問(wèn)題突破過(guò)程及解后反思的教學(xué)建議

李美蘭

［摘? 要］ 二次函數(shù)與幾何題的探究過(guò)程，建議分成三個(gè)階段，教師引導(dǎo)學(xué)生完成“過(guò)程探究—解后反思—拓展強(qiáng)化”，通過(guò)解題指導(dǎo)，讓學(xué)生掌握類型題的分析思路、解題方法. 研究者從問(wèn)題綜述，設(shè)計(jì)階段性教學(xué)環(huán)節(jié)；示例探究，實(shí)施解題過(guò)程；解后反思，挖掘題型特征；拓展探究，深化解題體驗(yàn)等方面進(jìn)行闡述，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 二次函數(shù)；幾何；三角函數(shù)；面積；數(shù)形結(jié)合

問(wèn)題綜述

二次函數(shù)與幾何綜合在中考中十分常見(jiàn)，問(wèn)題涉及眾多的知識(shí)考點(diǎn)，如二次函數(shù)的性質(zhì)，幾何性質(zhì)、面積模型、三角函數(shù)等. 該類問(wèn)題常作為壓軸題綜合考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和處理問(wèn)題的能力.

解題教學(xué)中，建議分三個(gè)階段實(shí)施，引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題、總結(jié)方法、拓展變式，體驗(yàn)解題過(guò)程，培養(yǎng)解題思維.

階段一：解題過(guò)程探究，分步引導(dǎo)突破. 該階段精選典型問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，體驗(yàn)思路構(gòu)建，初步感知問(wèn)題.

階段二：解后反思問(wèn)題，總結(jié)類型題解法. 該階段需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題特征、解法深入反思，總結(jié)解題思路，形成相應(yīng)的解題策略.

階段三：進(jìn)行拓展引導(dǎo)，提升思維品質(zhì). 該階段引導(dǎo)學(xué)生拓展探究，進(jìn)一步結(jié)合相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

示例探究

1. 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題：已知拋物線y=x2-2x+m的頂點(diǎn)A位于x軸上，與y軸交于點(diǎn)B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線CD∥AB交拋物線于C，D兩點(diǎn)，若=，求△COD的面積；

（3）如圖2，已知（2）中C點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)P是第二象限拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得tan∠PCO=2，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2. 分步突破

本題目為二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題，涉及了拋物線、直線、三角形等幾何要素，融合了二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí). 題設(shè)三問(wèn)，各自獨(dú)立又存在一定的聯(lián)系，解析時(shí)建議采用分步突破的策略，結(jié)合題設(shè)條件逐步深入.

第一步：交點(diǎn)分析，聯(lián)立求解

第（1）問(wèn)求解拋物線的解析式，根據(jù)條件可知拋物線的頂點(diǎn)位于x軸上，可推知其圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，即Δ=0，可得b2-4ac=（-2）2-4×1×m=0，解得m=1，所以拋物線的解析式為y=x2-2x+1.

第二步：比值條件轉(zhuǎn)化，面積模型構(gòu)建

第（2）問(wèn)為設(shè)定平行線，以及線段比值條件，求解三角形的面積，需要轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)建面積模型，具體如下.

去除其中的拋物線，提取關(guān)鍵線段，如圖3所示. 根據(jù)題意可知OA=OB=1，可推知△AOB是等腰直角三角形. 以CD為斜邊作等腰直角三角形DEC，由于CD=3AB=3，則DE=CE=3.

設(shè)C（t，t2-2t+1），則D（t-3，t2-2t+4），由于點(diǎn)D在拋物線上，則（t-3）2-2（t-3）+1=t2-2t+4，可解得t=2. 當(dāng)t=2時(shí)，y=22-2×2+1=1，可求得點(diǎn)C（2，1），D（-1，4）.

延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)G，作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖3中的虛線. 采用面積割補(bǔ)拼接法求△COD的面積，可將其表示為S=S-S-S，分步求其面積，則S=S-S-S=×（1+4）×3-×2×1-×1×4=，所以△COD的面積為.

第三步：假設(shè)驗(yàn)證存在，相似構(gòu)建推導(dǎo)

第（3）問(wèn)是關(guān)于點(diǎn)的存在性問(wèn)題，涉及了三角函數(shù)知識(shí)，可采用“假設(shè)—驗(yàn)證”的思路，提取其中的特殊模型，轉(zhuǎn)化求解，具體如下.

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，去除非相關(guān)圖象，作直角三角形COE，使∠COE=90°，作CG⊥x軸于點(diǎn)G，作EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖4所示.

點(diǎn)C（2，1），則OG=2，CG=1，所以tan∠OCG=2，可得∠OCG=∠EOF，從而可證△COG∽△OEF，由相似性質(zhì)可知===2，由于OC=，可推得OE=2，OF=2，EF=4，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，4），利用待定系數(shù)法可求得CE的解析式為y=-x+. 聯(lián)立直線與拋物線解析式求交點(diǎn)，即x2-2x+1=-x+，可得x=2（舍去），x=-. 當(dāng)x=-時(shí)，y=-2-2×

-+1=，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為-

，

.

解后反思

上述對(duì)一道二次函數(shù)與幾何綜合題開(kāi)展過(guò)程探究，挖掘問(wèn)題特征，結(jié)合核心條件開(kāi)展分步突破. 其中后兩問(wèn)為核心之問(wèn)，屬于典型問(wèn)題，其解法思路具有一定的探究?jī)r(jià)值，下面從兩方面開(kāi)展解題反思：一是對(duì)問(wèn)題特征進(jìn)行挖掘；二是從解法角度進(jìn)行思考總結(jié).

1. 挖掘問(wèn)題的特征

上述問(wèn)題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，圖象中融合了拋物線、一次函數(shù)、幾何圖形，以函數(shù)圖象相交為背景，構(gòu)建三角形，形成了復(fù)雜的函數(shù)與幾何圖象.

第（2）問(wèn)的核心條件涉及了兩線平行和線段比值關(guān)系，是與幾何平行相關(guān)的面積問(wèn)題，最為顯著的特征為其中的平行關(guān)系.

第（3）問(wèn)則是關(guān)于點(diǎn)的存在性問(wèn)題，涉及了三角函數(shù)值，所以也是與三角函數(shù)相關(guān)的存在性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化其中的三角函數(shù)值.

2. 思考問(wèn)題的解法

核心之問(wèn)在解析突破時(shí)均需充分把握問(wèn)題特征，基于核心條件進(jìn)行思路構(gòu)建. 整體上采用了數(shù)形結(jié)合的思維方法，解析條件，解圖建模，結(jié)合圖象推理?xiàng)l件，構(gòu)建思路，下面具體分析問(wèn)題的解法特點(diǎn).

第（2）問(wèn)求解三角形面積時(shí)，采用了面積割補(bǔ)拼接法，將所求幾何面積拆解為幾個(gè)易求圖形面積的組合，再利用面積公式求解. 其中隱含了數(shù)學(xué)的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

第（3）問(wèn)探究點(diǎn)的存在性問(wèn)題，整體上采用了“假設(shè)—驗(yàn)證”的方法思路進(jìn)行思維順推. 對(duì)于其中的三角函數(shù)值條件，利用其幾何意義轉(zhuǎn)化為角度關(guān)系. 同時(shí)提取其中的相似模型，利用模型性質(zhì)進(jìn)行關(guān)鍵線段、點(diǎn)的推導(dǎo). 實(shí)際上解題時(shí)構(gòu)建了“一線三直角”相似模型，即隱含了一組相似三角形和三個(gè)直角三角形.

另外，圖象解析采用了模型拆解、提取的方式，即針對(duì)問(wèn)題條件，排除了其中無(wú)關(guān)的幾何要素，提取其中的核心條件來(lái)構(gòu)建模型，重點(diǎn)突出，特征鮮明.

拓展探究

二次函數(shù)與幾何相關(guān)的綜合題題型眾多，對(duì)于考查三角形面積、三角函數(shù)值的壓軸題，突破解析的思路是一致的，均可以采用上述的策略：數(shù)形結(jié)合解析問(wèn)題、提取構(gòu)建模型解析、等價(jià)轉(zhuǎn)化變量條件. 下面結(jié)合一道綜合題進(jìn)行進(jìn)一步探究.

例題拋物線y=x2-4x與直線y=x交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，與x軸交于另一點(diǎn)A，頂點(diǎn)為D.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖5，連接OD，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan∠PDO=時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖6，M是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m（0

思路引導(dǎo)：上述同為二次函數(shù)與幾何綜合題，同時(shí)涉及三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化與面積模型構(gòu)建，問(wèn)題解析可以結(jié)合上述的解法策略，數(shù)形結(jié)合分析，提取構(gòu)建模型，轉(zhuǎn)化條件突破.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查基礎(chǔ)知識(shí). 可令y=x2-4x=x，求出x的值即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo). 再將函數(shù)y=x2-4x化作頂點(diǎn)式，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）解析三角函數(shù)值條件求點(diǎn)坐標(biāo)，考查三角函數(shù)值的轉(zhuǎn)化方法. 同樣可構(gòu)建模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，易得tan∠DOF=，又因?yàn)閠an∠PDO=，所以∠PDO=∠DOF. 后續(xù)分兩種情況進(jìn)行討論：情形1，當(dāng)點(diǎn)P在線段OD的右側(cè)時(shí)，DP∥y軸；情形2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OD左側(cè)時(shí)，設(shè)直線DP與y軸交于點(diǎn)G，則△ODG是等腰三角形，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

（3）構(gòu)建三角形，求兩者的面積之比的最大值，考查了模型構(gòu)建與最值分析技巧. 可分別過(guò)點(diǎn)M，Q作y軸的平行線，交直線OB于點(diǎn)N，K，利用三角形的鉛錘模型表示三角形的面積，可得S=QK（x-x），S=MN（x-x）. 結(jié)合點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，可表示出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為與參數(shù)m相關(guān)的二次函數(shù)，再利用其性質(zhì)即可求最值.

評(píng)析? 上述圍繞二次函數(shù)與幾何綜合中的三角函數(shù)值、面積模型開(kāi)展拓展探究，第（2）問(wèn)同樣是將三角函數(shù)值條件轉(zhuǎn)化為等角條件；第（3）問(wèn)則是利用三角形的鉛錘模型來(lái)求解面積. 針對(duì)其中的核心條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化分析構(gòu)建，整體上采用數(shù)形結(jié)合的分析方法，提取構(gòu)建模型.

教學(xué)思考

上述對(duì)一道二次函數(shù)與幾何綜合題進(jìn)行了解題探究，開(kāi)展分步突破、解后反思、拓展探究，總結(jié)了類型題的解題思路，對(duì)于學(xué)生的備考有極大的幫助. 而在實(shí)際教學(xué)中，教師還應(yīng)注意整合問(wèn)題考點(diǎn)知識(shí)，設(shè)問(wèn)引導(dǎo)探究，下面提出幾點(diǎn)建議.

1. 挖掘問(wèn)題考點(diǎn)，整合知識(shí)定理

函數(shù)與幾何綜合題是眾多知識(shí)考點(diǎn)的融合，涉及眾多的定理、定義，是模型與方法的綜合構(gòu)建，問(wèn)題突破需要挖掘其中的知識(shí)考點(diǎn)，準(zhǔn)確定位問(wèn)題類型，并在此基礎(chǔ)上探索問(wèn)題解法. 解題教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生解析問(wèn)題條件，確定問(wèn)題類型. 可設(shè)計(jì)兩個(gè)環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)一，拆解問(wèn)題條件，逐個(gè)解讀分析，尤其是其中的核心條件；環(huán)節(jié)二，根據(jù)問(wèn)題條件確定教材的知識(shí)定理，完成問(wèn)題定位. 而在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)章節(jié)知識(shí)進(jìn)行整合，構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2. 設(shè)問(wèn)引導(dǎo)探究，構(gòu)建解題策略

解題探究過(guò)程建議教師采用設(shè)問(wèn)引導(dǎo)、分步構(gòu)建的策略，即圍繞問(wèn)題條件設(shè)置引導(dǎo)性問(wèn)題，讓學(xué)生深入思考，探索解題思路. 而在設(shè)問(wèn)引導(dǎo)時(shí)需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是注意問(wèn)題應(yīng)具有啟發(fā)性，逐步深入；二是注意問(wèn)題應(yīng)具有連續(xù)性，通過(guò)設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生掌握其中的構(gòu)建思路. 而在解題指導(dǎo)完成后，教師還需注意進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生反思解題過(guò)程，總結(jié)解題方法，如條件轉(zhuǎn)化的技巧、模型構(gòu)建的方法等.

3. 關(guān)注數(shù)形結(jié)合，掌握模型構(gòu)建

上述二次函數(shù)與幾何綜合題的探究過(guò)程中，整體上運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合、模型提煉構(gòu)建的方法，即數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題，確定解題思路，模型提煉構(gòu)造輔助分析突破. 兩種方法技巧在解析該類問(wèn)題中十分有效，教師要注意方法引導(dǎo)，讓學(xué)生掌握方法精髓以及使用思路. 具體教學(xué)中可從以下兩方面進(jìn)行：一是關(guān)于方法概念的講解，讓學(xué)生理解對(duì)應(yīng)的含義；二是關(guān)于方法使用技巧的講解，可結(jié)合具體的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)使用過(guò)程，感悟方法技巧.