高中數(shù)列的幾種解題思路分析

黃也珂

摘要：數(shù)列在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中占據(jù)著極其重要的地位，它是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，許多同學(xué)在做題時都感覺無規(guī)律可循而無從下手。其實(shí)，數(shù)學(xué)每個版塊的題目經(jīng)仔細(xì)推敲都能總結(jié)出其相應(yīng)的解題規(guī)律，本文就高中數(shù)列部分探討了該部分題目的解題思路，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)具有一定的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；解題；思路

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)教材中是一個獨(dú)立的版塊，且又是許多其他數(shù)學(xué)知識的交叉點(diǎn)。經(jīng)過對高考試題的分析發(fā)現(xiàn)，其中許多綜合性的題目就是數(shù)列知識與不等式、函數(shù)及方程等知識的結(jié)合，由此可見其地位的重要性。在數(shù)列學(xué)習(xí)過程中，老師們還會經(jīng)常提及大學(xué)學(xué)習(xí)的極限知識與我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的數(shù)列知識之間密切的聯(lián)系，所以學(xué)好數(shù)列知識也能為今后進(jìn)入大學(xué)后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。為此，以本人的高中數(shù)列學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了數(shù)列題目的幾種解題思路，希望能幫助同學(xué)們提升解題的速度和準(zhǔn)確性，從而取得更好的成績。

一、數(shù)列中有關(guān)基礎(chǔ)概念、性質(zhì)的題目

（1）有關(guān)基礎(chǔ)概念的題目

對于有關(guān)數(shù)列基礎(chǔ)概念的題目，此類題目相對簡單一些，沒有特殊的解題技巧，只需要我們熟悉的掌握通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式，然后將公式直接帶人題目中進(jìn)行解答即可。例如，對于等差數(shù)列的題目，我們只要清楚熟練地掌握al、an、n、d、Sn五個量之間的關(guān)系，就能靈活的解答；同樣對于等比數(shù)列的題目，弄清al、an、n、q、Sn這五個量之間的關(guān)系，它對應(yīng)的題目也能迎刃而解。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)列時，要自覺強(qiáng)化對基礎(chǔ)概念公式的掌握。

（2）有關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)的題目

分析高考試卷后發(fā)現(xiàn)，有關(guān)數(shù)列性質(zhì)的考察往往是在基礎(chǔ)題中以另外一種說法的形式出現(xiàn)。例如，在等差數(shù)列{an}中，a4+a6=25，求a3+a7。解析本題，我們已知等差數(shù)列有一個性質(zhì)為當(dāng)m+n=p+q時，am+an=ap+aq，所以求得a3+a7=a4+a6=25，這類就是對數(shù)列基礎(chǔ)性質(zhì)的考察。等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)有相同之處但也有一定的差別，可以對它們進(jìn)行類比記憶，解題時才能更靈活的應(yīng)用。

二、數(shù)列中考查通項(xiàng)公式的題目

數(shù)列中針對通項(xiàng)公式的題目是比較常見的，尤其是數(shù)列求和問題一直是高考考查的重點(diǎn)。此處介紹幾種常見且有效的方法。

（1）錯位相減法：主要用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)相乘的求和的類型的題目中，例如，在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a2=2a1+3，且3a2，a4，5a3成等差數(shù)列。①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②設(shè)hn=log3an，求數(shù)列{an bn}的前n項(xiàng)和Sn。錯位相減法是用來推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式方法的推廣，其具體方法是通過錯位將次冪相同的項(xiàng)相減，使得這些項(xiàng)的系數(shù)相等，題目中的數(shù)列就會轉(zhuǎn)化成局部的等比數(shù)列的形式，從而使得問題得到解決。

（2）分組法求和：對于一些既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列而不能直接進(jìn)行求和的題目，將題目的數(shù)列進(jìn)行拆分，拆分成幾個不同的易于計算的等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后再將拆分完以后的數(shù)列進(jìn)行逐個求和，最后把所有的結(jié)果加起來即為最終結(jié)果。

（3）合并法求和：此法的關(guān)鍵在于找出數(shù)列中的特殊項(xiàng)，然后將特殊項(xiàng)進(jìn)行合并，使一些項(xiàng)自動消減剩下簡單的形式利于問題的順利解決。

（4）裂項(xiàng)法求和：運(yùn)用裂項(xiàng)法求和一定要找到正確的裂項(xiàng)方法，通常裂項(xiàng)后中間的數(shù)據(jù)會相互消減為零或一些固定的數(shù)值，只留下首尾的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算即可。例如，若bn=1/[n（n+1）]，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和sn，則可把bn進(jìn)行裂項(xiàng)為（1/n）[1/（n+1）1再進(jìn)行求解。

（5）通項(xiàng)求和：通項(xiàng)求和一般會把題目中的每一個數(shù)值拆分成兩個數(shù)值，然后把全體拆分后的所有數(shù)值中可遵循同一規(guī)律的放在一起求和來解數(shù)列問題，此類方法會用到函數(shù)、方程等部分的知識點(diǎn)可能會有一定的難度。

三、有關(guān)經(jīng)典數(shù)列模型的題目

在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，老師還會給我們講授一些非常經(jīng)典且有著深厚文化背景的題目，例如斐波那契數(shù)列和楊輝三角，我們都可以對此類數(shù)學(xué)模型進(jìn)行總結(jié)。所以，在學(xué)習(xí)數(shù)列時，我們也可以把同一類型的數(shù)列建立一個數(shù)學(xué)模型，將相關(guān)知識點(diǎn)聯(lián)系起來，這樣有利于我們學(xué)習(xí)時進(jìn)行舉一反三，遇到不會的或者比較困難的題目時能夠在最短的時間內(nèi)根據(jù)已掌握的數(shù)學(xué)模型想到題目的解題思路。這樣不僅能提升我們的解題效率，還能建立起我們學(xué)習(xí)的自信心。

四、結(jié)語

綜上所述，要解決數(shù)列問題就應(yīng)該在牢固掌握基本概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，多加練習(xí)，善于總結(jié)，在做題的過程中發(fā)掘他們隱藏的規(guī)律，做題時能舉一反三，將所學(xué)知識點(diǎn)聯(lián)系起來。我們都知道，發(fā)掘題目隱藏的規(guī)律絕不是一朝一夕就能完成的，這需要我們分析足量的題目，探究各式各樣的題目，真正掌握解題技巧后才能省事省力的答題。文中如有不當(dāng)之處，還望老師和同學(xué)提出寶貴意見，以期改正。