關(guān)于不等式問題的方法與技巧

宋玉連+++周景芝

【摘要】不等式是解決大學(xué)數(shù)學(xué)問題不可缺少的工具之一，但同時(shí)也是一個(gè)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。介紹了利用中值定理、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性等技巧來證明有關(guān)不等式的方法，并通過例子，具體說明各方法之間的區(qū)別。

【關(guān)鍵詞】不等式 中值定理 函數(shù)性質(zhì)

【中圖分類號(hào)】O171 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）08-0129-01

一、 利用中值定理證明不等式

1.利用Lagrange 中值定理證明不等式

在大學(xué)數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用來解決不等式有關(guān)問題的方法與技巧之一就是利用Lagrange 中值定理。通過 Lagrange 中值定理來處理和解決不等關(guān)系式的相關(guān)問題的基本步驟：

（1）分析題目，依據(jù)題目所給內(nèi)容來尋找不等式，并另設(shè)一個(gè)恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)f（x）和區(qū)間[a，b]，來幫助我們對(duì)題目所給不等式進(jìn)行變換；

（2）當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]已能夠運(yùn)用 Lagrange 中值定理的情況下，計(jì)算出Lagrange中值定理f'（？孜）= 或f（b）-f（a）=f'（？孜）（b-a）（a<？孜

（3）在滿足由（a<？孜

例1 當(dāng)x>1時(shí)， 證明：

證明：選取函數(shù)f（t）=ln t，則對(duì)于？坌x>1，函數(shù)f（t）=ln t在區(qū)間[x，x+1]上的時(shí)候符合 Lagrange 中值定理的使用條件， 所以有l(wèi)n（x+1）-ln x= [（x+1）-x]，

2.利用 Cauchy 中值定理證明不等式

當(dāng)我們需要研究兩個(gè)函數(shù)變量關(guān)系的時(shí)候，我們可以考慮通過Cauchy中值定理來進(jìn)行比較分析。Cauchy中值定理與Lagrange中值定理在一定條件下是可以互相推導(dǎo)出的，當(dāng)一個(gè)函數(shù)f（x）視為自變量本身的時(shí)候，整個(gè)公式便可以轉(zhuǎn)化為Lagrange中值定理，當(dāng)題目中的不等式能夠使用Lagrange中值定理證明的時(shí)候，我們必然能用Cauchy中值定理來證，反之亦然。

二、利用函數(shù)的各種性質(zhì)證明不等式

1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

在大學(xué)數(shù)學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到需要對(duì)函數(shù)值的大小進(jìn)行比較，我們會(huì)常常利用函數(shù)的單調(diào)性的有關(guān)知識(shí)來證明不等式的有關(guān)問題。在證明不等式的時(shí)候，實(shí)質(zhì)上便是通過對(duì)不等式兩端數(shù)值進(jìn)行比較來確定大小。

例3 已知e （b-a）。

證明：作輔助函數(shù)p（x）=ln2x- x，顯然，p'（x）= - ，p″（x）= ，

當(dāng)x>e時(shí)，p″（x）<0，故p'（x）單調(diào)減少；從而當(dāng)ep'（e2）=0。

則p（x）在區(qū)間（e，e2）內(nèi)單調(diào)增加，則有當(dāng)e

即ln2b- b>ln2a- a，故ln2b-ln2a> （b-a）。

2.利用函數(shù)的凹凸性證明不等式

如果在所要證明的結(jié)論中包括形如f（x）的項(xiàng)，那我們常常可以考慮尋找適合的函數(shù)，利用函數(shù)的凹凸性來證明不等式。

例4 已知x>0，y>0且x≠y，求證x lnx+ylny>（x+y）ln 。

證明：構(gòu)造函數(shù)F（x）=x ln x，（x>0），則有F'（x）=1+ln x，F(xiàn)″（x）= >0，因此可以知道當(dāng)x>0的時(shí)候，函數(shù)F（x）的圖像是凸的，所以通過分析函數(shù)的凹凸性可以得到，當(dāng)x>0，y>0且x≠y時(shí)，有x lnx+y lny>（x+y）ln（x+y）2恒成立。

參考文獻(xiàn)：

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