數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題思維方法探究

劉文沖 馬琦琳 韓程遠(yuǎn)

摘 要：在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，采用正確的方法會(huì)起到事半功倍的效果。排列組合的思維方法是指在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要將其拆分成不同的模塊，然后將不同的小模塊進(jìn)行重新組合，就產(chǎn)生了一個(gè)全新的問(wèn)題。如此處理問(wèn)題不僅能在根本上認(rèn)識(shí)問(wèn)題，還能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生認(rèn)真學(xué)，樂(lè)意學(xué)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)問(wèn)題;思維方法;排列組合

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2019）12-0074-01

數(shù)學(xué)思維是用數(shù)學(xué)思考和解決問(wèn)題的思維活動(dòng)。一個(gè)良好的思維習(xí)慣是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題最有效的工具，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生要把客觀問(wèn)題所含的基本規(guī)律抽象出來(lái)，在大腦中形成一個(gè)自己的認(rèn)識(shí)，并產(chǎn)生自己的看法，從而靈活掌握。本文提出的排列組合的方法是學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)舉一反三的重要工具。

一、排列組合思維方法

其一，排列組合思維方法的益處。良好的思維方式有助于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和對(duì)基本知識(shí)的梳理，能促使學(xué)生從本質(zhì)上看待問(wèn)題。排列組合的思維方法將問(wèn)題中所涉及的基本知識(shí)抽象出來(lái)，將一個(gè)大的問(wèn)題分成了不同的小模塊，即簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)，再將小模塊進(jìn)行重新排列組合形成全新的問(wèn)題。如此處理數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅能使學(xué)生充分理解知識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生從出題者的角度看待問(wèn)題，提高學(xué)生自學(xué)的能力。此外，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能更透徹地看待問(wèn)題。其二，排列組合思維方法的應(yīng)用。學(xué)生在應(yīng)用排列組合思維方法時(shí)要注意平時(shí)的積累和觀察，積累每一道題，將每一道題劃分模塊，然后將運(yùn)用到相同知識(shí)點(diǎn)的題放在一起比對(duì)，充分了解每一個(gè)模塊的運(yùn)用方法。知識(shí)的運(yùn)用變化莫測(cè)，學(xué)會(huì)排列組合思維方法，運(yùn)用能力才能提升。

二、排列組合思維方法舉例

問(wèn)題1：設(shè)f（x）在[-a，a]（a>0）上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且 limn→0■=0 。證明存在M>0使得f（x）≤Mx■，？坌x∈[-a，a]。解題思路，本題先用泰勒公式寫出f（x）的x2的形式，即■x■，再利用不等式 ■≤M得出答案。本題中涉及的知識(shí)點(diǎn)有：泰勒定理、導(dǎo)數(shù)定義、連續(xù)條件的含義。

問(wèn)題2：設(shè)■lnn（n+1）■（n+2）■ ，問(wèn)a，b取何值時(shí)該級(jí)數(shù)收斂。解題思路：該題利用lnab的計(jì)算公式將原式展開成（1+a+b）lnn+aln（1+■）+bln（1+■）的形式，再利用泰勒公式計(jì)算出結(jié)果。本題中涉及的知識(shí)點(diǎn)有：泰勒公式和級(jí)數(shù)。兩問(wèn)題中泰勒公式和不同的模塊組合，即不同的運(yùn)用形式和不同的排列組合形式。

問(wèn)題3：求級(jí)數(shù)■■+■的和。解題思路：首先構(gòu)造函數(shù)f（x）=■■x2k+1，求出f（x）=■-1，再進(jìn)一步積分求出f（x），下一步將特殊值1帶入f（x），得出左半部分的值，而■=■=1，結(jié)果顯而易見。這道題運(yùn)用常規(guī)的級(jí)數(shù)解題思路顯然是行不通的，可用構(gòu)造函數(shù)的方法解決級(jí)數(shù)的問(wèn)題。函數(shù)構(gòu)造的技巧性是非常強(qiáng)的，學(xué)生要有著比較靈敏的感覺(jué)，要第一眼就意識(shí)到級(jí)數(shù)的左半部分可以進(jìn)行函數(shù)構(gòu)造，以此來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題。本題中涉及的知識(shí)點(diǎn)有：構(gòu)造函數(shù)、級(jí)數(shù)。

問(wèn)題4：設(shè)f（x）在[-1，1]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f（-1）=f（1）=■，f（x）≤■ 。證明f（x）≤■ ，x∈[-1，1]和 f（x）= x在[-1，1]上有且只有一個(gè)實(shí)根。第一問(wèn)解題思路：利用泰勒公式分別寫出f（-1）、f（1）的表達(dá)式，之后兩式做差，利用所得關(guān)系試構(gòu)造不等式，最后得出max-1≤x≤1■=■，因此，f（x）≤■， x ∈[-1，1]。第一問(wèn)涉及的知識(shí)點(diǎn)是泰勒公式和不等式的運(yùn)用。不等式的運(yùn)用和構(gòu)造函數(shù)一樣，同樣具有較高的靈活性。學(xué)生平時(shí)要加強(qiáng)經(jīng)驗(yàn)積累，見到什么樣的類型，就在腦海中及時(shí)反映出做過(guò)的類似的題型，并及時(shí)加以比較，做好總結(jié)。談到不等式，要熟記幾個(gè)均值不等式的形式，熟記條件，并加以靈活運(yùn)用。第二問(wèn)解題思路：構(gòu)造函數(shù)，令F（x）= f（x）-x，x∈[-1，1]，則F（-1）= f（-1）+1=■，F(xiàn)（1）=f（1）-1=-1/2 ，但F（x）在[-1，1]上連續(xù)，由介值定理可知，F(xiàn)（x）在[-1，1]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，又由第一問(wèn)可知，F(xiàn)（x）=f（x）-1<0，所以F（x）在[-1，1]上嚴(yán)格單調(diào)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)，這樣F（x）在[-1，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）=x在[-1，1]上有且只有一個(gè)實(shí)根。第二問(wèn)涉及的知識(shí)點(diǎn)有：構(gòu)造函數(shù)、介值定理和函數(shù)的單調(diào)性。介值定理在極限中同樣應(yīng)用廣泛，是考查的重點(diǎn)。第一問(wèn)主要用到了泰勒公式，是泰勒公式和不同知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)合運(yùn)用。第二問(wèn)核心思路是構(gòu)造函數(shù)，第一問(wèn)中同樣涉及了一些構(gòu)造的知識(shí)，和第三題做比較，是構(gòu)造函數(shù)和不同知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)合運(yùn)用。

三、結(jié)語(yǔ)

總之，運(yùn)用排列組合思維方式有助于學(xué)生理順題目中涉及的知識(shí)，形成一個(gè)知識(shí)框架，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)奧妙的興趣。因此，教師應(yīng)重視排列組合思維方式的滲透，提高學(xué)生有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊梅.數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn)探研[J].成才之路，2018（08）.

[2]章幸辛.數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中數(shù)學(xué)思維的認(rèn)識(shí)及培養(yǎng)[D].江西師范大學(xué)，2003.