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    函數(shù)的極值的教學(xué)設(shè)計探討

    2016-12-23 17:43:08王春鴿
    關(guān)鍵詞:單調(diào)性極值函數(shù)

    王春鴿

    【摘要】本文對“函數(shù)的極值”教學(xué)設(shè)計在討論式、探索式教學(xué)方面做了較深入的研究,通過觀察圖形,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了概念的抽象、性質(zhì)的探索和相關(guān)數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程,并體驗知識在不斷提出問題中被發(fā)現(xiàn)的喜悅.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),使學(xué)生領(lǐng)悟了局部與整體的辯證關(guān)系,從而達(dá)到深刻理解并掌握此知識的目的.

    【關(guān)鍵詞】函數(shù);單調(diào)性;極值;極值點

    函數(shù)的極值是高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用里一個很重要的內(nèi)容,對極值概念的理解是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要是一環(huán).教學(xué)中,教師在講解極值的概念時,要做到直觀,并留給學(xué)生足夠的思考空間,發(fā)揮他們的學(xué)習(xí)主體作用.本文在教學(xué)設(shè)計上進(jìn)行了嘗試.

    教學(xué)方案

    活動1:創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課

    (復(fù)習(xí)提問)我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究了函數(shù)的一種性質(zhì)——單調(diào)性,知道了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的聯(lián)系.即

    設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

    (1)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)>0,則f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;

    (2)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)<0,則f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.

    現(xiàn)在我們再利用導(dǎo)數(shù)這種先進(jìn)有效的工具,再來研究一下函數(shù)的另一種性質(zhì)——函數(shù)的極值.

    我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)函數(shù)的極值這個概念呢?因為我們?nèi)粘I钪杏性S多理論和應(yīng)用問題,需要求函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值和最小值,比如經(jīng)濟(jì)學(xué)上的最大利潤問題、最小成本問題等.要計算函數(shù)的最值,我們就要先求函數(shù)的極值,所以我們要先研究函數(shù)的極值的運算方法.那么函數(shù)的極值是怎樣定義的呢?

    觀察下面函數(shù)的圖像:

    提出問題1:通過觀察函數(shù)的圖形,我們對函數(shù)值f(x1)與函數(shù)f(x)在點x1附近的點對應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行比較,會有什么結(jié)論呢?那么,在x2、x3、x4與x5點處的情況如何呢?

    回答:通過觀察我們較容易看出,在點x1附近的點對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足f(x)>f(x1),在x2、x3、x4與x5點處分別為f(x)f(x3),f(x)f(x5).

    討論:根據(jù)觀察結(jié)果能否用一句話總結(jié),從結(jié)論中教師因勢利導(dǎo),提出問題啟發(fā)學(xué)生注意局部與整體的關(guān)系,得出極值的定義.

    定義1設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)有定義,如果對于去心鄰域U0(x0)內(nèi)的任意一點x,都有f(x)f(x0)),則稱函數(shù)值f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值(或極小值),x0稱為函數(shù)f(x)的一個極大值點(或極小值點).

    函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.

    活動2:繼續(xù)觀察圖形

    提出問題2:極大值一定比極小值大嗎,為什么?

    回答:極大值不一定比極小值大.圖中f(x2)為函數(shù)的極大值,f(x5)為函數(shù)的極小值,但f(x5)>f(x2),因為極值是局部的概念.

    活動3:繼續(xù)觀察圖形

    提出問題3:極值點處的切線有什么特點?結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義,我們能得到什么樣的結(jié)論?

    回答:如果函數(shù)可導(dǎo),函數(shù)在取得極值的點處切線是水平的,即在這些點處導(dǎo)數(shù)為零,這也是我們今天要研究的函數(shù)極值點存在的必要條件,即定理1的內(nèi)容.

    定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,則一定有f′(x0)=0.

    分析我們知道函數(shù)的極值就是局部的最值,而證明極值點處的導(dǎo)數(shù)為零,只要在極值點的某一鄰域內(nèi)考慮即可,那么就是證明這一鄰域內(nèi)的最值處導(dǎo)數(shù)為零,而這實際上就是費馬(Fermat)引理的內(nèi)容.

    費馬簡介:姓名:皮爾·德·費馬

    生于1601年,法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的成就不比職業(yè)數(shù)學(xué)家差,他似乎對數(shù)論最有興趣,亦對現(xiàn)代微積分的建立有所貢獻(xiàn).被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”.

    對學(xué)生進(jìn)行思想教育:費馬的故事告訴我們,在做某件事情的時候,只要努力,就可以做好.所以,我們同學(xué)中雖然有很多都是文科生,只要我們努力,也一樣能學(xué)好數(shù)學(xué).

    證明(略)

    定義2使導(dǎo)數(shù)的點稱為函數(shù)的駐點.

    定理1表明:可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是駐點.

    提出問題4:函數(shù)的駐點一定是極值點嗎,啟發(fā)學(xué)生如果不是能否舉個反例說明?

    回答:駐點不一定是極值點,例如函數(shù)f(x)=x3的駐點x=0就不是極值點.由這個反例我們知道定理1只是函數(shù)極值存在的必要條件,而不充分.

    提出問題5:我們還可以看到定理1中要求函數(shù)是可導(dǎo)的,那么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點可能是極值點嗎?如果可以,能否舉個例子?

    回答:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是極值點,例如函數(shù)f(x)=|x|在點x=0處不可導(dǎo),但是極小值點.

    由這兩個例子我們知道了函數(shù)的可能的極值點有兩類:駐點及不可導(dǎo)的點.我們應(yīng)怎樣判斷駐點及不可導(dǎo)的點是否為函數(shù)的極值點,是極大值點還是極小值點呢?這是我們將要研究的重要問題——函數(shù)極值點存在的充分條件.

    活動4:繼續(xù)觀察圖形

    提出問題6:極大值點與極小值點左右兩側(cè)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號如何變化?

    回答:通過觀察我們知道,如果在駐點及不可導(dǎo)點兩側(cè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號相反,則必然是使函數(shù)單調(diào)性改變的點,從而一定是函數(shù)的極值點.

    這表明,求函數(shù)極值點應(yīng)先找出駐點及不可導(dǎo)點,然后對駐點及不可導(dǎo)點進(jìn)行判斷,哪些是極值點哪些不是極值點.根據(jù)極值的定義及函數(shù)單調(diào)性的判定法不難知道,由此我們得到下面的定理:

    定理2(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù),且在點x0的某一鄰域U(x0)(點x0可除外)內(nèi)具有導(dǎo)數(shù),對于x∈U0(x0),

    (1)若當(dāng)x0,當(dāng)x>x0,f′(x)<0,則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值;

    (2)若當(dāng)xx0,f′(x)>0,則f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值;

    (3)若在x0兩側(cè),f′(x)的符號相同,則f(x0)不是f(x)的極值.

    證明(略)

    由定理2,我們得出求函數(shù)極值的步驟:

    (1)寫出函數(shù)的定義域,求出導(dǎo)數(shù)f′(x);

    (2)求出f(x)的全部駐點和不可導(dǎo)點;

    (3)根據(jù)定理2確定這些點是不是極值點,如果是極值點,進(jìn)一步確定是極大值點還是極小值點;

    (4)求出各極值點處的函數(shù)值,就得到函數(shù)f(x)的全部極值.

    下面我們就根據(jù)求極值的步驟,求出函數(shù)的極值.

    例1求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5的極值.

    解該函數(shù)的定義域為(-∞,+∞).

    f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).

    令f′(x)=0,得駐點x1=-1,x2=3.

    駐點將定義域分成三部分,現(xiàn)列表討論如下:

    x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)

    f′(x)+0-0+

    f(x)↗極大值↘極小值↗

    由表可知,函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值,極大值為f(-1)=10;在x=3處取得極小值,極小值為f(3)=-22.

    上例是對可導(dǎo)函數(shù)而言的,在此條件下,極值點一定是駐點,因此只要求出函數(shù)的駐點,再由定理2考察各個駐點是否為極值點就行了.但是如果函數(shù)有不可導(dǎo)點,就不能肯定極值點一定是駐點了,因為在導(dǎo)數(shù)不存在的點處,函數(shù)也可能取得極值.請看下例:

    例2求函數(shù)f(x)=1-(x-2)23的極值.

    解該函數(shù)的定義域為(-∞,+∞).

    當(dāng)x≠2時,f′(x)=-2313x-2;當(dāng)x=2時,f′(x)不存在.

    當(dāng)x<2時,f′(x)>0;當(dāng)x>2時,f′(x)<0,又f(x)在x=2處連續(xù),所以x=2是函數(shù)f(x)的極大值點,極大值為f(2)=1.

    活動5:課堂練習(xí)

    課堂小結(jié)

    通過如上的教學(xué)活動,使學(xué)生理解了極值的概念,明白了局部與整體的關(guān)系,了解了研究探索問題的方法對以后的自主學(xué)習(xí)有很好的指導(dǎo)意義.

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