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    高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧

    2016-12-05 11:17:26馮義羽
    新教育時(shí)代·教師版 2016年30期
    關(guān)鍵詞:不等式解題技巧高中數(shù)學(xué)

    馮義羽

    摘 要:不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題具有重要幫助,所以本文主要探討了高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型以及解題技巧,希望能夠幫助學(xué)生輕松的解題,以此增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心,提高高中數(shù)學(xué)成績(jī)。

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué) 不等式 易錯(cuò)題型 解題技巧

    不等式是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn),所以抓住不等式解題技巧,進(jìn)行快速解題至關(guān)重要。在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)過(guò)程中,不等式也是學(xué)生的易錯(cuò)題,所以加強(qiáng)對(duì)易錯(cuò)題型的分析,并對(duì)其進(jìn)行總結(jié),以便為以后的解題提供正確的思路。因此本文在此進(jìn)一步探討高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧,以此提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的思維的創(chuàng)造性,下面從三類易錯(cuò)題型談起。[1]

    類型一:不等式恒成立問(wèn)題

    不等式恒成立問(wèn)題,涵蓋的內(nèi)容較多,包括不等式、三角、幾何以及函數(shù)等知識(shí)點(diǎn),主要考察學(xué)生的綜合解題能力,同時(shí)由于此類題型解法較為靈活,從而能夠增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性以及創(chuàng)造性。關(guān)于不等式恒成立問(wèn)題,可以分為五種類型,即一次函數(shù)型、二次函數(shù)型、根據(jù)函數(shù)圖像、變量分離型以及根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)命題型,其中以變量分離或抽象函數(shù)命題的較為常見(jiàn),由于此類題型具有較強(qiáng)的抽象性,是高中不等式問(wèn)題的難點(diǎn),學(xué)生在解題過(guò)程中,非常容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

    例1:已知,當(dāng)x∈[-3,3]時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

    解:設(shè)F(x)==-2x3+3x2+12x-a,由題意可知,F(xiàn)(x)≤g(x)在x∈[-3,3]恒成立,所以F(x)≤0在x∈[-3,3]恒成立,令F(x)=-6x2+6x+12=0,得x=2或x=-1,而F(-1)=-7a,F(xiàn)(2)=20-a,F(xiàn)(3)=9-a,所以F(x)max=45-a≤0,a≥45,a的取值范圍為[45,+ ∞)。

    不等式恒成立問(wèn)題的解題技巧主要包括判別式法、最值法、分離變量法、變換主元法等等,在解題時(shí),學(xué)生應(yīng)注意觀察題型,選擇的合適的解題方式。例1中考點(diǎn)是結(jié)合不等式以及函數(shù),求區(qū)間上的最值,對(duì)于最值問(wèn)題,可以將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用不等式進(jìn)行求解,需要注意的是,轉(zhuǎn)化過(guò)程中不等號(hào)的方向非常容易弄錯(cuò),需要遵循“一正、二定、三相等”的原則,同時(shí)應(yīng)注意思維的靈活性,加強(qiáng)對(duì)題意的理解和分析。[2]

    類型二:含參不等式問(wèn)題

    含參不等式問(wèn)題也是一種重要的題型,其主要題型包括含參的一元二次不等式、含參數(shù)的絕對(duì)值不等式、含參數(shù)的分式不等式問(wèn)題,由于含參不等式問(wèn)題通常需要進(jìn)行分類討論,在解題過(guò)程中,容易出現(xiàn)漏、重的問(wèn)題。所以對(duì)于此類問(wèn)題,應(yīng)弄清怎樣進(jìn)行討論,從合理的角度的出發(fā),保證不重不漏。下面以含參數(shù)絕對(duì)值不等式為例.

    例2:解關(guān)于x的不等式|x2+2x-3|>a

    解:當(dāng)a<0時(shí),得x∈R。當(dāng)a≥0時(shí),得①x2+2x-3>a或②x2+2x-3<-a。

    由①解得x>-1+或,由②得(x+1)2<4-a。當(dāng)0≤a<4,解得-1--1+﹜

    例2為含參數(shù)的絕對(duì)值不等式,其關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào),對(duì)于此類問(wèn)題,思維容易出現(xiàn)混亂,對(duì)于本題一是要將絕對(duì)值符號(hào)去掉,進(jìn)行分類討論,二是需要對(duì)a的范圍進(jìn)行討論。在平時(shí)解題過(guò)程中,會(huì)經(jīng)常能夠遇到比較復(fù)雜的絕對(duì)值問(wèn)題,對(duì)此,應(yīng)對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化,復(fù)雜的絕對(duì)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的絕對(duì)值問(wèn)題,并對(duì)沒(méi)有絕對(duì)值不等式進(jìn)行求解??傊?,對(duì)于含參數(shù)不等式問(wèn)題,需要進(jìn)行科學(xué)合理的討論,保證不重不漏,這就需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中,養(yǎng)成認(rèn)真、仔細(xì)的習(xí)慣,從審題、分析到做題,都能做到一絲不茍。

    類型三:與線性規(guī)劃結(jié)合問(wèn)題

    線性規(guī)劃問(wèn)題也是重點(diǎn)考點(diǎn)以及熱點(diǎn),所以加強(qiáng)對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的探討至關(guān)重要。與線性規(guī)劃結(jié)合問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)占據(jù)一定的比例,線性規(guī)劃問(wèn)題,可以能夠有效的解決實(shí)際問(wèn)題,所以能夠培養(yǎng)學(xué)生的解決實(shí)際問(wèn)題的能力。對(duì)于顯性規(guī)劃問(wèn)題,考察的知識(shí)點(diǎn)包括定義域、最值以及面積計(jì)算等,所以對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)較為困難,所以在解題過(guò)程中,經(jīng)常出錯(cuò)。對(duì)于這類題型,需要學(xué)生對(duì)不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃的性質(zhì)進(jìn)行準(zhǔn)確理解,這樣才能夠夠準(zhǔn)確進(jìn)行不等式的解題。[3]

    例3,設(shè)x、y滿足條件,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值為12,則的最小值為_(kāi)

    A. B C D.4

    解:根據(jù)上圖進(jìn)行分析,上述陰影部分由不等式來(lái)表示,可以看出ax+by=z(a>0,b>0)時(shí),x-y+2=0,3x-y-6=0,兩直線相交于一點(diǎn),其坐標(biāo)為(4.6),目標(biāo)函數(shù)取最大值12,所以可以得出4a+6b=12,+=+=+( ≥=,因此本題選擇A.

    對(duì)于此類題型,其解題技巧主要包括兩點(diǎn),一是能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為顯性規(guī)劃問(wèn)題,能夠根據(jù)題意,畫(huà)出可行域,并且通過(guò)對(duì)可行域的分析,加強(qiáng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的理解,二是帶有參數(shù)的目標(biāo)函數(shù),可以增加問(wèn)題的開(kāi)放性以及探索性,所以可以對(duì)目標(biāo)的函數(shù)的結(jié)論入手,通過(guò)對(duì)圖形的動(dòng)態(tài)分析,確定相關(guān)量。

    結(jié)語(yǔ)

    綜上所述,不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一,由于不等式問(wèn)題涵蓋的知識(shí)點(diǎn)較廣,所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)較為困難,而且不等式的類型也較多,如含參不等式、不等式恒成立以及與線性規(guī)劃結(jié)合等類型題,這幾種類型題是不等式考察的重點(diǎn)以及熱點(diǎn),卻也是學(xué)生的易錯(cuò)題型,所以在解題過(guò)程中,必須抓住其解題技巧,并多加練習(xí),遵循解題的基本思路,進(jìn)而能夠快速的解題,以此提高學(xué)生的高中數(shù)學(xué)成績(jī)。

    參考文獻(xiàn)

    [1]李嚴(yán). 高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧[J]. 亞太教育,2015,22:50.

    [2]張尹浩. 高中數(shù)學(xué)不等式應(yīng)用及學(xué)習(xí)策略[J]. 企業(yè)導(dǎo)報(bào),2016,02:137+3.

    [3]黃東,茍一泉,趙中玲. 高中數(shù)學(xué)中不等式的證明方法[J]. 湖南農(nóng)機(jī),2011,07:171-172

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