周云霞

[摘? 要] “解三角形”是學(xué)生需要重點(diǎn)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，以其為基礎(chǔ)命制的考題涉及三角形的眾多性質(zhì)特征，以及相關(guān)的幾何定理，其中正弦定理和余弦定理是解題突破的重要工具，在解三角形的考點(diǎn)問題中有著廣泛應(yīng)用. 文章對(duì)解三角形問題進(jìn)行剖析，結(jié)合實(shí)例探究考點(diǎn)問題的解析策略，并開展教學(xué)思考，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 解三角形;余弦定理;正弦定理;面積形狀

問題綜述

解三角形是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，以其為背景命制的考題涵蓋了三角形的邊、角、面積、三角函數(shù)、正弦定理、余弦定理等諸多知識(shí)，是綜合性較強(qiáng)的問題. 解析時(shí)需要靈活運(yùn)用正弦、余弦定理及其變形公式來轉(zhuǎn)化求解. 教學(xué)該部分內(nèi)容時(shí)對(duì)學(xué)生提出以下三點(diǎn)要求：一是強(qiáng)化知識(shí)聯(lián)系，靈活運(yùn)用關(guān)聯(lián)知識(shí)處理綜合問題;二是重視數(shù)學(xué)思想，關(guān)注幾何背景下數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想的運(yùn)用;三是提升建模能力，能夠結(jié)合實(shí)際問題來抽象幾何模型.

考點(diǎn)探究

解三角形是高考的必考知識(shí)，相對(duì)而言問題難度不大，類型較為多樣，但其中存在一些較為常見的考點(diǎn)，對(duì)該部分內(nèi)容進(jìn)行探究時(shí)需對(duì)其考點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，提煉解法，形成相應(yīng)的解題思路，下面結(jié)合實(shí)例對(duì)其考點(diǎn)進(jìn)行探究.

考點(diǎn)一：直接利用正弦、余弦定理解三角形

正弦、余弦定理是解三角形問題的重要定理，常作為解題工具出現(xiàn).實(shí)際運(yùn)用時(shí)需要關(guān)注定理本身和相應(yīng)的變形公式，加以靈活運(yùn)用來轉(zhuǎn)化簡答.

例1：已知△ABC的內(nèi)角分別為A，B，C，且內(nèi)角所對(duì)的邊依次為a，b，c，若sinB+sinA（sinC-cosC）=0，a=2，c=■，試求C的角度.

解析：本題目給出了三角形內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系以及兩邊長，求角C的大小. 首先需要從三角函數(shù)關(guān)系中提煉出三角函數(shù)值，然后利用正弦定理來求角C的三角函數(shù)值，從而確定角C的大小.

由sinB+sinA（sinC-cosC）=0可得sin（A+C）+sinA·sinC-sinA·cosC=0，進(jìn)一步整理可得sinC（sinA+cosA）=0. 由于sinC≠0，所以sinA+cosA=0，則tanA=-1，考慮到角A的取值范圍為（0，π），則A=■π.結(jié)合正弦定理可得sinC=■=■，又知0

評(píng)析：上述求解過程中，先由三角函數(shù)關(guān)系提煉出三角函數(shù)值，從而確定三角形的一個(gè)內(nèi)角，然后基于正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，推理出角C的大小，其中涉及三角形中的邊角轉(zhuǎn)化. 實(shí)際上運(yùn)用正弦、余弦定理解三角形有兩種轉(zhuǎn)化思路：一是利用定理進(jìn)行“角化邊”，用以求解一些與數(shù)值相關(guān)的問題，如角的三角函數(shù)值、比值或邊長等;二是利用定理進(jìn)行“邊化角”，可以求解與角大小相關(guān)的問題.

考點(diǎn)二：利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀

三角形的形狀與三角形的邊和角有著直接聯(lián)系，利用上述兩點(diǎn)可以直接確定三角形的形狀，如若三邊長滿足a2+b2=c2或A=90°，則可直接確定三角形為直角三角形. 實(shí)際上解題時(shí)可以利用正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化出與角或邊相關(guān)的條件，進(jìn)而分析三角形的形狀.

例2：在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin2■=■，分析△ABC的形狀.

解析：題干給出了與角相關(guān)的三角函數(shù)，需要結(jié)合該條件來轉(zhuǎn)化出與角或邊有關(guān)的條件.

由于sin2■=■=■，所以cosB=■，根據(jù)余弦定理可知■=■，整理可得a2+b2=c2，故△ABC為直角三角形.

評(píng)析：解析時(shí)利用已知條件，結(jié)合余弦定理提煉出滿足勾股定理的三邊關(guān)系，從而確定了三角形的形狀. 利用定理來分析三角形形狀有兩種思路：一是由關(guān)系條件來求解角的大小，二是根據(jù)條件來分析三角形的三邊關(guān)系，尤其關(guān)注是否存在等邊關(guān)系或滿足勾股定理.

考點(diǎn)三：利用正弦、余弦定理求解三角形面積

利用三角形的兩邊長以及兩邊夾角的正弦值可以求解三角形的面積，而推理角的正弦值或計(jì)算邊長時(shí)可以引入正弦、余弦定理. 實(shí)際解析時(shí)首先確定所求三角形的面積模型，然后基于模型來探尋所需條件，完成面積求解.

例3：已知△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin2B=2sinAsinC，試回答下列問題.

（1）若a=b，試求cosB的值;

（2）若B=90°，a=■，試求△ABC的面積.

解析：（1）求B的余弦值，可以利用余弦定理，通過“角化邊”來求解，根據(jù)條件可得b2=2ac. 又知a=b，可解得b=2c，a=2c，由余弦定理可得cosB=■=■.

（2）B=90°，因此△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得a2+c2=b2，由（1）可知b2=2ac，因此有a2+c2=2ac，解得a=c=■，所以S△ABC=■a·c=1，即△ABC的面積為1.

評(píng)析：上述在求解三角形面積時(shí)根據(jù)條件可直接確定三角形為直角三角形，故后續(xù)只需求邊長即可. 而對(duì)于一些一般三角形的面積問題，則可以根據(jù)已知角的大小或邊長來構(gòu)建模型，利用正弦、余弦定理來提煉所需條件.

考點(diǎn)四：考查解三角形的綜合能力

教材對(duì)該部分內(nèi)容的另一教學(xué)要求是使學(xué)生掌握從實(shí)際問題中抽象幾何模型的方法，而在考查時(shí)常結(jié)合生活實(shí)際進(jìn)行，該類問題突破時(shí)需分兩步：第一步，依據(jù)實(shí)際場(chǎng)景來構(gòu)建三角形模型;第二步，結(jié)合相關(guān)定理來完成條件轉(zhuǎn)化.

例4：如圖1所示，點(diǎn)A和B位于河岸的同一側(cè)，而A和B兩點(diǎn)無法直接達(dá)到，現(xiàn)需要測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的距離，測(cè)量員首先在河對(duì)岸選定兩點(diǎn)C和D，測(cè)得CD=■km，又測(cè)得∠ADB=∠CDB =30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，試求點(diǎn)A和B之間的距離.

解析：求A和B之間的距離需要構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型，轉(zhuǎn)化為求線段AB的長，根據(jù)題意可繪制圖1，根據(jù)信息可確定∠DAC=60°，所以AC=DC=■km.而在△BCD中，已知∠DBC=45°，根據(jù)正弦定理可得BC=■·sin∠BDC=■km. 在△ABC中使用余弦定理，可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos45°=■，從而可解得AB=■（km），即A和B兩點(diǎn)之間的距離為■km.

評(píng)析：上述測(cè)量兩點(diǎn)之間的距離，獲得了相關(guān)線段長和角度的測(cè)量數(shù)據(jù)，進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)構(gòu)建了相應(yīng)的三角形模型，利用正弦、余弦定理來進(jìn)行條件推導(dǎo)，最后利用余弦定理的變形公式求得了線段長. 正弦、余弦定理是對(duì)三角形中的角大小和邊長關(guān)系的描述，是對(duì)兩者關(guān)系的解讀，在解析時(shí)要充分利用、合理轉(zhuǎn)化.

■教學(xué)思考

上述是對(duì)解三角形問題的探討與考點(diǎn)剖析，其中正弦、余弦定理是解題突破的核心工具，在解三角形相關(guān)問題中均有著重要的作用，下面基于考點(diǎn)問題提出以下幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 認(rèn)識(shí)定理內(nèi)涵，形成解題策略

正弦、余弦定理是求解三角形問題的核心知識(shí)，是實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)定理，而在教學(xué)中首先需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理的內(nèi)涵有著深刻的認(rèn)識(shí)，然后再開展定理的變形探究，使學(xué)生掌握兩個(gè)定理的多種形式，可以適當(dāng)結(jié)合變形訓(xùn)練來強(qiáng)化學(xué)生記憶，提升學(xué)生在解題應(yīng)用中的靈活性. 解三角形問題一般按照“角化邊”和“邊化角”兩種思路進(jìn)行突破，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)兩種思路的異同點(diǎn)，以及解題應(yīng)用的注意點(diǎn)，幫助學(xué)生形成求解三角形問題的方法策略.

2. 突破思維定式，注重解題聯(lián)想

學(xué)生在學(xué)習(xí)解題時(shí)容易陷入思維定式，采用照搬套用的方式來解題，這樣的解題方式有著極大的弊端，容易偏離解題方向，造成錯(cuò)解、漏解. 對(duì)于解三角形問題，如不能把握問題核心，使用定理則會(huì)遇到思維障礙，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題特點(diǎn)，采用類題剖析的方式來進(jìn)行解法剖析，同時(shí)注重學(xué)生聯(lián)想思維的發(fā)展. 例如對(duì)于涉及與三角形內(nèi)角相關(guān)的sinA、sinB或sinC時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想正弦定理進(jìn)行關(guān)系轉(zhuǎn)化，而涉及cosA、cosB或cosC時(shí)，則聯(lián)想余弦定理開展邊角轉(zhuǎn)化，聯(lián)想教學(xué)的方式有助于拓展學(xué)生的解題思維.

3. 關(guān)注數(shù)學(xué)思想，提升綜合素養(yǎng)

上述解三角形問題中涉及數(shù)形結(jié)合、邊角轉(zhuǎn)化、構(gòu)建模型等過程，實(shí)際上是對(duì)數(shù)學(xué)思想的解題應(yīng)用，即可以通過幾何圖像來充分認(rèn)識(shí)問題，利用化歸轉(zhuǎn)化思想來轉(zhuǎn)化問題條件，在實(shí)際問題中利用模型思想來構(gòu)建解題模型，因此只有掌握數(shù)學(xué)的思想方法才能從根本上提升學(xué)生的解題能力. 在教學(xué)解三角形內(nèi)容時(shí)需適度滲透數(shù)學(xué)的思想方法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生完成定理的證明，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)運(yùn)用定理開展“邊角轉(zhuǎn)化”的思想內(nèi)涵，在綜合運(yùn)用階段使學(xué)生體驗(yàn)?zāi)Ｐ蜆?gòu)建的過程，從而深刻感悟數(shù)學(xué)思想，通過發(fā)展數(shù)學(xué)思想來提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).