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    構(gòu)造突破,借“導(dǎo)”探析

    2020-11-06 07:39:39董海峰
    關(guān)鍵詞:單調(diào)性構(gòu)造不等式

    董海峰

    [摘? 要] 以函數(shù)為背景的不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問(wèn)題,其中涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí),對(duì)于學(xué)生的解題思維有著較高的要求. 解題時(shí)采用構(gòu)造函數(shù)法可以把握問(wèn)題本質(zhì),打開(kāi)突破口. 文章深入剖析構(gòu)造函數(shù)的方法策略,結(jié)合實(shí)例加以探究,并開(kāi)展教學(xué)反思,提出相應(yīng)的建議.

    [關(guān)鍵詞] 不等式;導(dǎo)數(shù);構(gòu)造;函數(shù);單調(diào)性

    問(wèn)題綜述

    在近幾年的??己透呖贾谐霈F(xiàn)了一類較為特殊的不等式問(wèn)題,融合抽象函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí),具有較強(qiáng)的綜合性. 同時(shí)由于抽象函數(shù)的出現(xiàn),對(duì)于學(xué)生的解析突破造成了一定的思維障礙,學(xué)生難以選擇突破口,不能合理解析不等式問(wèn)題. 實(shí)際上,由于該類不等式問(wèn)題常以函數(shù)為背景,解析時(shí)需聯(lián)想導(dǎo)函數(shù)的分析優(yōu)勢(shì),構(gòu)造合適的輔助函數(shù),然后利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化求解. 具體思路是把握不等式的結(jié)構(gòu)特征,結(jié)合所求問(wèn)題構(gòu)造相應(yīng)的新函數(shù),然后利用導(dǎo)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來(lái)解析.

    構(gòu)造探究

    “構(gòu)造函數(shù),借導(dǎo)探析”是突破函數(shù)背景下不等式問(wèn)題的有效策略,而其中關(guān)鍵的一步是構(gòu)造輔助函數(shù). 構(gòu)造函數(shù)的方法有多種,所構(gòu)函數(shù)的特征也不盡相同,掌握構(gòu)造函數(shù)的方法十分重要. 高中階段常用的構(gòu)建法有很多,大多基于代數(shù)運(yùn)算來(lái)構(gòu)造,如和差、積商,所構(gòu)函數(shù)的形式也較為多樣,如構(gòu)造具體函數(shù)、構(gòu)造抽象函數(shù)、構(gòu)造“本性”函數(shù),下面結(jié)合實(shí)例講解問(wèn)題的構(gòu)造策略.

    1. 構(gòu)造具體函數(shù)

    構(gòu)造具體函數(shù)是解析函數(shù)不等式的常用方法,“具體函數(shù)”,既包括傳統(tǒng)意義上的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)等常規(guī)函數(shù),又包括廣義上的有具體形式、確定內(nèi)容的固定函數(shù). 解析時(shí)需要對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行恒等變形,從中提取核心內(nèi)容來(lái)構(gòu)造.

    例1:設(shè)函數(shù)f(x)=2xex+a,g(x)=ex+ax,其中a<1,如若存在唯一的整數(shù)x■,使得f(x■)

    解析:題干給出了函數(shù)f(x)和g(x),并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了不等式f(x■)

    將函數(shù)代入不等式f(x)-■時(shí),h′(x)>0,則在區(qū)間-∞,-■上,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減,在區(qū)間-■,+∞上,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增. 所以x=-■時(shí),函數(shù)h(x)取得最小值,且最小值為h-■=-■. 令y=ax-a,則函數(shù)h(x)和y=ax-a的圖像如圖1所示,其中h(0)=-1,h(-1)=-■,所以h(-1)

    解法指點(diǎn):對(duì)于函數(shù)形式確定的不等式問(wèn)題,可以先通過(guò)和差、積商轉(zhuǎn)化來(lái)對(duì)不等式恒等變形,然后直接提取不等式內(nèi)容來(lái)構(gòu)造函數(shù),最后利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)打開(kāi)解題突破口. 必要時(shí)可以借助函數(shù)的圖像,使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直觀,利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解析問(wèn)題. 而對(duì)于較為復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)不等式問(wèn)題,則可以采用先還原、再構(gòu)造的策略求解.

    2. 構(gòu)造抽象函數(shù)

    抽象函數(shù)是相對(duì)于具體函數(shù)的一種函數(shù)形式,而構(gòu)造的抽象函數(shù)是對(duì)原函數(shù)不等式性質(zhì)特征的高度集合. 往往新函數(shù)綜合了目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵特點(diǎn),其中可能含有一些復(fù)合函數(shù),可借助所構(gòu)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)開(kāi)展問(wèn)題分析.

    例2:已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足e4(x+1)f(x+2)=f(-x),設(shè)f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若對(duì)于任意的x≥1均有f′(x)+2f(x)>0,則下列選項(xiàng)一定正確的是(? ? )

    A. e4f(2)>f(0)

    B. e3f(3)>f(2)

    C. e6f(3)>f(-1)?搖?搖

    D. e10f(3)>f(-2)

    解析:題干給出了函數(shù)f(x)所滿足的條件,以及與其導(dǎo)函數(shù)f′(x)之間的不等關(guān)系,可以從四個(gè)選項(xiàng)中提取、歸納共性,構(gòu)建相應(yīng)的特征函數(shù),然后利用對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)來(lái)確定函數(shù)性質(zhì),進(jìn)而分析選項(xiàng)正誤.

    根據(jù)選項(xiàng)所涉不等式的特征,設(shè)新函數(shù)F(x)=e2x·f(x),導(dǎo)函數(shù)F′(x)=2e2xf(x)+e2xf′(x)=e2x[2f(x)+f′(x)]. 因?yàn)閷?duì)于任意的x≥1均有f′(x)+2f(x)>0,顯然F′(x)>0,即函數(shù)F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,則有F(x+2)=e2(x+2)·f(x+2),F(xiàn)(-x)=e-2x·f(-x). 因?yàn)閑4(x+1)f(x+2)=f(-x),則e2x+4·f(x+2)=e-2x·f(-x),所以F(x+2)=F(-x),則函數(shù)F(x)關(guān)于x=1對(duì)稱,可知F(-2)=F(4). 根據(jù)函數(shù)F(x)的單調(diào)性可知F(3)F(2),所以e2f(3)>f(2),則選項(xiàng)B正確.

    解法指點(diǎn):上述采用的是典型的構(gòu)建抽象函數(shù)的方法,從選項(xiàng)的函數(shù)不等式形式中提取共有特點(diǎn),然后構(gòu)建抽象函數(shù). 構(gòu)造函數(shù)可輔助思考問(wèn)題,降低思維難度,打開(kāi)解題突破口. 一般抽象函數(shù)的構(gòu)建策略有兩種:(1)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”,從中提取不等式的特征來(lái)構(gòu)造;(2)若為函數(shù)不等式選擇題,則可以總結(jié)選項(xiàng)中的共性特點(diǎn)來(lái)構(gòu)造函數(shù),如本題所示.

    3. 構(gòu)造“本性”函數(shù)

    構(gòu)造“本性”函數(shù),即構(gòu)造可以反映問(wèn)題本質(zhì)內(nèi)容的函數(shù),因此在構(gòu)造過(guò)程中需要把握問(wèn)題本質(zhì),進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化,使抽象問(wèn)題具體化,然后結(jié)合不等式內(nèi)容來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù). 總結(jié)構(gòu)造“本性”函數(shù)的過(guò)程,可以概括為:等效探源,本質(zhì)構(gòu)造.

    例3:定義在R上函數(shù)f(x)滿足條件f(-x)=f(x),且對(duì)于任意的不等式實(shí)數(shù)x■,x■∈[0,+∞)均有■<0. 若關(guān)于x的不等式f(2mx-lnx-3)≥2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在x∈[1,3]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)___________.

    解析:上述同為以函數(shù)為背景的不等式問(wèn)題,根據(jù)條件“f(-x)=f(x)”可推知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),由條件“x■,x■∈[0,+∞)均有■<0”可推知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減. 突破的核心是對(duì)后續(xù)不等式成立的剖析,顯然不適合直接構(gòu)造函數(shù),需要對(duì)函數(shù)不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,從中獲得反映不等式本質(zhì)的內(nèi)容,然后據(jù)此構(gòu)造“本性”函數(shù).

    可將f(2mx-lnx-3)≥2f(3)-f(-2mx+lnx+3)轉(zhuǎn)化為f(2mx-lnx-3)≥f(3)在x∈[1,3]上恒成立,則2mx-lnx-3≤3,即0≤2mx-lnx≤6對(duì)于x∈[1,3]恒成立,進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得2m≥■且2m≤■對(duì)于x∈[1,3]恒成立. 令函數(shù)g(x)=■,則導(dǎo)函數(shù)g′(x)=■,分析可知g(x)在區(qū)間[1,e)上單調(diào)遞增,在(e,3]上單調(diào)遞減,則g(x)max=■;再令函數(shù)h(x)=■,則導(dǎo)函數(shù)h′(x)=■<0,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減,則有h(x)min=■;所以需滿足2m≥■,且2m≤■,即m∈■,1+■.

    解法指點(diǎn):構(gòu)造“本性”函數(shù),實(shí)則反映的是一種構(gòu)造解析函數(shù)不等式的策略,即等效轉(zhuǎn)換,特征構(gòu)造. 與前兩種構(gòu)造方式最大的不同是在構(gòu)造之前需對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行“本性”挖掘. 運(yùn)用該種構(gòu)造方式可以抓住問(wèn)題本質(zhì),化抽象為具體,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題效果.

    反思建議

    以函數(shù)為背景的不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的典型問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)可以簡(jiǎn)化問(wèn)題,高效求解. 上述所探討的函數(shù)構(gòu)造策略也是該類問(wèn)題常用的構(gòu)造方法,可以有效挖掘問(wèn)題本源,降低思維難度,構(gòu)建直切主體的解析思路. 下面對(duì)問(wèn)題本質(zhì)及構(gòu)造方法進(jìn)行深入反思,提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.

    1. 關(guān)于問(wèn)題構(gòu)造方法的反思

    對(duì)于函數(shù)不等式問(wèn)題,其核心是處理不等式關(guān)系,但解析的關(guān)鍵是聯(lián)系函數(shù)背景來(lái)探究不等式的問(wèn)題根本,因此“不等關(guān)系”是問(wèn)題的表象,“函數(shù)關(guān)系”才是問(wèn)題的本質(zhì)核心. 在解析問(wèn)題過(guò)程中需要聯(lián)合函數(shù)背景來(lái)剖析不等式,結(jié)合已知條件和問(wèn)題來(lái)挖掘不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,結(jié)合構(gòu)造法構(gòu)造輔助函數(shù)、求解導(dǎo)函數(shù),合理利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和最值來(lái)研究不等式. 上述所呈現(xiàn)的三種構(gòu)造策略,其核心在于把握函數(shù)不等式的表象特征、共性特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、本質(zhì)根源,構(gòu)造的過(guò)程不是改變問(wèn)題本身,而是借助函數(shù)模型來(lái)研究性質(zhì),利用性質(zhì)來(lái)推理結(jié)論.

    2. 關(guān)于構(gòu)造函數(shù)解題的建議

    函數(shù)不等式問(wèn)題具有極強(qiáng)的綜合性,利用構(gòu)造策略求解問(wèn)題過(guò)程中,除了需要利用構(gòu)造技巧外,還需要用到函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、不等式性質(zhì)等知識(shí),上述知識(shí)是問(wèn)題突破的基礎(chǔ)儲(chǔ)備. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中需要牢實(shí)基礎(chǔ),把握知識(shí)聯(lián)系,關(guān)注函數(shù)與不等式的關(guān)聯(lián),為后續(xù)基于不等式形式構(gòu)造函數(shù)做基礎(chǔ). 考慮到構(gòu)造函數(shù)過(guò)程需要挖掘不等式問(wèn)題的特征內(nèi)涵,教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生合理聯(lián)想,發(fā)散思維,提升學(xué)生的思維品質(zhì).

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