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[摘? 要] 數(shù)列最值問題是高考的常見問題類型之一，考慮到數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，可以參考函數(shù)問題的解法來求解. 文章將對數(shù)列最值問題的背景加以剖析，結(jié)合實(shí)例探究單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法、不等式法和導(dǎo)數(shù)法的解題技巧，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列;最值;單調(diào)性;數(shù)形結(jié)合;導(dǎo)數(shù);不等式

問題背景

數(shù)列是一種定義在正整數(shù)集上的特殊函數(shù)，以數(shù)列為基礎(chǔ)的最值問題是高中數(shù)學(xué)常見的問題類型，該類問題考點(diǎn)涉及數(shù)列性質(zhì)、前n項(xiàng)和求法、最值內(nèi)容、不等式、函數(shù)等. 從數(shù)列的函數(shù)屬性來看，求解函數(shù)最值的方法同樣適用于數(shù)列最值問題，故可利用單調(diào)性分析、數(shù)形結(jié)合、基本不等式、導(dǎo)數(shù)法等方法來加以求解. 對于數(shù)列最值問題的求解，可以歸納為“讀題、建模、選法、求解、還原”十字，即第一步是理解問題中的條件和結(jié)論;第二步是用數(shù)學(xué)符號表述問題;建立相應(yīng)的模型;第三步則是基于問題模型選定合適的解法;第四步對問題進(jìn)行簡化破解;第五步則是基于問題解來還原問題答案.

方法探究

求解數(shù)列最值的方法有很多，針對問題的特點(diǎn)需要選用合適的方法，下面結(jié)合實(shí)例探索不同方法的使用策略.

1. 單調(diào)性法

單調(diào)性法是數(shù)列問題的常用方法，包括數(shù)列的單調(diào)性和函數(shù)的單調(diào)性，基于內(nèi)容性質(zhì)求解時需要從不同的方向分析思考，尤其是利用函數(shù)單調(diào)性分析時需要結(jié)合數(shù)列結(jié)構(gòu)來構(gòu)建函數(shù)，然后進(jìn)行性質(zhì)分析，確定其最值.

例1：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=■（n∈N+），試求數(shù)列中最大的項(xiàng).

分析：題干給出了數(shù)列的通項(xiàng)公式，求最大的項(xiàng)可從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手，分析其形式構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù). 通項(xiàng)公式的分子和分母中均含有變量n，可以對其適度變形，可得an=■，顯然當(dāng)分母n+■取得最小值時，an可取得最大值.由分母形式可構(gòu)建函數(shù)y=x+■（x>0），后續(xù)利用函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

解：變形可得a■=■，聯(lián)想函數(shù)y=x+■（x>0），可知函數(shù)在（0，■）上單調(diào)遞減，在（■，+∞）上單調(diào)遞增，顯然當(dāng)且僅當(dāng)x=■時函數(shù)可取得最小值，結(jié)合n∈N+可知要確保n+■取得最小值，需使得n=[■]，計算可知當(dāng)n=12或13時，an最大，因此數(shù)列中最大的項(xiàng)為a12和a13.

評析：上述求解數(shù)列中最大的項(xiàng)時采用了函數(shù)單調(diào)性法，但在求解時有兩點(diǎn)需要注意：一是構(gòu)造函數(shù)時需要緊密結(jié)合通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu);二是充分考慮數(shù)列正整數(shù)集合的特性，利用函數(shù)單調(diào)性只可以確定最值數(shù)列項(xiàng)的貼近情形，還需進(jìn)一步比對分析.

2. 數(shù)形結(jié)合法

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，函數(shù)具有“數(shù)”與“形”的雙重特性，因此部分?jǐn)?shù)列具有一定的幾何意義，可以采用數(shù)形結(jié)合的方法來分析突破.求解時需要分兩步進(jìn)行：第一步推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式;第二步根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)對其圖像進(jìn)行研究.

例2：在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3與a5的等比中項(xiàng)為2.

（1）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)bn=log2an，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和，試求當(dāng)■+■+…+■取得最大值時n的值.

分析：（1）根據(jù)題干的等量關(guān)系，以及公比的取值范圍可以確定首項(xiàng)和公比的值;（2）數(shù)式中涉及數(shù)列的前n項(xiàng)之和，具有無窮性，需借助數(shù)列通項(xiàng)公式來分析數(shù)式的通性，需要關(guān)注數(shù)列中的“零”項(xiàng)，利用圖像特性來分析最值情形.

解：（1）分析可知a1=16，q=■，則{an}的通項(xiàng)公式為an=25-n.

（2）bn=log2an=5-n，b1=bn+1-bn=-1，即{bn}是以b1=4為首項(xiàng)、以-1為公差的等差數(shù)列，則其前n項(xiàng)之和Sn=■，則■=■，可將其視為關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，散點(diǎn)圖如圖1所示. 由圖像可知當(dāng)n≤8時，■>0;當(dāng)n=9時，■=0，;當(dāng)n>9時，■<0，所以當(dāng)n=8或9時，■+■+…+■取得最大值.

評析：等差數(shù)列可以視為關(guān)于n的一次函數(shù)，因此根據(jù)通項(xiàng)公式繪制相應(yīng)的函數(shù)圖像，直觀呈現(xiàn)數(shù)列項(xiàng)的數(shù)值變化，從而分類提取其中的正數(shù)和負(fù)數(shù)，確定與數(shù)列項(xiàng)相關(guān)的數(shù)式最值. 另外需要關(guān)注數(shù)列中的“零”項(xiàng)，該特殊項(xiàng)是問題多解的因素之一.

3. 不等式法

求解數(shù)列最值問題同樣可以采用不等式法，利用不等式的性質(zhì)分析，也可以利用不等式的放縮技巧. 不等式的性質(zhì)較為眾多，包括對稱性、傳遞性和運(yùn)算規(guī)律等，需靈活運(yùn)用.

例3：已知函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x2+（a+8）x+a2+a-12，且有f（a2-4）=f（2a-8），設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn（n∈N+），如果Sn=f（n），試求■的最小值.

分析：■中的參數(shù)涉及等差數(shù)列{an}的要素，因此需要結(jié)合數(shù)列來對其加以分析，從而構(gòu)建關(guān)于n的數(shù)式，最值分析可以直接借助基本不等式的性質(zhì).

解：函數(shù)f（x）=x2+（a+8）x+a2+a-12的對稱軸為x=-■，由f（a2-4）=f（2a-8）可得a2-4=2a-8，或a2-4+2a-8=2·-■，則a=1或者a=-4，需要對其分類討論：

當(dāng)a=1時，f（x）=x2+9x-10，Sn=f（n）=n2+9n-10，a1=S1=0，a2=S2-S1=12，a3=S3-S2=14，a2-a1≠a3-a2，所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，與題意不符，a=1舍去.

當(dāng)a=-4時，f（x）=x2+4x，Sn= f（n）=n2+4n. 當(dāng)n=1時，a1=S1=5;當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n+3，a1=5也滿足，所以an=2n+3.

■=■=■×（n+1）+■+2≥■×2■+2=■+1，當(dāng)且僅當(dāng)n+1=■，即n=■-1時等號成立. 由于n始終為正整數(shù)，因此當(dāng)n=3時原式可以取得最小值，且最小值為■.

評析：上述在求解數(shù)列前n項(xiàng)之和的最值時合理使用了均值不等式，均值不等式在代數(shù)類相關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用，實(shí)際應(yīng)用時可以靈活使用其簡單結(jié)論：■≤■≤■≤■ （a，b∈R+）.

4. 導(dǎo)數(shù)法

考慮到數(shù)列的函數(shù)特性，因此也可以采用導(dǎo)數(shù)法來求解數(shù)列最值問題. 求解時需要采用類比、聯(lián)想構(gòu)建的方式來建立中間函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)分析數(shù)列，從而求得最值.

例4：已知{an}為等差數(shù)列，Sn表示數(shù)列的前n項(xiàng)之和，若S10=0，S15=25，試求nSn的最小值.

分析：根據(jù)已知條件可以求得等差數(shù)列前n項(xiàng)之和為Sn=■n2-■n，所以nSn=■（n3-10n2），可據(jù)此構(gòu)造函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)法來分析f（n）的性質(zhì)，從而確定其最小值.

解：根據(jù)題意易得Sn=■n2-■n，則nSn=■（n3-10n2）= f（n）. 設(shè)f（x）=■（x3-10x2），x≥1. 其導(dǎo)函數(shù)f ′（x）=■（3x2-20x）=■x（3x-20）. 令f ′（x）=0，則x=■. 分析可知當(dāng)1■時，f ′（x）>0，f（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.由于n∈N+，則f（n）min=min{f（6），f（7）}，f（6）> f（7），則f（n）min= f（7）=-49，所以nSn的最小值為-49.

評析：上述在求解數(shù)列最值問題時采用了導(dǎo)數(shù)法，分兩步進(jìn)行：第一步基于數(shù)列通式構(gòu)建與其相關(guān)的函數(shù);第二步利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來把握數(shù)列的變化趨勢，確定最值情形. 函數(shù)構(gòu)造的方法有很多，數(shù)列問題中主要采用特征法，即根據(jù)數(shù)列的特征結(jié)構(gòu)來聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).

教學(xué)思考

上述基于數(shù)列的本質(zhì)屬性呈現(xiàn)了最值問題的四種常用解法，并結(jié)合實(shí)例探究了問題的突破思路，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出幾點(diǎn)建議.

1. 強(qiáng)化基礎(chǔ)知識，注重知識關(guān)聯(lián)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，需要總結(jié)常見數(shù)列的定義、性質(zhì)以及前n項(xiàng)和的常用方法等，這些知識是求解數(shù)列最值問題的基礎(chǔ). 教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生對知識點(diǎn)進(jìn)行整合，采用對比歸納的方式來構(gòu)建數(shù)列內(nèi)容的知識網(wǎng)絡(luò). 同時數(shù)列與函數(shù)、不等式等內(nèi)容聯(lián)系緊密，因此教學(xué)中還應(yīng)注重數(shù)列的知識關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生理清知識脈絡(luò)，構(gòu)建完整的知識體系.知識關(guān)聯(lián)的方式有很多，可以結(jié)合綜合性較強(qiáng)的問題，以一題為引入，引導(dǎo)學(xué)生提取題干信息的知識考點(diǎn);也可以直接聯(lián)系數(shù)列章節(jié)的前后知識，整合知識框圖.

2. 關(guān)注問題屬性，總結(jié)解題方法

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此具有函數(shù)的性質(zhì)，同時也可以利用函數(shù)的研究方法和解題技巧來突破考題，因此在實(shí)際學(xué)習(xí)時需要從數(shù)列的本質(zhì)屬性出發(fā)，理解數(shù)列的相關(guān)定義，聯(lián)系函數(shù)內(nèi)容來總結(jié)解題方法. 本文所呈現(xiàn)的是數(shù)列最值問題的常用四種方法，其中單調(diào)性可用于研究數(shù)列的整體變化趨勢，數(shù)形結(jié)合是建立在數(shù)列的幾何意義之上的，不等式是從“數(shù)”的角度進(jìn)行探究，導(dǎo)數(shù)法則是基于數(shù)列與函數(shù)的關(guān)聯(lián)特性. 教學(xué)中需要教師從數(shù)列內(nèi)容的本質(zhì)屬性入手，開展數(shù)列最值問題的解法歸納，總結(jié)特征問題的對應(yīng)解法，形成系統(tǒng)的解題思路.

3. 重視思想方法，提升解題思維

開展解題方法教學(xué)是提升學(xué)生能力的重要方式，教學(xué)中不僅需要重視解題方法的講解，還需要挖掘解法背后的思想. 例如上述問題的突破中涉及了數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、方程思想、構(gòu)造思想等，正是基于核心思想才完成了解法思路的構(gòu)建. 因此開展數(shù)列最值問題的解法探究，需要融合數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵. 由于數(shù)學(xué)思想理解起來存在一定的困難，故可以結(jié)合教材內(nèi)容、例題講解，使學(xué)生初步掌握利用數(shù)學(xué)思想分析問題的步驟，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行考題拓展，逐步提升學(xué)生思維的靈活性.