注重知識的整體建構(gòu)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

［摘? 要］ 初中幾何教學(xué)時，除了要讓學(xué)生學(xué)會邏輯推理，有時也要讓學(xué)生注重幾何知識之間的整體聯(lián)系及幾何研究的基本方式方法，教師要注重幾何知識之間的整體建構(gòu)，讓學(xué)生在更深層次去了解幾何，使學(xué)生不僅能掌握數(shù)學(xué)知識，還能從更高層面去提升數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提升核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 整體建構(gòu)；邏輯推理；數(shù)學(xué)方式；一般到特殊

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)與體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解. 初中數(shù)學(xué)中的圖形與幾何部分體系成熟，脈絡(luò)清晰，特別是從三角形的研究轉(zhuǎn)到對四邊形的研究，很適合對研究思路、內(nèi)容、方法進(jìn)行類比整體化建構(gòu)，提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng).

筆者之前參加了張家港市教師發(fā)展中心組織的初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比的比賽，比賽課題是蘇科版教材八年級下冊“矩形、菱形、正方形”（第一課時），現(xiàn)將本課的教學(xué)過程及筆者對本課整體化建構(gòu)的思考予以呈現(xiàn).

教學(xué)過程

1. 數(shù)學(xué)發(fā)展，概念建構(gòu)

問題1：我們回望一下前面學(xué)習(xí)的三角形，有一般三角形與特殊三角形，請你動手畫一畫.

追問1：從一般三角形怎么得到直角三角形？

學(xué)生1：在一般三角形的基礎(chǔ)上增加一個條件，讓其中一個內(nèi)角等于90°.

追問2：從一般三角形怎么得到等腰三角形？

學(xué)生2：在一般三角形的基礎(chǔ)上增加兩條邊相等，這樣就得到了等腰三角形.

教師：讓一般三角形的邊或角具有特殊的數(shù)量關(guān)系，就會呈現(xiàn)我們要研究的特殊三角形，這是我們數(shù)學(xué)上研究幾何圖形的一般過程（如圖1）.

問題2：我們在研究了平行四邊形之后，接下來應(yīng)該研究什么圖形？

學(xué)生3：如果把平行四邊形的邊或角的數(shù)量關(guān)系特殊化，就可以得到今天我們要研究的圖形.

追問3：你能類比圖1三角形的研究過程動手畫一下平行四邊形的研究路線圖嗎？

（學(xué)生獨立完成后組內(nèi)討論，小組代表展示成果，如圖2）

教師：本課考慮對平行四邊形的角特殊化進(jìn)行研究，想一想，我們把平行四邊形的一個內(nèi)角特殊化之后，這個特殊的平行四邊形我們認(rèn)識嗎？

學(xué)生4：這是小學(xué)學(xué)過的長方形.

教師補充：在中國的傳統(tǒng)文化中有“矩為方之器”“矩不正，不可為方”的古語，其中的“矩”是古代畫直角的一種工具，到了初中我們會把小學(xué)學(xué)過的長方形換一種叫法——矩形. 這是比較專業(yè)的叫法，也是本節(jié)課要研究的幾何對象.

教學(xué)思考：獲得諾貝爾文學(xué)獎的石黑一雄說過：人不應(yīng)該那么快就忘記以前的知識，應(yīng)該時不時地看看過去，才能更好地認(rèn)識事物［1］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一樣的，本部分回望前面三角形知識的學(xué)習(xí)過程，從一般三角形到等腰三角形、直角三角形，認(rèn)識幾何對象的研究思路，通過自己畫平行四邊形的研究路線圖來感悟從一般到特殊的研究數(shù)學(xué)圖形的思想方法，進(jìn)而提升學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理性認(rèn)識. 今天所學(xué)也是類比三角形研究過程去研究特殊的平行四邊形，讓學(xué)生感受到幾何上的數(shù)學(xué)思維前后是具有共通性的，有規(guī)律可循，既有利于促進(jìn)學(xué)生的思維遷移能力提升，也有利于學(xué)生將這種經(jīng)驗形成一種慣性幫助其建構(gòu)其他的數(shù)學(xué)知識. 同時，通過教師講述“矩”的古時含義讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的魅力，增強學(xué)生對自己國家文化的認(rèn)同感，提升文化自信.

2. 課堂生長，多維思考

問題3：我們在前面學(xué)習(xí)的平行四邊形是如何研究的？

學(xué)生5：先學(xué)平行四邊形的定義、表示方法，再學(xué)平行四邊形的性質(zhì)，然后是平行四邊形的判定，最后是應(yīng)用.

教師補充：我們本節(jié)課要研究的矩形和前面學(xué)習(xí)的平行四邊形的過程是一致的，不光是矩形，很多幾何圖形的研究也是這個過程，即研究定義、表示方法、性質(zhì)、判定、應(yīng)用.

追問1：矩形的定義應(yīng)該是什么呢？

學(xué)生6：有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形.

追問2：矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，它還具有哪些特殊的性質(zhì)呢？請你用簡潔的文字語言表達(dá)一下.

活動1：請各小組討論研究矩形的性質(zhì)，并將研究結(jié)果整理好上臺交流.

（得到矩形的性質(zhì)可能如下：①矩形的對邊平行且相等；②矩形的四個角相等且都等于90度；③矩形的對角線互相平分且相等；④矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；⑤矩形被兩條對角線分割成的四個小三角形是等腰三角形，并且它們的面積相等；……）

追問3：你是如何得到矩形的性質(zhì)的？

學(xué)生7：猜想、觀察、度量.

教學(xué)思考：卜以樓說，生命的價值在于成長，教育的價值也在于促進(jìn)學(xué)生的內(nèi)生生長，所以數(shù)學(xué)教學(xué)的價值在于提供與學(xué)生內(nèi)生生長、生命成長相匹配的正能量. 問題3承平行四邊形的學(xué)習(xí)流程啟矩形的學(xué)習(xí)流程，在整體視角下對矩形的內(nèi)容進(jìn)行了展望. 活動1給學(xué)生提供了能夠協(xié)同學(xué)習(xí)的機會，讓學(xué)生在協(xié)同學(xué)習(xí)中碰撞出不同的思維火花，進(jìn)而在學(xué)生的心中種下用數(shù)學(xué)的方式去看世界的種子. 因此，在交流合作中學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考問題，進(jìn)而內(nèi)化成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 慢慢地，通過不斷的積累形成學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，實現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的任務(wù).

3. 互動生成，歸納論證

問題4：剛才得到的結(jié)論是否是真命題？怎么辦？

學(xué)生8：可以用幾何推理去驗證.

教師：猜想—驗證—歸納是數(shù)學(xué)研究中常用的一種思想方法.

活動2：請各小組從剛才直觀操作得到的結(jié)論中選擇一條進(jìn)行邏輯推理，并派一個代表上臺講述你們小組的推理論證.

追問1：這些結(jié)論都是真命題，哪些可以作為矩形的性質(zhì)？

教師補充：幾何圖形的性質(zhì)是組成圖形的基本要素（邊、角）或相關(guān)要素（對角線）之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系以及圖形的整體對稱性，矩形的性質(zhì)以矩形的對稱性和矩形的邊、角、對角線之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系為主. 像上面的第5條性質(zhì)一般不作為矩形的一條性質(zhì)，但它是真命題.

學(xué)生9：矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.

學(xué)生10：矩形的四個角都是直角，對角線相等.

教師：老師用幾何畫板對剛才所得的性質(zhì)再次進(jìn)行驗證. 驗證矩形的四個角都是直角（如圖3），驗證矩形的對角線相等（如圖4）.

追問2：你能把剛才的文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言嗎？

學(xué)生11：符號語言是“因為矩形ABCD，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°”.

學(xué)生12：符號語言是“因為矩形ABCD，所以AC=BD”.

教學(xué)思考：史寧中教授曾提出數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是“三會”，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界［2］. 活動2讓學(xué)生經(jīng)歷完探索、提煉、歸納后，對所得到的性質(zhì)進(jìn)行推理驗證，提升學(xué)生的邏輯推理能力，筆者還借助幾何畫板的演示和實物圖形的運動方法來驗證矩形的性質(zhì)，由此加深學(xué)生對矩形性質(zhì)的直觀想象. 這里學(xué)生講解的“生動”與教師用幾何畫板驗證的“師動”充分讓課堂成為師生共同成長的地方. 追問2把矩形性質(zhì)的文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言. 這一流程充分凸顯了用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)圖形性質(zhì)，用數(shù)學(xué)思維去思考圖形問題，慢慢地，學(xué)生就會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察這個世界.

4. 學(xué)生生慧，感悟提升

問題5：如圖5，矩形ABCD的對角線相交于點O，且AC=2AB，求證：△AOB是等邊三角形.

變式：如圖5，矩形ABCD的對角線相交于點O，∠AOD=120°，AB=4 cm，求矩形對角線的長.

（教師示范例題，學(xué)生獨立完成變式）

追問1：通過一個例題和一個變式你能說說運用矩形性質(zhì)時常常與什么圖形有聯(lián)系？

學(xué)生13：等腰三角形和直角三角形.

教師：這和初一學(xué)的多邊形轉(zhuǎn)化成三角形的研究是一脈相承的，矩形也常常轉(zhuǎn)化成特殊三角形來研究，初中幾何中最基本的圖形就是三角形. 就像方程中的多元方程常常轉(zhuǎn)化成一元方程一樣.

問題6：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么感悟？接下來我們將會學(xué)什么？如何學(xué)？

學(xué)生14：類比，歸納，轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法.

學(xué)生15：接下來會學(xué)到矩形的判定.

學(xué)生16：會類比平行四邊形的判定來學(xué)習(xí)矩形的判定，從邊、角、對角線來研究.

學(xué)生17：還會學(xué)菱形、正方形.

學(xué)生18：我知道會學(xué)它們的定義、性質(zhì)、判定.

教學(xué)思考：教師通過對問題5中的例題進(jìn)行講解、板書、示范傳授本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的一個環(huán)節(jié). 學(xué)習(xí)知識的最終目的是要轉(zhuǎn)化為能力，例題作為引領(lǐng)示范的重要環(huán)節(jié)，在教學(xué)過程中擔(dān)負(fù)著把知識轉(zhuǎn)化為能力的重要使命. 因此，例題的選擇要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、代表性、層次性和發(fā)展性，好的例題，不僅可以加深學(xué)生對概念、性質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生解題的通性通法，而且還可以加強對學(xué)生的思維訓(xùn)練，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 追問1讓學(xué)生感受到矩形的問題常常與等腰三角形或直角三角形有關(guān)，提煉出一般解題的思考方向. 問題6可以了解學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況，引導(dǎo)學(xué)生形成本章節(jié)的知識結(jié)構(gòu)圖，也展望了下節(jié)課要研究的內(nèi)容，使學(xué)生感受幾何教學(xué)的一貫性與整體性，從而提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的整體建構(gòu)能力.

參賽感悟

章建躍先生指出，高水平的教學(xué)設(shè)計和好的數(shù)學(xué)教學(xué)必須建立在“三個理解”的基礎(chǔ)上：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)［3］.

1. 我為什么要到那里去？

知識整體建構(gòu)的前提是要理解數(shù)學(xué)，要把握需建構(gòu)的數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，特別是對所建構(gòu)內(nèi)容蘊含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)精神要有深入的理解. 如本節(jié)課我們研究矩形，作為教師就有必要思考“為什么要研究矩形”的問題，如果連教師也不清楚為什么要研究矩形，只告訴學(xué)生這是考試要考的，或是教科書上這么安排的，那如何讓學(xué)生去理解我們所教的知識，去喜歡我們所任教的學(xué)科？因此，教師必須理解數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)知識中包含的數(shù)學(xué)思維，挖掘數(shù)學(xué)知識中的立德樹人的價值觀資源，這樣才能讓學(xué)生逐步以數(shù)學(xué)的眼光去看現(xiàn)實世界，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的思維去提出問題和解決問題，最終用數(shù)學(xué)的語言來和這個世界對話.

2. 我怎樣才能去那里？

知識整體建構(gòu)的關(guān)鍵是理解學(xué)生，作為教師就需要換位思考，站在學(xué)生的角度去想，如“小學(xué)時數(shù)學(xué)老師教的是長方形，為什么到了初中就叫矩形”，使學(xué)生正確認(rèn)識矩形的定義的由來，理解矩形的定義. 教師還要全面了解學(xué)生的思維規(guī)律. 學(xué)生現(xiàn)在已經(jīng)具備和掌握了哪些相關(guān)的知識技能和數(shù)學(xué)思想方法，要完成本節(jié)課的建構(gòu)還需要具備哪些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，這兩者之間的差異就是教師需要去思考的，思考為學(xué)生提供怎樣的臺階，多少個臺階，就可以讓學(xué)生通過自己的努力去消除這些差異，調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)展其潛能，使其達(dá)到教師預(yù)想的目標(biāo)，從而科學(xué)高效地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，實現(xiàn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

3. 我是否到了那里？

知識整體建構(gòu)的重中之重是理解教學(xué)，數(shù)學(xué)育人價值的實現(xiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，都依賴于教師的教學(xué)，比如如何選擇和使用合適的教學(xué)情境，如何安排好教學(xué)時序，如何精心設(shè)計有質(zhì)量的問題等. 很多時候教師會忽略定義、定理的生成過程，只強調(diào)它們的運用過程. 本節(jié)課如果直接用生活情境引入矩形，給出矩形定義后便進(jìn)入矩形的性質(zhì)和講解習(xí)題，就會破壞數(shù)學(xué)知識從發(fā)生到發(fā)展過程背后的數(shù)學(xué)思維，也會割裂圖形與幾何中的一般研究思路“從一般到特殊”，使學(xué)生合作探究、獨立思考的機會大大削減，慢慢地，很多學(xué)生會陷入被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)中. 數(shù)學(xué)有其學(xué)科特點，以數(shù)學(xué)的方式開展教學(xué)，能讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)矩形這個知識是源于數(shù)學(xué)知識本身的發(fā)展，或?qū)嶋H生活中確實有的情景. 本節(jié)課選擇先類比對一般三角形到特殊三角形的研究，讓學(xué)生認(rèn)識到今天學(xué)的矩形知識是源于對平行四邊形的一個內(nèi)角特殊化，是數(shù)學(xué)知識發(fā)展的必然. 再類比對平行四邊形性質(zhì)的研究，讓學(xué)生認(rèn)識到幾何圖形的學(xué)習(xí)總是從邊、角、對角線等一些基本要素入手，得到與它們有關(guān)的性質(zhì). 最后展望下節(jié)課應(yīng)該研究什么，如何研究？由此讓學(xué)生了解并掌握數(shù)學(xué)上研究幾何圖形的一般套路.

結(jié)束語

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》中明確給出了核心素養(yǎng)的概念——“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”. 在2021年全國兩會上錫山高級中學(xué)校長唐江澎講了這樣一段話：好的教育，就是應(yīng)該是培養(yǎng)終身運動者、責(zé)任擔(dān)當(dāng)者、問題解決者和優(yōu)雅生活者. 筆者作為一名一線教師，也會對現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行反思：一講到底，按部就班，題海戰(zhàn)術(shù)，擠占時間，是否還適合現(xiàn)在的時代和學(xué)生；在數(shù)學(xué)教學(xué)中能不能讓學(xué)生成為一名有責(zé)任的擔(dān)當(dāng)者，一名能用數(shù)學(xué)知識解決問題的思想者，一名具有審美能力的品鑒者. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該要從解題教學(xué)向育人教學(xué)轉(zhuǎn)變，通過數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生成為全面發(fā)展的人，為他們贏得未來，這是我們努力的方向.

參考文獻(xiàn)：

［1］潘紅玉. 生長數(shù)學(xué)：新時代數(shù)學(xué)教育的行為自覺（續(xù)）——訪本刊編委卜以樓老師［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（05）：2-5.

［2］尤文奕. 以數(shù)學(xué)的方式開展新知教學(xué)［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（11）：5-7.

［3］章建躍. 研究三角形的數(shù)學(xué)思維方式［J］. 數(shù)學(xué)通報，2019，58（04）：1-10.

作者簡介：張志華（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，市學(xué)科帶頭人，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐研究.