較強(qiáng)的綜合性，如解三角形試題往往與平面向量、三角函數(shù)、不等式、立體幾何、解析幾何等相結(jié)合，題目靈活，能夠解決一些實(shí)際性問題等，因而成為高考試題的熱點(diǎn)和必考點(diǎn)[1].

1.解三角形的考點(diǎn)分析

解三角形就是求解出三角形的所有邊和所有角，正、余弦定理則是解三角形的一個(gè)有力工具，由于正余弦定理本身與三角函數(shù)相聯(lián)系，因此對(duì)于涉及解三角形中的求角、求邊的問題和判斷三角形的形狀等問題時(shí)，需要結(jié)合“正、余弦定理”、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式等進(jìn)行三角函數(shù)變換，多者相互結(jié)合求解三角形.

從表1和表2“2013—2015年四川卷和全國(guó)I、II卷解三角形所涉及內(nèi)容”綜合來看，二者對(duì)于解三角形問題大部分涉及利用正、余弦定理結(jié)合三角函數(shù)求解三角形邊、角、面積等，少部分解三角形問題涉及不等式及向量方面的知識(shí).從分值來看，四川卷每年基本都有一道解答題涉及解三角形，全國(guó)卷也將解三角形納入重點(diǎn)內(nèi)容.從出題意圖來看，解三角形可以考查學(xué)生知識(shí)的綜合應(yīng)用和靈活應(yīng)用的能力.

2.三角函數(shù)與正、余弦定理結(jié)合解三角形

利用三角函數(shù)與正、余弦定理結(jié)合解三角形，雖然題型相對(duì)簡(jiǎn)單，但是所涉及知識(shí)面較寬，尤其是三角函數(shù)中兩角和與差、二倍角的正弦、余弦和正切公式等誘導(dǎo)公式的靈活應(yīng)用是學(xué)生的一大難點(diǎn)，同時(shí)解三角形時(shí)還隱藏著一些條件，比如三角形內(nèi)角和180°，三角形三邊滿足兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊等.

例1（2013課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，理17）（本小題滿分12分）如圖，在△ABC，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=90°.

（1）若PB=，求PA

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA.

分析：根據(jù)已知條件，在△PAB中利用余弦定理即可求解PA，利用正弦定理即可解出tan∠PBA.

解：（1）由已知得∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.

（2）設(shè)∠PBA=α，由已知得PB=sinα.

在△PBA中，由正弦定理得=，

化簡(jiǎn)得cosα=4sinα.

所以tanα=，即tan∠PBA=.

小結(jié)：本題主要考查學(xué)生對(duì)正、余弦定理的理解和應(yīng)用及一些較簡(jiǎn)單三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.

例2（2013四川，理17）（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2coscosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-.

（1）求cosA的值；

（2）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.

分析：利用三角函數(shù)和與差的誘導(dǎo)公式和二倍角公式對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求得cosA，最后結(jié)合正余弦定理求解出c的值即可求得向量在方向上的投影.

小結(jié)：本題主要考查學(xué)生應(yīng)用正弦定理和余弦定理、三角函數(shù)中和與差、二倍角誘導(dǎo)公式及平面向量的投影等知識(shí)，所涉及知識(shí)面較寬，考查學(xué)生知識(shí)的綜合應(yīng)用和靈活應(yīng)用的能力.

3.不等式與解三角形結(jié)合

三角形中涉及求角、邊、面積范圍時(shí)，就會(huì)應(yīng)用到不等式的相關(guān)知識(shí)，比如基本不等式等，在“解三角形”的過程中，要從研究角和邊的取值范圍開始，充分考慮三角函數(shù)值的符號(hào)和三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，三角形內(nèi)角和180°，三角形的形狀等已知或隱含條件，盡可能縮小角和邊的取值范圍，只有這樣，才能避免產(chǎn)生增根或“擴(kuò)大”所求變量的取值范圍[2].

例3（2014課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，理16）已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2，（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為？搖 ？搖.

分析：已知條件中（2+b）（sinA-sinB）=（c-B）sinC，既有邊又有正弦值，聯(lián)想到利用正弦定理，統(tǒng)一變量，再觀察化解后的形式和余弦定理相似，則可求出cosA，進(jìn)而利用面積公式S=bcsinA求出面積的最大值.

小結(jié)：本題主要考查學(xué)生對(duì)正弦定理和余弦定理的理解和綜合應(yīng)用，以及解三角形與基本不等式的結(jié)合.

總之，解三角形雖然涉及內(nèi)容較多，需要結(jié)合“正、余弦定理”、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式等進(jìn)行三角函數(shù)變換，進(jìn)而求解三角形，但是從2013—2015年四川卷和全國(guó)卷I、II分析解三角形的考點(diǎn)來看，解三角形大部分涉及利用正、余弦定理結(jié)合三角函數(shù)求解三角形邊、角、面積等，少部分解三角形問題涉及不等式及向量方面的知識(shí).學(xué)生需要靈活應(yīng)用正余弦定理與三角函數(shù)的結(jié)合，才能真正掌握解三角形的相關(guān)知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]楊衛(wèi)劍，計(jì)惠方.2014年數(shù)學(xué)高考題大盤點(diǎn)——以“解三角形”為例[J].高中數(shù)理化，2015：3.

[2]馬俊華.例談高考數(shù)學(xué)試題中常見的“解三角形”問題[J].考試（高考教學(xué)版），2012：13.