中學(xué)不等式的常用證明方法

江小靈

摘 要：論文從高一必修（5）的教材出發(fā)，針對(duì)高中數(shù)學(xué)中的不等式問題，重點(diǎn)歸納并介紹了5種證明不等式的方法，分別是比較法、分析法、綜合法、換元法、函數(shù)法、并通過舉例進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)各種方法的理解。

關(guān)鍵詞：不等式;綜合法;比較法;分析法

一、引言

不等式是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)和技術(shù)的一個(gè)基本工具，在解決最優(yōu)優(yōu)化、最優(yōu)控制、經(jīng)濟(jì)等各類實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，。中學(xué)不等式的問題主要有兩大類，一類是含未知數(shù)的不等式的求解問題;另一類就是不等式的證明問題。純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。由于不等式的形式各異， 所以證明沒有固定的程序可循，技巧多樣，方法靈活因此不等式的證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一。

二、不等式的證明方法

不等式的證明方法有10種之多，限于篇幅，本文重點(diǎn)介紹比較法、分析法、綜合法、換元法、函數(shù)法這五種方法。

1、比較法證明不等式

定義：就是通過兩個(gè)實(shí)數(shù)與的差或商的符號(hào)（范圍）確定與大小關(guān)系的方法，即通過

“，，;或，，”

來確定，大小關(guān)系的方法，前者為作差法，后者為作商法。

比較法證明不等式的思路：一般對(duì)于多項(xiàng)式類和分式類的用作差比較法，對(duì)于含有冪指數(shù)類的用作商比較法.作差時(shí)差值與0比較，作商時(shí)商與1比較。即：

（1）作差作商后的式子變形，判斷正負(fù)或與1比較大小。

（2）作差比較法-----要證明a>b，只要證明a-b>0?！白鞑罘ā钡囊话悴襟E是：①作差;②變形;③判斷符號(hào);④得出結(jié)論。

（3）作商比較法---已知a，b都是正數(shù)，要證明a>b，只要證明a/b>1。兩式均為單項(xiàng)式且均為正時(shí)，用商比比較好。

2、分析法證明不等式

分析法是證明不等式時(shí)的一種常用基本方法，在證題不知從何下手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決。在“執(zhí)果索因”遞推過程中，要學(xué)會(huì)經(jīng)常小結(jié)常用技巧（通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母、乘方、開方）。

定義：分析法證明不等式：從求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。

分析法的證明思路：從求證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直至找到已知不等式為止。

例5：求證：.

3、綜合法證明不等式

定義：從已知或證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。

綜合法證明不等式的思路：了解算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念，能用平均不等式證明其它一些不等式。由已知逐步逼向未知，其中充分利用已知條件、公理及不等式的性質(zhì)。定理1 如果，那么a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）.

證明：a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。

所以a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）.

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）.

證明：∵a3+b3+c3-3abc

=（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc，

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac），

=（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]≥0，

∴ a3+b3+c3≥3abc.

很明顯，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).

4、換元法證明不等式

定義：將不等式中的變量作適當(dāng)代換，使不等式得到證明，這種證明方法叫做不等式證明中的換元法。常見換元手段有“三角換元法”和“代數(shù)換元法”.其中三角換元法常用的公式有：

及。

一般地，已知中含有或時(shí)，可以考慮作“”代換，代換時(shí)要注意新的變量與原來的變量范圍一致。

5、函數(shù)法證明不等式

定義：就是指根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法。

函數(shù)法證明不等式的思路：用函數(shù)法證明不等式，難點(diǎn)在如何構(gòu)造函數(shù)上，而且所構(gòu)造的函數(shù)必須是單調(diào)函數(shù)，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是建立初等函數(shù)模型與不等式的“外形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。.