研讀探究新定義，過程解析深思考

李寧

[摘? 要] 新定義考題是中考重要的壓軸題之一，考題定義往往言簡意賅，符合相應的數(shù)學規(guī)則. 聯(lián)系教材概念，深刻理解定義，合理構(gòu)建模型，數(shù)形結(jié)合解析是該類問題突破的常用策略. 而在考題解析教學中建議把握問題關(guān)聯(lián)，挖掘隱含條件，引導學生全面認識考題，提升學生的思維水平.

[關(guān)鍵詞] 新定義;幾何;平移;距離;數(shù)形結(jié)合;模型

新定義考題是中考重要題型，問題往往圍繞教材定義進行考題構(gòu)建，題中的定義雖短短數(shù)字，但用詞要義精準、簡潔，語言描述符合數(shù)學規(guī)則. 以幾何新定義考題為例，考題綜合文字語言和數(shù)學語言，簡練描述幾何定義，理解定義內(nèi)涵、洞察幾何本質(zhì)是解析的關(guān)鍵. 教學該類問題，提升學生的閱讀理解能力，規(guī)范數(shù)學語言表達尤為重要. 下面結(jié)合2020年的北京中考幾何新定義考題開展思路突破.

題目呈現(xiàn)

題目：（2020年北京中考數(shù)學卷第28題）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外的兩點，AB=1. 給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′B′分別為點A，B的對應點），線段AA′長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”.

（1）如圖1，平移線段AB到⊙O的長度為1的弦PP和PP，則這兩條弦的位置關(guān)系是______;在點P，P，P，P中，連接點A與點______的線段的長度等于線段AB到⊙O的“平移距離”;

（2）若點A，B都在直線y=x+2上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d，求d的最小值;

（3）若點A的坐標為2，，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d，直接寫出d的取值范圍.

解析突破

本題目為幾何新定義，新定義來自數(shù)學教材的“平移概念”，對于題目新定義的“平移”二字，很容易理解，與我們所學的圖形平移是一致的，而新定義中新增加的“線段”和“弦”，指的是線段平移到圓中，成為圓內(nèi)的一條弦，即線段平移后的兩個端點恰好均位于圓上. 在理解新定義的基礎(chǔ)上即可開展問題探究.

1. 概念理解——突破第（1）問

第（1）問較為簡單，結(jié)合圓的性質(zhì)以及“平移距離”的定義即可完成，由于線段進行了平移，則由平移性質(zhì)可知弦PP和PP的位置關(guān)系為平行. 對于其中的四個點，與點A相連接，長度的最小值即為“平移距離”，顯然是點P3.

2. 數(shù)形強化——突破第（2）問

此題目設定點A和B均位于直線y=x+2上，求“平移距離”d的最小值，是對新定義的強化考查，需要深入理解新定義. 聯(lián)想圓內(nèi)模型，若圓的半徑為1，弦長也為1，則該弦的兩個端點與圓心所成的三角形就為等邊三角形. 當線段AB位于直線y=x+2上，由于平移過程不會改變線段的長度，則⊙O中弦A′B′的長度是確定的，即AB=A′B′=1，顯然圓中與直線相平行且長度為1的弦有兩種.

線段AB位于直線上，但其有無數(shù)種可能，根據(jù)“最小值”可判斷點A的位置. 點A′是平移所得弦的一個端點，由點到直線的最短距離為垂線段長度可知具體模型如圖2，圖中△A′B′O為等邊三角形，A′O=1，即點A′位于x軸上，且坐標為（-1， 0）. AA′⊥BC，此時AA′的長度最短，就是d的最小值.

根據(jù)直線AB的函數(shù)解析式可知，∠ACO=60°，直線與x軸的交點C的坐標為（-2， 0），即A′C=1，在Rt△A′B′O中使用三角函數(shù)可知，AA′=A′Csin∠ACO=.

拓展：上述解析時確定⊙O上滿足弦長為1的A′B′的位置有兩個，且為平行關(guān)系. 為后續(xù)問題探究打基礎(chǔ)，可進一步探究另一條弦A″B″.

同理可知△A″OB″為等邊三角形，如圖3，A′B′∥A″B″，則A′、O、B″三點共線，可知A″B′是⊙O的直徑，于是有△A′B′A″為直角三角形，由于A′B′=1=A″B′，則∠A′A″B′=30°，從而可求出A′A″=，則AA″=，即最大距離為.

3. 模型探索——突破第（3）問

第（3）問僅設定了點A的坐標，由于AB長為定值1，則線段AB的另一端點B的位置位于以點A2，為圓心，半徑為1的圓上. 根據(jù)新定義可知平移后弦A′B′與AB相平行，且長度為1，其位置受點B的影響，下面分兩步進行探究.

探究一：位置距離的關(guān)聯(lián)

由作圖過程可知，當點B位于⊙A上的某處時，作AB的平行線，必然有兩條與⊙O相交且弦長為1的線段，在第（2）問的拓展探究中可以驗證. “平移距離”指的是其中相距最近的線段，此時的距離AA′即為所求值，因此需要判定其中的距離.

探究二：距離的最值模型

求d的取值范圍顯然需要構(gòu)建最小距離模型和最大距離模型，然后分別從中提取最近距離的線段，因此需要分類討論.

①求d的最小值，只需確定模型中⊙O上距點A最近的點即可，如圖4所示，顯然連接OA，與⊙O的交點就是最近距離點，即為A′，以OA′為一邊作∠OA′B′=60°，與⊙O的交點就為點B′，此時最近距離就為AA′=OA-1. 求OA長可以采用兩點之間的距離公式，點A到點O的距離為AO==，所以平移距離的最小值A(chǔ)A′=OA-1=.

②求d的最大值，根據(jù)上述分析可知，將弦長為1的線段平移到⊙O上有兩種位置關(guān)系，可將其分別設為A′B′和A″B″. 分析平移后的模型可知，當線段AB位于不同位置時，兩條平移弦的端點A′和A″到點A距離的變化趨勢是不一致的，當其中一個端點位于近點時，另一點必然位于其遠點，而A′B′和A″B″之間的距離是恒定的且為. 根據(jù)圖形變化的趨勢可知，距離的最大值就是AA′=AA″時的情形，如圖5所示.

此時點A′和A″關(guān)于線段OA對稱，△AA′A″為等腰三角形，且OA′=OA″=1，延長AO與A′A″的交點設為M，則AM為A′A″的垂直平分線. 利用第（2）問后續(xù)的拓展結(jié)論可知A′M=A′A″=. 在Rt△A′OM中使用勾股定理，已知OA′=1，A′M=，則OM=，所以AM=AO+OM=3. 在Rt△AA′M中使用勾股定理，AA′===，所以平移距離的最大值A(chǔ)A′為.

綜上可知，d的取值范圍為≤d≤.

解后思考：上述考題依托幾何平移以圓為背景，融合最短距離命制新定義考題，所涉內(nèi)容豐富，可全面考查學生的數(shù)學思維. 考題的三問具有一定的難度梯度，但實則是引導學生深入理解定義，應用強化，思維拓展.

考題所涉新定義具有豐富的內(nèi)涵，三小問是對線段AB位置關(guān)系的全方位探索. 當其固定時就為第（1）問的情況，主要考查學生對定義的理解，利用幾何直觀即可做出判斷;而當線段AB位于固定直線上時，就形成了第（2）問的情形，此時平移弦的位置也就固定，主要考查學生的辨析思維和計算能力，深入挖掘其中的對應關(guān)系即可完成解答. 第（3）問則是基于線段AB的一個端點固定，把握點B的移動軌跡是關(guān)鍵，在該情形下對應的平移弦將在圓O上進行“滑動”，該問實則就是圓外一點到圓周上點的距離問題，合理構(gòu)建模型，利用模型進行“動”“靜”分析是解題的重要策略，該問主要考查學生的空間思維和模型構(gòu)建能力.

教學建議

上述深入探究了一道幾何新定義考題的突破思路和解析方法，幾何新定義題往往以教材的基本概念為基礎(chǔ)，綜合關(guān)聯(lián)知識進行命題. 理解概念，活用關(guān)聯(lián)知識，巧妙數(shù)形結(jié)合是該類問題突破的有效策略，下面提出幾點教學建議.

1. 牢實基礎(chǔ)，知識融合

中考幾何新定義題常作為壓軸題出現(xiàn)，通常以基礎(chǔ)概念為背景，融入關(guān)聯(lián)知識形成新定義. 考題的綜合性強，但解析過程實則還是活用基礎(chǔ)知識，合理綜合，逐步突破. 以上述考題為例，考題主要考查圓、平移的基本性質(zhì)以及一次函數(shù)相關(guān)知識，深入理解圓的性質(zhì)、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直角三角形的勾股定理是解題的關(guān)鍵. 考題教學中建議圍繞問題背景進行知識回顧，開展知識關(guān)聯(lián)拓展，完善知識體系，以直角三角形為例，強化勾股定理，關(guān)聯(lián)三角函數(shù)，構(gòu)建代數(shù)方程，形成“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)化思路.

2. 規(guī)范語言，閱讀強化

幾何新定義考題有兩大特點：一是語言精練，二是符合數(shù)學規(guī)則，往往能夠綜合文字語言和數(shù)學符號精準地描述新的定義. 該類問題突破的基礎(chǔ)是準確理解定義，挖掘定義特性. 以上述新定義“平移距離”為例，根據(jù)定義可知線段之間具有平移關(guān)系，而平移距離指的是平移前后對應端點的最小距離，故其中的線段具有平行且相等的特性. 因此，建議教師注重數(shù)學語言教學，提升學生的閱讀能力，尤其是教學幾何部分時，可開展語言轉(zhuǎn)化訓練，引導學生掌握數(shù)學符號，深刻理解數(shù)學內(nèi)涵.

3. 數(shù)形結(jié)合，思想提升

數(shù)形結(jié)合是幾何類新定義考題突破的常用方法策略，通過構(gòu)建直觀的模型，轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學模型，利用代數(shù)解析可有效提升解題效率. 以上述考題的第（3）問為例，求距離的取值范圍，充分把握問題條件構(gòu)建兩個極限模型，后續(xù)利用幾何性質(zhì)，通過勾股定理即可直接求出相應的距離. 解題過程充分把握數(shù)形結(jié)合的思想精髓，合理進行“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)化. 實際教學中需重視數(shù)形結(jié)合的解析方法，引導學生掌握數(shù)形結(jié)合的方法技巧，結(jié)合考題實例讓學生體驗方法的解析過程，逐步感悟思想內(nèi)涵，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).