解析幾何中絢麗的一幕

鄒海斌

[摘? 要] 文章從圓中兩個性質(zhì)類比到橢圓中的兩個重要結(jié)論開始，探究了橢圓中美好的定值問題，以-■為抓手，證明了一些美妙的結(jié)論，在解析幾何里一些圖形中兩條動直線斜率乘積為定值-■;同時又說明了定值并非都是-■，可以是與a和b有關(guān)的其他值;最后研究了已知兩直線斜率乘積為-■的橢圓中的定值問題.

[關(guān)鍵詞] 類比;特殊到一般;方程思想;定值問題

代數(shù)和幾何是數(shù)學的兩個重要的組成部分，那么解析幾何的出現(xiàn)實現(xiàn)了代數(shù)和幾何的融合，形成了形和數(shù)的統(tǒng)一.通過建立坐標系，曲線就可以用一個代數(shù)方程來描述，解析幾何的本質(zhì)就是用代數(shù)的方法來研究各類曲線的性質(zhì). 橢圓是圓錐曲線中不可或缺的一員，具有很好的研究價值.比如在天文學上，我們知道行星繞太陽運行的軌跡就是橢圓，太陽剛好處在橢圓的一個焦點上;在生活中，電影放映機的聚光燈泡的反射面就是橢圓面，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上. 在高考中，橢圓也扮演著非常重要的角色，因為它可以很好地考查學生的綜合能力，特別是計算能力和問題的轉(zhuǎn)化能力，橢圓是非常好的一個考查對象，所以研究橢圓曲線的性質(zhì)是非常有意義的.

我們知道在某種意義上可以把橢圓看成是圓的延伸，所以很多橢圓的性質(zhì)可以從圓中類比過來，比如在圓O中，AB為直徑，P為圓上異于A，B的一點，我們有kAPkBP=-1.

那么在橢圓中，我們有性質(zhì)（1）：對于橢圓■+■=1，A，B為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，P為橢圓上異于A，B的一點，我們有kAPkBP=-■.

又比如在圓O中，AB為不過原點的弦，P為弦AB的中點，有kOPkAB=-1，這就是圓中的垂徑定理.

那么在橢圓中，我們有性質(zhì)（2）：對于橢圓■+■=1，AB為橢圓中不過原點O的一條弦，P為弦AB的中點，我們有kOPkAB=-■.

這兩個性質(zhì)是橢圓中的兩個重要結(jié)論，兩條動直線斜率乘積為定值-■，同時也揭開了探究橢圓中美好性質(zhì)的序幕，特別是還有哪些動直線斜率乘積也為定值，定值是多少？這引發(fā)了我們探究的興趣. 當然定值問題只是橢圓美好性質(zhì)中的一部分，不過是非常絢麗的一部分.在變化中尋求不變量一直是我們數(shù)學研究的一個重要方向，而動中找定又是一個非常重要的數(shù)學思想方法，下面我們就來探究一下，橢圓中還有哪些美妙的定值.

定值問題，變化中不變的東西，我們怎么探究呢？從哪里入手呢？我們不可能每次上來就知道哪些東西是定值，哪兩條直線斜率乘積會是定值，那么從特殊到一般的思想方法就起到了尤為關(guān)鍵的作用，當然你首先要有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛.我們來看下面一個例子.

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓■+■=1，A，B為橢圓上兩點，△AOB的面積為■，射線OA，OB的斜率分別為k1和k2，求k1k2的值.

解：求k1k2的值，采用比較多的角度是用點去求k關(guān)系，我們下面就采用這個方法.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則OA方程：y=■x，點B到直線OA的距離d=■，S△AOB=■■■=■，我們有x2y1-x1y2=2■. 兩邊平方得到x■y■+x■y■-2x1x2y1y2=8，即2x■y■+2x■y■-4x1x2y1y2=16，而k1k2=■，接下去如何化簡才能得到我們想要的呢？我們知道，設(shè)點必然要用到曲線方程，這里是橢圓方程，我們就有x■+2y■=4，x■+2y■=4，接下去關(guān)鍵的一步是把上面的16寫成4×4，消常數(shù)項，使等式兩邊變成齊次式，代入可得到2x■y■+2x■y■-4x■x■y■y■=x■x■+2x■y■+2x■y■+4y■y■，化簡可得（x1x2+2y1y2）2=0，所以k1k2=■=-■.

從這個k1k2的值為-■這個結(jié)果來看，我們敏感地發(fā)現(xiàn)這個值就是-■，那么這時候我們會想，上面這個題目有沒有一個一般性的結(jié)論，能不能從這樣一個特殊的情況推廣到一般情況？這里的關(guān)鍵是“△AOB面積為■”有沒有特別的含義，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)■=■ab，所以我們猜想得到下面的結(jié)論.

結(jié)論1：在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓■+■=1，A，B為橢圓上兩點，△AOB的面積為■ab，射線OA，OB的斜率分別為k1和k2，求證：k1k2=-■.

證明：同樣設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則OA方程：y=■x，點B到直線OA的距離d=■，S△AOB=■■·■=■ab，我們有x2y1-x1y2=ab. 兩邊平方得到x■y■+x■y■-2x■x■y■y■=a2b2，接下去處理有點不一樣，我們把等式變形成■（x■y■+x■y■-2x■x■y■y■）=1，把右邊的1看成1x1. 又因為■+■=1，■+■=1，代入得到■（x■y■+x■y■-2x■x■y■y■）=■+■+■+■，化簡可得■+■+■=0，即■+■■=0，所以k■k■=■=-■，證畢. 我們把結(jié)論1證明好了，是個漂亮的結(jié)果，我們感到很高興，那么我們是不是就此結(jié)束了呢？答案是否定的，我們要進一步研究，因為對于-■這個定值特別有感觸，我們想是不是還有哪些直線斜率乘積也是定值-■呢？經(jīng)過研究，運用特殊到一般的數(shù)學思想方法，我們還發(fā)現(xiàn)了下面幾個漂亮的結(jié)論.

結(jié)論2：在平面直角坐標系xOy中，橢圓方程■+■=1，直線l不與x軸垂直，與橢圓相切，直線l與圓x2+y2=a2+b2交于A，B兩點，設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k■和k■，求證：k■k■=-■.

結(jié)論3：在平面直角坐標系xOy中，橢圓方程■+■=1，A為右準線上任意一點，F(xiàn)■，F(xiàn)■為橢圓的左、右焦點，過F■作直線AF■的垂線BF■交橢圓于B，設(shè)直線AB和OB的斜率為k■和k■，求證：k■k■= -■.

結(jié)論4：在平面直角坐標系xOy中，橢圓方程■+■=1，M（x■，y■）為橢圓上一點，從原點O向圓M：（x-x■）2+（y-y■）2=■作兩條切線，與橢圓交于A和B兩點，直線OA，OB的斜率分別為k■和k■，求證：k■k■=-■.

結(jié)論5：在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C方程■+■=1，橢圓D方程■+■=1，過橢圓D 上一點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為A和B，直線PA，PB的斜率分別為k■和k■，求證：k■k■=-■.

下面我們先來證明結(jié)論2：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因為直線l不與x軸垂直，所以斜率存在. 設(shè)直線l方程為y=kx+m，與橢圓方程■+■=1聯(lián)立得到（b2+a2k2）x2+2kma2x+m2a2-a2b2=0. 因為直線l與橢圓相切，所以Δ=0，化簡可得m2=b2+a2k2. 直線l與圓x2+y2=a2+b2聯(lián)立可得（1+k2）x2+2kmx+m2-a2-b2=0，由韋達定理知x■+x■=■，x1x2=■. 所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=■，

所以k1k■=■=■，把m2=b2+a2k2代入，則k1k2=■=-■，證畢.

結(jié)論3的證明思路和上面一樣，用點去證k關(guān)系，把要證的斜率k的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，簡單證明如下：

設(shè)A■，y1，B（x2，y2），F(xiàn)2（c，0），

則k1k2=■·■=■.

因為k■k■=■·■=-1，即y■y■= -■（x2-c）.

又因為點B在橢圓上，所以有y■=b21-■，

所以k■k■=■=-■為定值.

對于結(jié)論4，我們的證明方法和上面的不一樣，如果我們從點的角度，把斜率k的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點坐標關(guān)系是不好證明的，那么怎么去證明呢？這里我們主要運用方程的思想去證明. 證明如下：

設(shè)OA方程：y=k■x，OB方程：y=k■x，因為OA與OB為圓M的切線，那么我們不妨設(shè)過原點O的圓M的切線方程為y=kx，則圓心M到切線的距離d=■=■=r，兩邊平方整理得到（x■-r2）k2-2x0y0k+y■-r2=0. 因為k■和k■為方程（x■-r2）k2-2x■y■k+y■-r2=0的兩根，所以k1k2=■. 因為M在橢圓上，有y■=b21-■，代入得到k1k2=■=■=■=-■，證畢.

同樣的，我們也可以用方程的思想來證結(jié)論5，證明如下：

設(shè)P（x0，y0），為了計算上的方便，這里我們運用了整體思想，設(shè)過點P的橢圓C的切線l方程為y=kx+t，其中t=y0-kx0. 直線l與橢圓C：■+■=1聯(lián)立得到（b2+a2k2）x2+2ka2tx+a2t2-a2b2=0. 因為l與橢圓C相切，所以Δ=0，化簡可得t2=b2+a2k2，把t=y0-kx0代入得到（x■-a2）k2-2x0y0k+y■-b2=0. 因為直線AP和BP都為橢圓C的切線，斜率分別為k■和k■，所以k■和k■為方程（x■-a2）k2-2x0y0k+y■-b2=0的兩根，所以k1k2=■. 又因為點P在橢圓D上，有y■=2b21-■，則k1k2=■=■=■=-■，證畢.

這樣我們就完成了結(jié)論2、3、4、5的證明，那么除了直線斜率乘積為定值 -■之外，有沒有其他的直線斜率乘積是定值了呢？經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，答案是肯定的，比如下面的一個例子.

在直角坐標系xOy中，已知橢圓■+■=1的右頂點和上頂點分別為A和B，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，AB∥DC，記AD，BC的斜率分別為k■，k■，求證：k■k■為定值.

證明：設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），直線AB斜率為-■，設(shè)直線CD方程：y=-■（x-x1）+y1，與橢圓■+■=1聯(lián)立得到2b2x2-（2b2x1+2aby1）x+b2x■+2abx1y1+a2y■-a2b2= 0.因為點C在橢圓上，有y■=b21-■，代入得到2b2x2-（2b2x1+2aby1）x+2abx1y1=0，由韋達定理知，x1x2=■=■，所以x2=■y1，代入直線CD方程得y2=■x1.所以k1k2=■·■=■·■= ■為定值，證畢.

在我們的研究中，我們還發(fā)現(xiàn)了一個有意思的事情，就是把“兩直線斜率乘積為定值-■”作為條件，也可以得到橢圓的一些美好的結(jié)論，這類問題可以看成是斜率關(guān)系的逆問題，也非常值得研究，比如下面的例子.

在直角坐標系xOy中，已知橢圓方程■+■=1，A，B為橢圓上的兩點，直線OA與直線OB的斜率乘積為-■，點B關(guān)于x軸的對稱點為C點，

求證：（1）OA2+OB2為定值;

（2）直線AC的斜率為定值.

證明（1）：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x2，-y2），OA方程：y=k1x，與橢圓■+■=1聯(lián)立得到x■=■，同理設(shè)OB方程：y=k2x，可得到x■=■.

因為k1k2=-■，即k■=■，則x■=■=■，所以x■+x■= ■+■=■=a2，y■+y■=k■x■+k■x■=k■■+k■■=■=b2，所以O(shè)A2+OB2=x■+y■+x■+y■=a2+b2為定值.

直線AC的斜率kAC=■，接下去怎么處理呢？這里我們用一個小技巧，兩邊平方，得到kAC2=■■=■，由（1）知x■+x■=a2，y■+y■=b2，則k■=■. 又因為k1k2=■= -■，所以k■=■=■=■為定值，所以直線AC的斜率為定值.

以上是對橢圓中直線斜率關(guān)系問題的探究，我們得到了橢圓中的一些美好的性質(zhì)，當然這僅僅是冰山一角，但足以體現(xiàn)橢圓的美. 這種美是圓錐曲線，也是整個解析幾何中非常絢麗的一幕，這些性質(zhì)有的還可以類比到雙曲線中，這里就不做研究了.

結(jié)束語

我們教師在平時的教學中，自身要多歸納，多總結(jié)，教學相長，不斷提升自己，俗話說打鐵還需自身硬，要有一雙發(fā)現(xiàn)問題的眼睛，有探索的精神，有解決問題的能力，這樣才能做到會當凌絕頂，一覽眾山小. 基于數(shù)學核心素養(yǎng)下的解題教學，是每位教師終生探究的課題，望共勉之.