關(guān)于高中數(shù)學(xué)數(shù)列解題技巧與方法的探究

朱鑫磊

【摘要】數(shù)列是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須掌握的一項(xiàng)重要內(nèi)容，同時(shí)，數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程式之間也存在密切的關(guān)系，因此，數(shù)列在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著重要地位。但是由于數(shù)列題型的多變性使得數(shù)列問題成為困擾許多學(xué)生的攔路虎。為此，學(xué)生需要掌握與數(shù)列相關(guān)的解題方法與解題技巧，方便他們能夠快速、準(zhǔn)確的解決數(shù)列問題。本文首先闡述數(shù)列在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位，其次對(duì)高中數(shù)列學(xué)習(xí)的解題方法與解題技巧進(jìn)行介紹，并用例題的形式加以形象的說明。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) ?數(shù)列 ?解題技巧與方法

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）35-0100-02

一、數(shù)列在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位

數(shù)列式高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的教學(xué)章節(jié)，在高中數(shù)學(xué)教材的編寫中將數(shù)列單獨(dú)拿出來作為一個(gè)獨(dú)立的章節(jié)進(jìn)行教學(xué)，此外，數(shù)列還與高中數(shù)學(xué)中其他的內(nèi)容存在著密切的聯(lián)系，如函數(shù)、不等式等，并且在高考中數(shù)列也常與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)合組成一道大題出現(xiàn)在試卷中，這充分證明了數(shù)列在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也要注重對(duì)于數(shù)列知識(shí)的把握，掌握數(shù)列解題方法與解題技巧，提高數(shù)列解題的質(zhì)量與效率，有效提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成績(jī)。

二、高中數(shù)列學(xué)習(xí)的解題方法與解題技巧研究

（一）利用數(shù)列基本概念求解數(shù)列

對(duì)于數(shù)列基本概念的掌握是學(xué)生學(xué)好數(shù)列知識(shí)的基礎(chǔ)，由于在初中階段學(xué)生并未接觸過數(shù)列知識(shí)，因此，在初學(xué)數(shù)列知識(shí)時(shí)許多學(xué)生會(huì)覺得數(shù)列的學(xué)習(xí)很困難，然而對(duì)于一些數(shù)列的入門問題的解答可以通過套用相關(guān)的數(shù)列公式以及概念知識(shí)點(diǎn)來加以作答。但隨著數(shù)列學(xué)習(xí)的深入，數(shù)列問題的難度逐漸加大，這就要求學(xué)生要主動(dòng)學(xué)習(xí)和掌握相關(guān)的數(shù)列解題技巧以及解題方法。同時(shí)，在數(shù)列的學(xué)習(xí)中不能忽視這些簡(jiǎn)單問題的作答，因?yàn)槔щy的題目往往是由簡(jiǎn)單的題目變形而來，掌握好、解決好這類簡(jiǎn)單的題目對(duì)于學(xué)生今后的數(shù)列學(xué)習(xí)也是大有裨益。

例1：等差數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和Sn（n是正整數(shù)），若已知a4=4，S10=55，則求S4。

求解：在對(duì)該題進(jìn)行解答時(shí)要注重靈活套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將題目中已有的變量代入公式求解。首先，要先將首項(xiàng)即a1以及公差d求出，再將已有的變量套入公式，最后求出an或Sn，即：將已知變量帶入該式：

an=a1+（n-1）d，Sn={n（a1+a2）}/2

可以得出問題的答案：

a1=1，d=1，最后得出S4=10，通過這種基本簡(jiǎn)單的數(shù)列題型我們可以看出，在數(shù)列的解題中對(duì)于概念掌握以及運(yùn)用對(duì)于學(xué)生有效解題至關(guān)重要。

（二）利用數(shù)學(xué)性質(zhì)求解數(shù)列

在數(shù)列學(xué)習(xí)中學(xué)生對(duì)于數(shù)列性質(zhì)的掌握能夠幫助他們準(zhǔn)確、有效的解決數(shù)列問題，這就要求學(xué)生在進(jìn)行數(shù)列學(xué)習(xí)時(shí)深入了解其特性，并將其性質(zhì)應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題過程中去。

例2：等比數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，a2a5=32，求解a1a6+a3a4。

求解：在本題中我們可以根據(jù)有關(guān)等比數(shù)列的一個(gè)重要的性質(zhì)，即：m+n=p+q.如果成立，則aman=apaq，由此，我們可以等比數(shù)列這種性質(zhì)很直觀的得到數(shù)列問題的答案：a1a6+a3a4=64.因此，我們可以看到，在這類數(shù)學(xué)問題的解決中，只有在具備一定的數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)上才能對(duì)問題的答案進(jìn)行求解。

（三）數(shù)列中關(guān)于通項(xiàng)公式的解題技巧

在數(shù)學(xué)的數(shù)列學(xué)習(xí)中我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列問題常常呈現(xiàn)出一種多樣化的表現(xiàn)形式，這就使得許多學(xué)生在求解數(shù)列時(shí)無從下手，為此，學(xué)生急需掌握一定的數(shù)列求解技巧幫助其有效的解決數(shù)列難題。這些技巧包括直接利用等比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解問題;其次，可以通過一定的疊成變換換算成新的等比等差公式再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算;再次，就是將歸納法求出的數(shù)學(xué)公式再次帶入求解的通項(xiàng)公式求解;最后，是通過證明的方法來解答相關(guān)的數(shù)列問題，即構(gòu)造相關(guān)的通項(xiàng)公式，通過證明其符合題目條件來解答數(shù)列問題。

（四）數(shù)列中關(guān)于前n項(xiàng)和的解題技巧

1.錯(cuò)位相減

在等比數(shù)列的求和中錯(cuò)位相減法是最常用到的一種方法。

例3：數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，a1=1，an+1=2Sn，要求求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an以及前n項(xiàng)和Sn。

求解：在該題目的求解中我們可以令n=2，3，4…，可以求得a2=2，a3=6，a4=18，a5=54…通過這個(gè)式子我們可以看出數(shù)列{an}在n>1時(shí)an=2×3n-2，n=1時(shí)，an=1，則Sn=1+2×30+2×31+…+2×3n-3，3Tn=3+2×31+2×32+…+（n-2）2×3n-1+（n-1）2×3n-2 +2×3n-1.由此，可以得出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=■=3n-1（n>1）;當(dāng)n=1時(shí)，前n項(xiàng)和為1.在題目中并未指出{an}是等比數(shù)列，因此，等比數(shù)列的求和公式就不能在此數(shù)列求解時(shí)加以應(yīng)用，但是，我們可以在公式中發(fā)現(xiàn)n>1時(shí)，{an}是等比數(shù)列，而且可以看出公比為3，這也就是在錯(cuò)位相減中我們?nèi)?Sn的原因，同時(shí)，這也是這道題目解題的關(guān)鍵點(diǎn)所在。

2.分組求和

在數(shù)列求解時(shí)，我們會(huì)經(jīng)常遇到一道數(shù)列題目既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，在遇到這類題目時(shí)，如果只是單純運(yùn)用通項(xiàng)公式根本無法求解，因此就要對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱?，換算成我們熟悉的等差等比數(shù)列在進(jìn)行求解。

3.合并求和

合并求和與分組求和相同的一點(diǎn)就是所要求解的數(shù)列題目既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但在進(jìn)行一定的變換，即拆分、合并后就能夠找到數(shù)列題目?jī)?nèi)含的規(guī)律。但在此類題目的拆分、組合中對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求較高，如果不具備一定的數(shù)列基本知識(shí)概念以及一定的拆分技巧就不能保證求解出數(shù)列問題的最終答案。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉劍鵬.高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的解題技巧探析[J].數(shù)理化解題研究，2016.

[2]韓潔.淺析高中數(shù)學(xué)數(shù)列式解題方法和訓(xùn)練技巧[J].時(shí)代教育，2016.

[3]陸曉芳.高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的解題策略探討[J].數(shù)理化解題研究，2014.