高中數(shù)學中常見數(shù)列求和方法探究

邢志強

摘 要： 數(shù)列是高中數(shù)學一個重要模塊，所占比例較大。尤其是數(shù)列求和方法多而雜。結合教學實踐，對常見的數(shù)列求和方法如公式法求法、倒序相加法、錯位相減法、裂項求和、分組求和進行探究，以期提高解題成功率。

關鍵詞：高中數(shù)學；公式法求法；倒序相加法；錯位相減法；裂項求和法；分組求和

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：B 文章編號：1008-3561（2016）04-0089-01

數(shù)列這部分內(nèi)容出現(xiàn)在高中數(shù)學人教版必修5第二章，課本重點介紹等差數(shù)列及等比數(shù)列，它們的前n項和分別采取倒序相加和錯位相減法。但是，在平時解題訓練中出現(xiàn)的題目，絕非簡單的等差或等比數(shù)列求和。本文結合教學實踐，對高中數(shù)學中常見數(shù)列求和方法進行探究。

一、公式法求和

能夠用公式法求和的，是課本中列舉的等差或等比數(shù)列的前n項和求法。例1：設數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an，n∈N* 。（1）求{an}的通項公式及前n項和Sn . （2）已知{bn}是等差數(shù)列， Tn為其前n項和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20. 解析：（1）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，所以an=3n-1，Sn=（3n-1）. （2） ∵b1=a2，b3=a1+a2+a3=13，∴b3-b1=10=2d，∴d=5，故數(shù)列{bn}是以3為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以T20=20×3+×5=1010. 解題感悟：利用公式求解數(shù)列的前n項和，需要先對數(shù)列的類型作出判斷，因而對等差或等比數(shù)列的定義要特別清楚。除了定義判斷外，常見的方法還有通項公式法、前n項和公式法、等差（比）中項法等。

二、倒序相加法

課本借助高斯算法引進等差數(shù)列的前n項和求法，即倒序相加法。倒序相加法適用題型的數(shù)列特點是距離首末兩項等距離的兩項之和相等。例2：設函數(shù)f（x）= 上兩點為P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若=（+），且點P的橫坐標為：（1）求點P的縱坐標。（2）若Sn=f（）+f（）+…+f（）+f（），求Sn. 解析：（略） 解題感悟：此類題目往往在知識交匯處命題，與數(shù)列、函數(shù)、不等式、向量聯(lián)系較緊密，量大面寬，學生要學會知識融會貫通。倒序相加注重一個等式（自變量的和是定值，函數(shù)值的和也是定值），利用題目條件推導此類式子是解題關鍵。

三、錯位相減法

課本推導等比數(shù)列的前n項和采用了錯位相減法，推廣以后可以用錯位相減法解決一類數(shù)列求和問題，即一個數(shù)列中的項是由一個等差數(shù)列中的對應項乘以一個等比數(shù)列的對應項構成的新數(shù)列，該數(shù)列的前n項和可采用此法。例3：人教版必修5習題2.5A組第4題（3）：求和1+2x+3x2+……+nxn-1 .解析：（略） 解題感悟：很多學生對于錯位相減法在具體操作過程中漏洞百出，不能完整作答。究其原因，主要是對錯位二字沒有正確理解。再者，含參問題一定要分類討論。同時，也發(fā)現(xiàn)部分學生在運算時能力較差。

四、裂項求和

裂項求和首先是將數(shù)列的通項拆分成結構相同的兩式之差，然后求前n項和時，利用正負相消的原理將中間若干項抵消掉，剩下有限的幾項再求和。需要注意的是，必須搞清楚消掉了哪些項，保留了哪些項。一般保留的項前后具有對稱的特點，即前面剩下的項數(shù)與后面剩下的項數(shù)相等。例4：（人教版必修5習題2.3B組第4題）數(shù)列

前n項和 Sn=++++…+.研究一下，能否找到求Sn的一個公式。你能對這個問題作一些推廣嗎？解析：（略） 解題感悟：裂項求和法適用的題型數(shù)列通項往往是分式結構。平時，要多留意幾個常見的裂項公式（篇幅所限，略）。

五、分組求和

數(shù)列的通項公式是由明顯差異的幾部分構成時，并且每一部分可以求和，可按分組求和的方式進行求和，此法便于操作。例5：已知an=2n-3×5-n，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解析： （略） 解題感悟：分組求和時，首先應抓住數(shù)列通項的特點，對數(shù)列的通項進行研究，找出每一部分的差異，然后每一組轉化成我們比較熟悉的等差或等比數(shù)列，它們的求和采用前面介紹過的公式法求和。

六、結束語

數(shù)列部分的題目常考常新，且與函數(shù)、不等式、向量等聯(lián)系緊密，借助它們命題是一種趨勢，而且難度較大。這就要求學生在掌握好基本功（基礎知識、基本方法、基本技能）的同時，重點提升自己的內(nèi)功（邏輯思維能力），能將數(shù)學知識進行融會貫通。在本章的學習過程中，學生要多思考，多歸納，多總結。

參考文獻：

[1]陰夏玲.對某些特殊數(shù)列求和方法的探討[J].山西師范大學學報：自然科學版，2013（S2）.

[2]杜志建.高中數(shù)學教材必修5[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2015.