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    “類比”一種思維方式的探討

    2016-04-05 08:36:00劉春江
    科技視界 2016年8期
    關(guān)鍵詞:類比思維方式思路

    劉春江

    【摘 要】遇到問題該如何考慮,本文給出一種發(fā)現(xiàn)問題、思考問題的方法,稱作“類比”。他是一種思維方式,能提供思考問題的方法,使面對(duì)復(fù)雜的問題,通過簡(jiǎn)化的思想,能從簡(jiǎn)單問題,得到復(fù)雜問題的的思路、想法,進(jìn)而得到解決問題的方法。但“類比”不是證明、推理,他可得到解決問題的思路、想法,提供思考問題的方向,但類似的問題可能沒有必然的聯(lián)系。

    【關(guān)鍵詞】類比;思路;思維方式

    在實(shí)際中,有時(shí)遇到問題不知該如何考慮;例在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,一些基本的概念題基本能做,且有一定的思路,但在綜合題時(shí),面對(duì)一道題,不知道如何考慮,也就不知道該如何做題。為此我通過大量的數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí)與總結(jié)。發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的方法,不妨叫做“類比”;這種新思路是據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面存在相似或相同的特點(diǎn),從而推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡艽嬖谙嗨苹蛳嗤奶攸c(diǎn)一種推理方法,這就在解決一些復(fù)雜的問題時(shí),先簡(jiǎn)化與之類似的一些簡(jiǎn)單問題,從而得到某些啟發(fā),給出復(fù)雜問題的思路與想法,這對(duì)我們解決復(fù)雜問題提供了一套思考問題的方法與思路,我們把這種方法稱作“類比”。這種“類比”的推理方法,是一種“合情推理”的思考問題的方法,但它不是證明,它無法保證已知相同的屬性與推出的屬性之間有必然的聯(lián)系。但是它是獲得新思路、發(fā)現(xiàn)新問題的一種觀點(diǎn)、一種手段。它給我們?cè)S多啟示,幫助我們解決問題。為此我們把這種研究問題的思路、想法稱作“類比”法。

    1 問題的提出

    例:“韓信點(diǎn)兵”的故事,這故事是說,韓信閱兵時(shí),讓一隊(duì)士兵5人一行排隊(duì)從他面前走過,他記下最后一行士兵的人數(shù)于(1人);再讓這隊(duì)士兵6人一行排隊(duì)從他面前走過,他記下最后一行士兵的人數(shù)(5人);再讓這隊(duì)士兵7人一行排隊(duì)從他面前走過,他記下最后一行士兵的人數(shù)(4人),再讓這隊(duì)士兵11人一行排隊(duì)從他面前走過,他記下最后一行士兵的人數(shù)(10人)。然后韓信就憑這些數(shù),可求得這隊(duì)士兵的總?cè)藬?shù)。這里面有什么秘密呢?

    類似的我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中,有“有物不知數(shù)”的題目:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩2,五五數(shù)之剩3,七七數(shù)之剩2,問物幾何?

    在“有物不知數(shù)”的題目中,這個(gè)數(shù)是多少呢? 答案是23,那么,這個(gè)23 是如何求得的呢?

    為此我們從另一個(gè)問題入手,以便從中尋找規(guī)律,這個(gè)問題是:今有物不知其數(shù),二二數(shù)之剩1,三三數(shù)之剩2,四四數(shù)之剩3,五五數(shù)之剩4,六六數(shù)之剩5,七七數(shù)之剩6,八八數(shù)之剩7,九九數(shù)之剩8,問物幾何?

    2 問題的分析及解決的方法

    為了解決這個(gè)問題,我們給出解決問題的思路和方法。

    首先我們先簡(jiǎn)化題目,只提“前兩個(gè)”要求:用2 除余1,用3 除余2,求這樣的數(shù)?因?yàn)檫@樣問題變得簡(jiǎn)單,便于思考。問題簡(jiǎn)單了就有可能得到問題的答案。一種最普通的辦法就是;先把“用2除余1”的數(shù)全列出來:1,3,5,7,9,11,…;再從中篩選,挑出其中“用3 除余2”的數(shù)來:5,11,17,23,…,這就求出了滿足要求的數(shù)了。我們?cè)倏丛},這就啟發(fā)我們想到,要解決原問題,只要從上邊篩選下的數(shù)中,繼續(xù)挑出“用4 除余3”的數(shù):11,23,……;再挑“用5 除余4”的數(shù),…;一直篩選下去,只要舍得下功夫,就一定可得結(jié)果,并且看起來,這個(gè)數(shù),還不是唯一的,可能有無窮多個(gè)滿足條件的數(shù)。

    這就是化繁為簡(jiǎn)的思想,一個(gè)復(fù)雜的問題,如果在簡(jiǎn)化時(shí)仍然保留了原來問題的特點(diǎn)和本質(zhì),那么簡(jiǎn)化就“不失一般性”。學(xué)會(huì)“簡(jiǎn)化問題”與學(xué)會(huì)“推廣問題”一樣,是一種重要的數(shù)學(xué)能力。這方法簡(jiǎn)稱“篩選法”,好像問題解決了,但當(dāng)我們這樣一直篩選下去時(shí),發(fā)現(xiàn)越來越復(fù)雜,而且特別麻煩,那么有沒有一般的方法能很好的解決這樣的問題呢?為此我們給出另一個(gè)方法“公倍數(shù)法”。

    我們還是先看只有前兩個(gè)條件的簡(jiǎn)化題目。上述篩選過程的第一步,得到1,3,5,7,9,11,…;其實(shí)是列出了“用2 除余1”的數(shù)組成的數(shù)列。這個(gè)數(shù)列實(shí)際上是用帶余除法的式子得到的。所謂“帶余除法”,是指整數(shù)的如下“除法”:對(duì)所有被除數(shù)a,除數(shù)b ≠0,必唯一存在商數(shù)q 和余數(shù)r,使a=bq+r,0≤r

    再回到求“用2 除余1”的數(shù)的問題上來,設(shè)這樣的數(shù)為x,則x=2n+1(0≤1<2),這就是“帶余除法”的式子。當(dāng)取 n = 0,1,2,…時(shí),用上式求得的x 正好組成上述數(shù)列:1,3,5,…?,F(xiàn)在,接著從中篩選出“用3 除余2”的數(shù),x=3m+2(0≤2<3)的數(shù),這里m可取0,1,2,…。如我們不分上述兩步,而是一上來就綜合考慮兩者,就是要解聯(lián)立方程組x=2n+1x=3m+2的解x。我們考察上邊方程的特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)兩個(gè)“帶余除法”的式子,都是“余數(shù)比除數(shù)少1”。于是想到,如果把被除數(shù)再加1,不是余數(shù)就為0 了嗎?換句話說,不就是出現(xiàn)整除的情況了嗎?于是上邊每個(gè)方程兩邊都加上1,成為x+1=2(n+1)x+1=3(m+1),這說明,x+1既是2的倍數(shù),又是3的倍數(shù),因此,它是2與3的公倍數(shù)。如果用[2,3]表示2和3的最小公倍數(shù),那么,就有:x+1=k[2,3]=6k k=1,2,…;即:x=6k-1 k=1,2,…,即 x=5,11,…,與前一解法結(jié)果相同。

    再看原問題:設(shè)原問題中,需要求的數(shù)是x,則x 被2,3,4,5,6, 7,8,9去除,所得的余數(shù)都是比除數(shù)少1,于是我們把被除數(shù)x 再加1,則x+1 就可被2,3,4,5,6,7,8,9 均整除。也就是說,x+1 是2,3, 4,5,6,7,8,9 的公倍數(shù),從而是其最小公倍數(shù)[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍數(shù)。x+1=k[2,3,4,5,6,7,8,9] k=1,2,…,即 x=2520k-1,k =1,2,3,…,這就是原問題的全部解,有無窮多個(gè)解,其中第一個(gè)解是2519;我們只取正數(shù)解,因?yàn)椤拔矬w的個(gè)數(shù)”總是正整數(shù)。

    我們有了上面的考慮,再看《孫子算經(jīng)》中“有物不知其數(shù)”問題的解答,在“有物不知數(shù)”的題目:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩2,五五數(shù)之剩3,七七數(shù)之剩2,問物幾何?我們同樣采用“篩選法”和“公倍數(shù)法”。

    首先寫出“用3 除余2”的數(shù)為:2,5,8,…; 其中,“用5 除余3”的數(shù)為:8,23,…;“用7 除余2”的數(shù):23,… ;得到,23 是最小的一個(gè)解。至于下一個(gè)解是什么,要把“…”寫出來才知,實(shí)踐以后發(fā)現(xiàn),是要費(fèi)點(diǎn)功夫。而當(dāng)問題復(fù)雜時(shí),求解會(huì)越來越難,為此我們看另一個(gè)方法“公倍數(shù)法”。仿照上邊用過的“公倍數(shù)法”,設(shè)要求的數(shù)為x,則依題意,得聯(lián)立方程組x=3m+2x=5n+3x=7p+2,按上一問題中“公倍數(shù)法”解決問題的思路:給x 加上或減去一個(gè)什么樣的數(shù),就能使三個(gè)等式的右邊分別是3,5,7 的倍數(shù),從而等式左邊就是3,5,7 的公倍數(shù)了。這要反復(fù)的試算。我們介紹一種試算的方法。從第三個(gè)等式入手,兩邊加5(或減2)則得x+5=7(p +1)(或x-2=7p);則右邊是7 的倍數(shù)了,但兩邊加5(或減2)并不能使前兩式的右邊分別是3 的倍數(shù)和5 的倍數(shù),所以兩邊加5(或減2)并不能成為3,5,7 的公倍數(shù)。再繼續(xù)從第三個(gè)等式入手,為使第三個(gè)等式右邊自然保持是7 的倍數(shù),可再加7k(或再減7h),則得3x+5 +7k=7(n+1+k)(或3x-2-7h=7(n-h))將k=1,2,3,…(或h=1,2,3…)代入試算、分析,最后發(fā)現(xiàn):為達(dá)到目的(三個(gè)等式的右邊分別是3,5,7 的倍數(shù)),最小的加數(shù)是82(k=11時(shí)5+7k=82)(或最小的減數(shù)是23,即h =3時(shí)2+7h=23)用等式兩邊加82 來求解,但是這82 和23 來之不易,并且如果題目中的余數(shù)變了,就得重新計(jì)算,所以這方法缺少一般性,為使它具有一般性,要做根本的修改。華羅庚由此聯(lián)想到如何解決具有類似結(jié)構(gòu)的各種問題。正是他把上述解決問題的基本思想稱為“單因子構(gòu)件湊成法”,并概括成如下的“合成原則”:要做出具有平行的、類似的幾個(gè)性質(zhì)A,B,C的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),而A,B,C分別以某種α,β,γ量刻劃,這時(shí),可用“單因子構(gòu)件湊成法”:先作B,C不發(fā)生作用,而A取單位量的構(gòu)件,再作C,A不發(fā)生作用,B取單位量的構(gòu)件;再作A、B不發(fā)生作用,C取單位量的構(gòu)件。然后用這些構(gòu)件湊出所求的結(jié)構(gòu)。這個(gè)原則在有的書里稱為“孫子—華原則”。體現(xiàn)了“化繁為簡(jiǎn)”的思想。

    因此我們用“單因子構(gòu)件湊成法”來解上述問題的一般方法。

    我們一方面是把余數(shù)都簡(jiǎn)化為最簡(jiǎn)單的;另一方面是每次只考慮“一個(gè)除式”有余數(shù)的情況,(即另兩個(gè)除式都是整除的情況)這樣我們得到三組方程

    (1)x=3m+1x=5nx=7p (2)y=3my=5n+1y=7p (3)z=3mz=5nz=7p+1

    (1)式意味著,在5 和7 的公倍數(shù)中(35,70,105,…)尋找用3 除余1 的數(shù);這個(gè)數(shù)可以取70;

    (2)式意味著,在3 和7 的公倍數(shù)中(21,42,63,…)尋找用5 除余1 的數(shù);這個(gè)數(shù)可以取21;

    (3)式意味著,在3 和5 的公倍數(shù)中(15,30,45,…)尋找用7 除余1 的數(shù);這個(gè)數(shù)可以取15

    對(duì)(1)式而言,這個(gè)數(shù)可以取70;對(duì)(2)式而言,這個(gè)數(shù)可以取21;對(duì)(3)式而言,這個(gè)數(shù)可以取15;

    于是(1)式兩邊同減70 變?yōu)檫@樣:第二式右邊仍是5 的倍數(shù),第三式右邊仍是7 的倍數(shù),而第一式右邊由減的70 是“用3 除余1”的數(shù),正好原來也多一個(gè)1,減沒了。

    同理對(duì)于(2)式兩邊同減21變?yōu)檫@樣:第一式右邊仍是3 的倍數(shù),第三式右邊仍是5 的倍數(shù),而第二式右邊由減的21是“用5 除余1”的數(shù),正好原來也多一個(gè)1,減沒了。所以第二式右邊也成為了5的倍數(shù)。

    同理對(duì)于(3)式兩邊同減15變?yōu)檫@樣:第一式右邊仍是3 的倍數(shù),第二式右邊仍是7 的倍數(shù),而第三式右邊由減的15 是“用7 除余1”的數(shù),正好原來也多一個(gè)1,減沒了。所以第三式右邊也成為了7的倍數(shù)。那么,湊出s=2x+3y+2z不就是我們要求的數(shù)嗎?

    因?yàn)橛?去除s 時(shí),除y 及除z 余數(shù)均為0,所以除3y及除2z 余數(shù)均為0;用3去除x 余數(shù)為1, 除2x 余數(shù)為2; 所以用3除s時(shí)余數(shù)為2。

    因?yàn)橛? 去除s 時(shí),除x 及除z 余數(shù)均為0 ,所以 除2x及除2z余數(shù)均為0,去除y 余數(shù)為1,所以除3 y 余數(shù)為3, 所以用5 除s 時(shí)余3。

    因?yàn)橛?去除s 時(shí),除x及除y余數(shù)均為0,所以除2x 及除3y使余數(shù)均為0,用7 去除z余1,所以用7去除2z余數(shù)為2, 所以用7 除s 時(shí)余數(shù)為2。

    于是我們要求的數(shù)是:s=2x+3y+2z,這就是《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”一題的解,有無窮多個(gè),最小的正數(shù)是23(k=-2時(shí))。這里,(1),(2),(3)三式分別叫三個(gè)“單子因構(gòu)件”,分別解得x=105k+70,y=105k+21,z=105k+15;每個(gè)單因子構(gòu)件,都是用某一個(gè)數(shù)去除余1,用另兩個(gè)數(shù)去除均余0 的情況。再據(jù)題目要求余數(shù)分別是2,3,2 的情況,湊成s=2x+3y+2z;所以,上述方法叫“單因子構(gòu)件湊成法”。

    這種方法的最大優(yōu)點(diǎn)是,可以任意改變余數(shù),加以推廣:例如:有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩a,五五數(shù)之剩b,七七數(shù)之剩c,問物幾何?

    答:解為s=70a+21b+15c+105k,(k∈Z,k的選取應(yīng)使s>0)。

    我們把這樣思考問題的方法稱作“類比”,他給我們提供了許多啟示,使我們?cè)趯W(xué)習(xí)中對(duì)一些復(fù)雜的問題,通過“類比”的方法得到某些啟示,考慮一個(gè)復(fù)雜的問題,先從簡(jiǎn)單的問題出發(fā),得到一些解決問題的思路和想法,從而解決一個(gè)復(fù)雜的問題。

    3 結(jié)論

    什么是一般問題?其實(shí)對(duì)于上述問題的一般情況,就是中國(guó)剩余定理。

    1247 年南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶把《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”一題的方法推廣到一般的情況,得到稱之為“大衍求一術(shù)”的方法,在《數(shù)書九章》中發(fā)表。這個(gè)結(jié)論在歐洲要到十八世紀(jì)才由數(shù)學(xué)家高斯和歐拉發(fā)現(xiàn)。所以世界公認(rèn)這個(gè)定理是中國(guó)人最早發(fā)現(xiàn)的,特別稱之為“中國(guó)剩余定理”(Chinese remainder theorem)。

    該定理用現(xiàn)在的語言表達(dá)如下:

    設(shè)數(shù)d1,d2,d3,……,dn兩兩互素,某整數(shù)x分別被d1,d2,d3,……,dn整除,所得余數(shù)分別為r1,r2,r3,……,rn則x可表示為如下式x=kD+k1r1+k2r2+…θ…knrn;其中D 是d1,d2,d3,……,dn的最小公倍數(shù),ki是 d1,d2,……di-1,di+1……,dn,的最小公倍數(shù),而且被di整除所得余數(shù)為1;k 是任意整數(shù)。

    通過上面的討論,對(duì)一般問題,即“中國(guó)剩余定理”我們不再給出證明推到。有了這個(gè)一般情況,我們遇到類似的問題就可以得到問題類似的求解方法。

    4 有趣的應(yīng)用

    例如1:某單位有100 把鎖,分別編號(hào)為1,2,3,…,100?,F(xiàn)在要對(duì)鑰匙編號(hào),使外單位的人看不懂,而本單位的人一看見鎖的號(hào)碼就知道該用哪一把鑰匙。能采用的方法很多,其中一種就是利用中國(guó)剩余定理,把鎖的號(hào)碼被3,5,7 去除所得的三個(gè)余數(shù)來作鑰匙的號(hào)碼(首位余數(shù)是0 時(shí),也不能省略)。這樣,每把鑰匙都有一個(gè)三位數(shù)編號(hào)。

    例如23 號(hào)鎖的鑰匙是232 號(hào);52 號(hào)鎖的鑰匙是123 號(hào);8號(hào)鎖的鑰匙是231;19號(hào)鎖的鑰匙是145;45號(hào)鎖的鑰匙是003。

    如果希望保密性再強(qiáng)一點(diǎn)兒,則可以把剛才所說的鑰匙編號(hào)加上一個(gè)固定的常數(shù)作為新的鑰匙編號(hào)系統(tǒng)。這樣,仍不破壞鎖的號(hào)與鑰匙的號(hào)之間的一一對(duì)應(yīng),而外人則更難知道了。

    通過上面的分析,我們通過這種類比的方法思考問題,能給我們提供思考問題的方向,使得我們面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問題,通過簡(jiǎn)化的思想,使得我們能夠解決一些簡(jiǎn)單的問題,從解決簡(jiǎn)單問題的的思路、想法出發(fā),得到解決一般、復(fù)雜問題的思路、想法。

    [責(zé)任編輯:楊玉潔]

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