三角函數(shù)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想

劉彧彤

摘 要：三角函數(shù)在中學(xué)課本中內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，是研究幾何現(xiàn)象和周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具，同時(shí)三角函數(shù)又是6類基本的初等函數(shù)之一。三角函數(shù)因此同時(shí)具有了幾何和代數(shù)的背景，其研究方法也具備同樣的特性，三角恒等式揭示了各三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)又是掌握三角函數(shù)的關(guān)鍵和難點(diǎn)所在。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；幾何；周期性；初等函數(shù)；三角變換

中圖分類號(hào)：g623文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）11-0077-01

三角函數(shù)是對(duì)角的度量，研究三角函數(shù)可以從三角函數(shù)的定義直接出發(fā)，但是如果洞悉了三角函數(shù)背后的幾何，代數(shù)，函數(shù)，或者不等式等背景，三角函數(shù)又蘊(yùn)含著普遍的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)美感。以下從幾個(gè)方面來(lái)觀察三角函數(shù)問(wèn)題。

一、三角函數(shù)的周期性性質(zhì)

單位圓直觀的表達(dá)了基本三角函數(shù)的周期特性，周期性是對(duì)函數(shù)變化過(guò)程的歸納法描述，有助于在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)見(jiàn)微知著，對(duì)函數(shù)做出精確的量化推導(dǎo)。

如，用sinx推導(dǎo)以下函數(shù)的周期性：

sinωx；sinx；sin2x

解決這類周期性問(wèn)題的方法，一是利用基本性質(zhì)，二是作圖。

由于ωx∽x，于是sinωx的周期是sinx的坐標(biāo)軸變換；而sinx是對(duì)sinx的值域變換，不影響其周期，影響的是值域；對(duì)于sin2x，我們可以預(yù)見(jiàn)到2π必定是其周期，問(wèn)題的關(guān)鍵是其是否有更短的周期；通過(guò)對(duì)特殊值點(diǎn)（0，π/2，π，3π/2，2π）作圖，易知，2次方函數(shù)周期是π，3次方函數(shù)周期是2π，對(duì)于n次方函數(shù)，只需運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行降冪即可判斷。

二、三角函數(shù)的幾何背景

我們從直角三角形中這種特殊情形出發(fā)，可以得到三角函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，由此推導(dǎo)到在一般三角形中，這些關(guān)系仍然適用，從作圖的觀點(diǎn)看，三角函數(shù)聯(lián)系了迪卡爾坐標(biāo)，單位圓，三角形等幾何形狀，幾何性質(zhì)是研究三角函數(shù)的基本出發(fā)點(diǎn)。

如，證明arcsinx+arcosx=π/2

可以想見(jiàn)，命題人想表達(dá)的是兩個(gè)角度之間的幾何意義，于是在單位圓內(nèi)，可以通過(guò)作圖來(lái)描述這兩個(gè)角度，通過(guò)平面幾何或者解析幾何的方法來(lái)解決。

在直角三角形中，這個(gè)關(guān)系明確表達(dá)了初直角外另外兩銳角的關(guān)系；于是α+β=π2。

三、三角函數(shù)的代數(shù)背景

正弦定理以及余弦定理揭示了三角形中邊與角的量化關(guān)系，將三角形的角度函數(shù)表達(dá)成三邊的數(shù)量，可以將三角函數(shù)完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，在代數(shù)的領(lǐng)域解決證明與計(jì)算。

如，在ΔABC中，若9a2+9b2=19c2，試求cotCcotA+cotB；

在著手解決這個(gè)問(wèn)題之前，我們觀察到題設(shè)僅僅給出了邊的數(shù)量關(guān)系，而要尋求的關(guān)系是三角函數(shù)，兩者之間的聯(lián)系是正弦定理和余弦定理，轉(zhuǎn)化的方向就是表達(dá)成關(guān)于角的正余弦比例關(guān)系；于是有：

cotCcotA+cotB=cosCsinCcosAsinA+cosBsinB=sinAsinBsin2CcosC

=abc2a2+b2-c22ab

上式隱含的是三邊的比例關(guān)系，帶入題設(shè)條件可求得5/9。

四、三角函數(shù)的函數(shù)背景

三角函數(shù)中的萬(wàn)能函數(shù)，以及正余弦等函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，可以將因變量的數(shù)量減少，通過(guò)代換，三角函數(shù)也可以是純粹的條件限制下的函數(shù)問(wèn)題，適用函數(shù)的各種分析方法。

如，f（x）=sin4x-sinxcosx+cos4x的值域

觀察這個(gè)問(wèn)題后，首先要把冪降下來(lái)，然后尋求將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為單個(gè)變量：f（x）=1-12sin2x-12sin22x

從上式的形式來(lái)看，關(guān)鍵問(wèn)題已經(jīng)解決了，只要把sin2x當(dāng)作自變量，該函數(shù)可以在一元二次函數(shù)的范疇解決。

五、三角函數(shù)的不等式背景

基本的三角函數(shù)大部分屬于有界函數(shù)，其取值在某閉合區(qū)間內(nèi)，通過(guò)放縮等不等式技巧，可以對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行值域估計(jì)，不等式證明等。

如，證明：

六、三角函數(shù)綜合問(wèn)題

找出所有滿足14≤sinπn≤13的正整數(shù)解；此題的背景是sinx在某≤π2區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；引入函數(shù)sinx，則x∈（0，π6）時(shí)，函數(shù)通過(guò)放縮，有如下關(guān)系：3πx

于是我們觀察左右界有：sinπ13<π13<14；sinπ9>3ππ9>13；

于是我們知道，10，11，12是滿足不等式關(guān)系的正整數(shù)。

（作者單位：郫縣一中）

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