微專題探究：從“基礎(chǔ)模型”走向“復(fù)合構(gòu)建”

［摘? 要］ 初中教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生掌握相似三角形知識，形成幾何模型，并從知識綜合角度適度拓展，形成綜合性問題的探究策略. 研究者圍繞“8字型”三角形相似模型設(shè)計教學(xué)微專題，以供研討.

［關(guān)鍵詞］ 相似三角形；“8字型”模型；圓；函數(shù)

相似三角形是初中數(shù)學(xué)教學(xué)重點內(nèi)容，教師需要引導(dǎo)學(xué)生歸納三角形相似模型，掌握應(yīng)用方法，并結(jié)合實例指導(dǎo)學(xué)生解題. 三角形相似模型有多種，教學(xué)探究中建議圍繞一種模型深入分析，設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步深入. 下面圍繞“8字型”三角形相似模型設(shè)計教學(xué)微專題.

三角形相似模型微專題思考

圍繞“8字型”三角形相似模型設(shè)計教學(xué)微專題，教學(xué)中教師需要精設(shè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究. 需注意三點：一是注意環(huán)節(jié)設(shè)計由易到難，逐步深入；二是注意對模型的歸納解讀及應(yīng)用，探究中建議構(gòu)建“模型解讀”，逐步深入“應(yīng)用探究”；三是模型應(yīng)用注意結(jié)合考查實際，關(guān)注知識融合、圖形復(fù)合.

基于上述三角形相似模型微專題的思考，建議按照如下流程分環(huán)節(jié)設(shè)計教學(xué)微專題：

環(huán)節(jié)一：模型解讀，即呈現(xiàn)“8字型”三角形相似的全部模型；

環(huán)節(jié)二：初步應(yīng)用，即初步應(yīng)用模型的性質(zhì)結(jié)論解題；

環(huán)節(jié)三：深入探究，即開展知識綜合應(yīng)用，結(jié)合圓構(gòu)建復(fù)合圖形；

環(huán)節(jié)四：思維拓展，即融合函數(shù)，形成探索三角形相似與函數(shù)問題的解題策略.

三角形相似模型微專題設(shè)計

關(guān)于“8字型”三角形相似模型微專題環(huán)節(jié)設(shè)計，結(jié)合上述分析可設(shè)計四個環(huán)節(jié)，各個環(huán)節(jié)中圍繞教學(xué)重點設(shè)計探究內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解模型，掌握模型應(yīng)用方法. 環(huán)節(jié)設(shè)計中注意教學(xué)預(yù)設(shè)解讀、問題引導(dǎo)設(shè)計.

教學(xué)環(huán)節(jié)一：模型歸納，知識解讀

“8字型”三角形相似模型有兩種情形，教學(xué)中呈現(xiàn)如圖1和圖2所示的模型，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注模型的特點，再探索其中的特性結(jié)論. 故可分為兩步：第一步，特征分析；第二步，特性分析.

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)中設(shè)計問題讓學(xué)生關(guān)注模型的特征，分析模型結(jié)論.

問題1：上述是“8字型”三角形相似模型的兩種情形，從外表看是否像“8字”？

問題2：分析模型的兩種情形，觀察其中ED和BC的位置關(guān)系，有何不同？

問題3：兩個模型中均有∠1=∠2，是否可以證明△ABC∽△ADE？可以得出哪些結(jié)論？

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注特征，根據(jù)對應(yīng)條件來構(gòu)建模型，推導(dǎo)結(jié)論. 對于圖1，若BC∥DE，則△ABC∽△ADE，可推導(dǎo)出==，為“8字型”模型. 對于圖2，若∠1=∠2，則△ABC∽△ADE，可推導(dǎo)出==，則為“反8字型”模型.

教學(xué)建議：教學(xué)中要結(jié)合具體的模型，讓學(xué)生直觀分析，掌握模型的具體特征，并結(jié)合圖形對比觀察，深刻理解兩大模型的相異點和相同點. 結(jié)論探究時注意邏輯性，從“條件”出發(fā)探索證明“模型”，再結(jié)合“模型”推導(dǎo)“結(jié)論”.

教學(xué)環(huán)節(jié)二：初步應(yīng)用，思路分析

利用“8字型”三角形相似模型可以解決相關(guān)的幾何問題，有利于解題思路的構(gòu)建，該環(huán)節(jié)探究中首先設(shè)計一般性問題，注意解題過程的分析引導(dǎo).

問題：如圖3所示，在菱形ABCD中，EF⊥AC于點H，分別交AD于點E，CB的延長線于點F，且AE ∶ FB=1 ∶ 3. 則GB ∶ CD的值為______.

教學(xué)預(yù)設(shè)：上述為結(jié)構(gòu)簡單的一般性問題，以菱形為背景，求解線段比值. 解析引導(dǎo)時分為三步，第一步，引導(dǎo)學(xué)生理解圖形的構(gòu)建過程；第二步，引導(dǎo)學(xué)生分析條件，提取證明模型；第三步，結(jié)合模型結(jié)論進行推導(dǎo)，求解線段比值.

第一步，理解作圖過程，提取條件信息. 結(jié)合菱形特性有AB=CD，AE∥BF；菱形ABCD中，EF⊥AC，F(xiàn)，B，C三點共線.

第二步，整合條件，提取模型. 分析圖形，可推知∠EAB=∠ABF，∠AEF=∠F，從而可證明△EAG∽△FBG，即“8字型”三角形相似模型.

第三步，結(jié)合結(jié)論，推導(dǎo)求解. 由三角形相似可得==，可得=，所以=.

教學(xué)建議：模型應(yīng)用初探階段，需要注意引導(dǎo)學(xué)生整合圖形條件，從中提取模型，再結(jié)合模型結(jié)論進行推理求解. 整個過程要注意嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，讓學(xué)生理解解析過程中的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建完成思維推理鏈.

教學(xué)環(huán)節(jié)三：深入探究，整合幾何圓

將“8字型”三角形相似模型與圓相結(jié)合可以構(gòu)建復(fù)合模型，在實際考查中也較為常見，以“反8字型”模型與圓結(jié)合為例，如圖4所示，則有如下結(jié)論.

圖4中，弦AC，BD交于點E，則△ABE∽△DCE，可推知=，整理可得AE·CE=BE·DE.

問題：如圖5所示，正方形ABCD內(nèi)接于☉O，點E為AB的中點，連接CE交BD于點F，延長CE交☉O于點G，連接BG.

（1）求證：FB2=FE·FG；

（2）若AB=6，求FB和EG的長.

教學(xué)預(yù)設(shè)：上述問題將“8字型”三角形相似模型與圓相結(jié)合，構(gòu)建了復(fù)合模型，探究解析時注意結(jié)合圓的知識來探索提取模型，整個過程要注意整合條件，分析推理.

第（1）問中，把握三角形與圓的位置關(guān)系，推導(dǎo)條件：正方形ABCD內(nèi)接于☉O，所以可推得AD=BC，則有∠ABD=∠CGB.

再結(jié)合∠EFB=∠BFG，則可以證明△BFE∽△GFB，完成模型提取.

后續(xù)利用模型求解：即三角形相似則有=，即FB2=FE·FG.

第（2）問中，首先整合處理其中的條件：點E為AB中點，則AE=BE=3. 由于四邊形ABCD為正方形，則有CD=AB=AD=6，BD===6，CE==3.

再結(jié)合條件信息提取其中的特殊模型：因為CD∥BE，于是可證明△CDF∽△EBF，從而有====2.

后續(xù)整合條件信息求解：DF=2BF，CF=2EF，則有3BF=BD= 6，3EF=CE= 3，所以BF=2，EF= ，由（1）得FG===.

教學(xué)建議：在上述綜合探究分析中，建議先構(gòu)建三角形相似與圓相結(jié)合的模型，引導(dǎo)學(xué)生直觀分析，再結(jié)合實例解讀探索. 復(fù)合圖形分析中，同樣引導(dǎo)學(xué)生提取其中的相似三角形模型，結(jié)合結(jié)論推理分析.

教學(xué)環(huán)節(jié)四：思維拓展，融合函數(shù)

該環(huán)節(jié)需要對學(xué)生的思維進行拓展，形成相似三角形與函數(shù)的融合，構(gòu)建具有“幾何”與“函數(shù)”雙重屬性的復(fù)合型模型.

模型整合：如圖6所示，拋物線中存在“8字型”三角形相似模型，即圖中的陰影圖形.

問題：如圖6，P是直線BC下方拋物線上一點，連接OP交直線BC于點E，求的最大值.

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)中首先引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的復(fù)合圖形，然后在此基礎(chǔ)上思考求解線段比值的思維方法. 整體思維過程如下.

第一步，過點P作PQ∥y軸交BC于點Q，則可以提取其中的“8字型”三角形相似模型，可得=.

第二步，由于OC為定值，所以的最大值就轉(zhuǎn)化為求PQ的最大值問題.

第三步，結(jié)合條件利用坐標(biāo)法求解最值即可，解析過程中要注意數(shù)形結(jié)合.

教學(xué)建議：“8字型”三角形相似模型與函數(shù)相結(jié)合在中考中十分常見，屬于重難點問題，教學(xué)中建議按照上述過程解析模型，探索總結(jié)解題的基本思路，形成方法策略，再進行實例強化訓(xùn)練.

寫在最后

相似三角形模型的探究教學(xué)中，教師可以參考上述微專題設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生整合教材的基礎(chǔ)知識，構(gòu)建特定模型，形成系統(tǒng)解題流程. 拓展探究中，教師可將其與圓、函數(shù)相結(jié)合形成復(fù)合模型，引導(dǎo)學(xué)生體驗探究過程，強化解析思維，提升解題能力.

作者簡介：周瀟也（1996—），本科學(xué)歷，中小學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.