“直線與圓的位置關系”教學實踐與思考

摘?要：直線與圓的位置關系對于高中生解析幾何的學習具有承上啟下的作用，它是對初中平面幾何定性地分析直線與圓的位置關系的承接和延伸，具體而言就是通過直線與圓的位置關系，定量刻畫直線與圓的位置關系，進而為后續(xù)學習直線與圓錐曲線的位置關系奠定了良好的基礎。它的核心思想方法是數(shù)形結合并依托坐標法來實現(xiàn)數(shù)與形之間的轉換，重點是圍繞如何使用坐標法解決問題的“基本套路”展開，培養(yǎng)學生養(yǎng)成坐標法的思維習慣。

關鍵詞：高中數(shù)學;直線與圓;位置關系

剛進高一的新生，數(shù)學基礎相對薄弱，沒有形成一套良好的數(shù)學思維。在知識層面，學生在初中已經(jīng)定性學習過直線與圓相交、相切、相離的定義和判定。掌握了求兩直線交點的坐標、直線的方程、圓的方程以及點到直線的距離公式、兩點間距離公式等。在能力層面，學生掌握了利用方程組的方法來求直線的交點，具有用坐標法研究點與圓的位置關系的基礎。對于他們來說，解析幾何的學習才剛剛開始，對坐標法還處于了解的層次。本文在直線與圓的位置關系教學過程中遵循“以學生為主”的教學模式，教師多提問少講話。在必要的時候，可以借助信息技術工具（幾何畫板），通過圖形的動態(tài)演示為學生的數(shù)學探究提供支持。

一、 通過觀察，判斷直線與圓的位置關系

“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”。筆者在教授直線與圓的位置關系時，通過提問：“直線與圓有什么樣的位置關系？”學生們根據(jù)（圖1）往往回答“相交”或者“相切”。這時筆者再讓同學們通過觀察（圖2），學生們回答：“相離?！?/p>

利用屏幕分辨率以及視覺誤差，讓學生意識到僅僅依靠幾何直觀是無法準確判定直線與圓的位置關系。從幾何直觀的局限性出發(fā)，引出課題，讓學生主動尋找新的方法（比如坐標法）解決問題，調動了學生探究學習的興趣。

筆者反思：這里可以讓學生經(jīng)歷一個變化的過程，比如先展示一個明顯的相離位置關系，然后逐步縮小直線與圓之間的距離。這樣先肯定幾何直觀在一定條件下是可以判斷直線與圓的位置關系，然后再暴露其局限性。不能夠對幾何直觀的方法給予全盤否定。

二、 例題探究互動

已知直線l：3x+y=6和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關系。

互動環(huán)節(jié)：以4人小組為單位，針對本題目再設計1至2個問題并完成求解，如果遇到困難可以向其他小組尋求幫助。然后在學生解決例題中位置關系判定之后，進行小組討論。

例如，有的組的想法是在用方程組聯(lián)立的方法基礎上，可以繼續(xù)提出求直線與圓交點坐標的問題，還可以繼續(xù)根據(jù)交點坐標求出弦長。

有的組提出的問題想請其他小組成員幫助與解答：在解決例題中的問題時，我們采用了圓心到直線的距離這個方法，那如何繼續(xù)求交點坐標和弦長呢？

有的組提出我們雖然不方便在幾何方法的基礎上解決交點坐標的問題，但是可以利用垂徑定理求弦長。

筆者反思：課堂上并沒有解決從距離的角度求解點的坐標這個問題。事實上，從平面幾何的角度，我們是可以計算出交點到x軸，y軸的距離。讓學生學會選擇合適的方法解決問題。

三、 合作探究——方案設計

請設計一條過點（2，0）的直線和一個以（0，1）為圓心的圓，使得直線與圓相交（相離或相切）并談談你的設計思路。

老師提出問題后，留給學生10分鐘時間進行分組討論。討論過程中學生和老師一起進行小組討論并且隨時可以使用幾何畫板驗證設計方案。討論結束后，每個小組選派代表上講臺陳述方案。

筆者請同學們觀察黑板上這三組方案，還有哪些可以改進和完善的地方？

學生通過積極思考認為第二和第三組的同學在討論直線斜率的變化過程中沒有考慮k不存在的情況，應當分類討論。

筆者趁熱打鐵請同學繼續(xù)觀察這三組方案，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？學生通過觀察思考歸納如下：

（一） 圓動直線定

①定直線不過圓心（3種位置）。

②定直線過圓心（1種位置）。

（二） 圓定直線動

①定點在圓外（3種位置）。

②定點在圓上（2種位置）。

③定點在圓內（1種位置）。

少了數(shù)的嚴謹，研究只會浮于表面;少了形的直觀，研究會相對抽象晦澀難懂。通過合作探究——方案設計這種教學方式，體現(xiàn)了新課程理念，給學生鋪設一個平臺，給學生充分思考的時間。首先題目是個開放性的題目，通過探究，讓學生給出直線與圓不同位置關系下的設計方案，更進一步鞏固坐標法使用的一般步驟。其次，學生拿到問題后一般都會先畫圖再計算，從形入手解決數(shù)的問題，在探究過程中充分滲透數(shù)形結合以及分類討論的思想，另外，解析幾何中體現(xiàn)的引入?yún)⒆兞?、用運動的觀點認識和研究問題等，也可以通過這個方案設計問題來引導。

筆者反思：每個方案展示后，針對出現(xiàn)的問題討論不夠充分，新的想法展示也不夠。特別是缺少教師針對性的點評。題目本身就是個開放性的問題，那學生的討論就應該更充分，思維火花的碰撞應該更激烈。

總之，沒有過程就沒有思維。作為教師要最大限度地給予學生充分時間參與課堂提出問題，解決問題。與此同時，在問題設計、設問方式、問題的探索性以及思維的深刻性上，促進學生全面地觀察問題，深入地思考問題，為學生提供了更多的交流和合作的機會，使學生主動構建，積極參與過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識，發(fā)展學生的數(shù)學感覺，真正學會“數(shù)學思維”。從而有利于學生自主學習能力的培養(yǎng)和探索、開拓、創(chuàng)造精神的培養(yǎng)。

參考文獻：

[1]陶維林.解析幾何教學要突出坐標法思想——“直線與圓的位置關系”教學反思[J].懷化學院學報，2011（9）.

作者簡介：

姬慧娟，一級教師，遼寧省本溪市，遼寧省本溪滿族自治縣高級中學。