“以終為始，評價先行”的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革實(shí)踐研究

李俊 張祖蘭

【摘要】本文論述構(gòu)建“以終為始，評價先行”評價模式的背景，分析“以終為始，評價先行”的教學(xué)設(shè)計思路，并以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)為例具體闡述“以終為始，評價先行”的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程。

【關(guān)鍵詞】以終為始 評價先行 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）11-0049-06

課堂評價能讓教師及時掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，是教師對后續(xù)教學(xué)做出調(diào)整的依據(jù)；課堂評價能幫助學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中存在的問題，為改進(jìn)學(xué)習(xí)方法提供方向；課堂評價作為促進(jìn)教與學(xué)的要素，應(yīng)貫穿整個教學(xué)過程?；谶@樣的認(rèn)識，同時結(jié)合新高考改革的具體要求，筆者近年來開展了“以終為始，評價先行”高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的實(shí)踐研究，取得了一定的成功經(jīng)驗(yàn)。

一、構(gòu)建“以終為始，評價先行”評價模式的背景

過去，教師主要是依據(jù)教材和經(jīng)驗(yàn)設(shè)計教學(xué)，一般采用“教學(xué)目標(biāo)→教學(xué)組織→教學(xué)評價”的教學(xué)模式，將落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)既定的教學(xué)內(nèi)容作為教學(xué)目標(biāo)，評價往往是教學(xué)結(jié)束后的終結(jié)性檢測，有些教師甚至將課后的測驗(yàn)或考試視為評價，致使評、教、學(xué)相割裂。這種做法存在兩個弊端：一是在教學(xué)活動開展前，教師并不清楚教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的標(biāo)志是什么，也不清楚學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)目標(biāo)之間的距離，無法充分發(fā)揮評價的診斷作用；二是在教學(xué)過程中，教師無從判斷教學(xué)效果和學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，課堂成了教師傳授知識和完成教學(xué)任務(wù)的工具，忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，違背了教學(xué)是為學(xué)生服務(wù)的本質(zhì)。這樣的教學(xué)往往因?yàn)槿狈δ繕?biāo)導(dǎo)向、評價反饋、教學(xué)改進(jìn)而出現(xiàn)課堂教學(xué)低效甚至無效的情況。因此，必須改革過去教、學(xué)、評相分離的教學(xué)模式。

美國課程研究專家格蘭特·威金斯（Grant Wiggins），杰伊·麥克泰格（Jay Mctighe）在《追求理解的教學(xué)設(shè)計》（Understanding by Design）中提出了針對性的設(shè)計方法——逆向設(shè)計。這種設(shè)計是從教學(xué)結(jié)果逆向思考教學(xué)設(shè)計，具體流程如下：第一階段確定預(yù)期結(jié)果；第二階段確定預(yù)期結(jié)果達(dá)成的依據(jù)；第三階段設(shè)計學(xué)習(xí)體驗(yàn)和教學(xué)活動。這種教學(xué)設(shè)計的特征是，教師在開展教學(xué)活動前，先要思考通過本單元學(xué)習(xí)要達(dá)成怎樣的目標(biāo)或效果，哪些證據(jù)能夠表明學(xué)習(xí)目標(biāo)已達(dá)成，由此把評價設(shè)計放在教學(xué)活動設(shè)計之前，將評價嵌入整個教學(xué)過程，使教學(xué)目標(biāo)更加明確。教師通過評價活動診斷學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)目標(biāo)之間的距離，再安排相應(yīng)的教學(xué)活動，使教學(xué)成為發(fā)現(xiàn)證據(jù)、接近教學(xué)目標(biāo)的過程，教學(xué)的指向性更明確。這樣設(shè)計教學(xué)，教師可以根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的證據(jù)，判斷學(xué)生對知識的實(shí)際掌握情況，進(jìn)而檢驗(yàn)課堂教學(xué)效果，并根據(jù)實(shí)際情況做出調(diào)整；學(xué)生也能及時發(fā)現(xiàn)、反思學(xué)習(xí)中的問題，為下一步學(xué)習(xí)做出改進(jìn)。在這一教學(xué)模式中，評價不再是終結(jié)性檢測，而是經(jīng)歷“教學(xué)→評價→改進(jìn)→教學(xué)”反復(fù)循環(huán)的過程性評價。

這種“以終為始，評價先行”的逆向教學(xué)設(shè)計，能讓一線教師基于課程標(biāo)準(zhǔn)，更明確學(xué)生“要到哪里去”、通過評價診斷學(xué)生目前“在哪里”、設(shè)計怎樣的教學(xué)活動才能讓學(xué)生“到那里”、通過評價證據(jù)判斷學(xué)生是否已經(jīng)“到那里”，并在教學(xué)過程中不斷對預(yù)設(shè)與目標(biāo)進(jìn)行回望，促使教學(xué)活動有效開展?！耙越K為始，評價先行”的教學(xué)策略符合教育評價改革的時代要求和評價導(dǎo)向，有利于教師落實(shí)立德樹人的課程目標(biāo)。

二、“以終為始，評價先行”教學(xué)設(shè)計的思路

如何在教學(xué)過程中落實(shí)“以終為始，評價先行”？如何基于教學(xué)評價精準(zhǔn)設(shè)計教學(xué)？如何在教學(xué)中進(jìn)行全面系統(tǒng)的教學(xué)評估？這是廣大一線教師關(guān)心的話題，也是教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵點(diǎn)。為此，筆者將在下文闡述“以終為始，評價先行”教學(xué)設(shè)計的思路。

教師的教、學(xué)生的學(xué)及對教與學(xué)的評價，都應(yīng)基于一個明確的教學(xué)目標(biāo)，三者之間具有緊密的關(guān)聯(lián)性。教師在課前應(yīng)根據(jù)預(yù)設(shè)目標(biāo)設(shè)計教學(xué)評價框架，然后基于“教—學(xué)—評”一致性理念設(shè)計教學(xué)，并圍繞目標(biāo)開展精準(zhǔn)教學(xué)，科學(xué)地進(jìn)行教學(xué)評價，引導(dǎo)學(xué)生高效學(xué)習(xí)，這是“以終為始，評價先行”教學(xué)設(shè)計的基本思路。具體操作如下（如圖1所示）：首先預(yù)設(shè)課前評價，實(shí)施定位性評價，制訂教學(xué)目標(biāo)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析，確定教、學(xué)、評的基本思路，預(yù)設(shè)教學(xué)評價方案，利用評價引導(dǎo)教學(xué)、監(jiān)測教學(xué)；其次在教學(xué)中實(shí)施過程性評價，通過課堂導(dǎo)入進(jìn)行診斷性評價，明確學(xué)生的知識儲備情況，及時對學(xué)生的課堂表現(xiàn)進(jìn)行評價，然后積極地利用評價結(jié)果調(diào)整教學(xué)環(huán)節(jié)，反饋教學(xué)成果與問題，并持續(xù)跟蹤；最后通過后測結(jié)果、評價反思和評價量表等多種形式，對“教—學(xué)—評”一致性達(dá)成度進(jìn)行診斷。

三、“以終為始，評價先行”的教學(xué)實(shí)施過程

下面，筆者以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)為例，探索并分析“以終為始，評價先行”的教學(xué)實(shí)施策略。

（一）制訂課程教學(xué)目標(biāo)

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二單元的教學(xué)內(nèi)容，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)）中對本課教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定為：學(xué)生能根據(jù)圓的定義確定圓的幾何要素，利用坐標(biāo)法探索并推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)圓的方程，研究圓的相關(guān)幾何性質(zhì)；能借助曲線方程解決數(shù)學(xué)問題及生活問題。

通過課前學(xué)情調(diào)研可知，學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的概念與基本性質(zhì)，知道了直線與圓有三種位置關(guān)系。在高中階段，學(xué)生需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從解析幾何的角度繼續(xù)研究圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系等問題。由此可見，兩個階段的研究方法發(fā)生了明顯改變，已從純粹的幾何角度變成了運(yùn)用解析幾何思想進(jìn)行探究。解析幾何就是將曲線圖形放入平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用有序數(shù)對刻畫曲線中的點(diǎn)，建立曲線方程，然后運(yùn)用代數(shù)符號將曲線圖形中的空間元素及元素間的關(guān)系表達(dá)出來，運(yùn)用曲線方程定量研究曲線的性質(zhì)并對曲線進(jìn)行運(yùn)算。然而，解析幾何研究方法對高中生而言比較抽象，很少學(xué)生會用這種方法研究問題。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展水平和學(xué)業(yè)質(zhì)量水平及上述分析，筆者設(shè)計了如下三個教學(xué)目標(biāo)：①能夠類比直線方程的建立過程推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠?qū)A的定義轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系中圓上點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系式，并化簡出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)；②能夠靈活分析題意，能靈活地選用直接法、待定系數(shù)法、幾何法等方法求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；③能利用圓的方程研究圓的幾何性質(zhì)，提升學(xué)生用代數(shù)的方法解決幾何問題的能力，即學(xué)生能利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并能借助圓的方程解決實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

（二）確定教學(xué)與評價思路

通過對教材、課標(biāo)及教學(xué)診斷進(jìn)行分析，筆者確定了課時目標(biāo)及評價依據(jù)，接著從目標(biāo)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)合適的學(xué)習(xí)情境，提出課時學(xué)習(xí)核心問題，發(fā)布課時關(guān)鍵任務(wù)，并通過一系列學(xué)習(xí)活動幫助學(xué)生解決問題，從而在實(shí)施中跟蹤檢測課時評價目標(biāo)，并將檢測效果作用于教學(xué)環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)以終為始的良性教學(xué)循環(huán)。同時，關(guān)于本課的教學(xué)評價，筆者按照“導(dǎo)入→授課→總結(jié)”三大階段進(jìn)行預(yù)設(shè)，在預(yù)設(shè)中根據(jù)學(xué)生的不同學(xué)習(xí)方式布置學(xué)習(xí)任務(wù)，并預(yù)設(shè)教師教學(xué)評價的時機(jī)，完善教師教學(xué)評價方法預(yù)設(shè)，努力做到評價先行。

（三）教學(xué)具體實(shí)施過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，啟迪思維

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，設(shè)計切合學(xué)生實(shí)際的情境和問題，啟發(fā)學(xué)生思考；圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科重要、本質(zhì)的概念、原理和解決問題的思維方式創(chuàng)設(shè)真實(shí)的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)。本課通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與社會見識，使其在生活化素材的引導(dǎo)下主動學(xué)習(xí)，從而對所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生濃厚的興趣，并嘗試從情境中發(fā)現(xiàn)并抽象出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而提高解決實(shí)際問題的能力。

首先，筆者創(chuàng)設(shè)了如下情境：圓是中國人所喜愛的圖形，因?yàn)樗笳髦鴪A融智慧、包容和諧，象征著生活圓滿；圓與我們的生活息息相關(guān)，有一種中式美學(xué)叫“中國圓”，如蘇州園林的月洞門，“一步一景，移步換景”，巧思妙境，令人陶醉；北京天壇的皇穹宇也融入了眾多圓形因素，因而顯得宏偉大氣，非常壯觀；中國第一“圓樓”客家土樓花萼樓美得像一朵花。從這些建筑中我們都能發(fā)現(xiàn)圓的美。在日常生活中，圓的應(yīng)用也十分廣泛，如每條通車隧道的隧道口，都會有一個限高的標(biāo)志，這個限高的數(shù)據(jù)是如何得到的？我們?nèi)绾螐臄?shù)學(xué)的角度給出合理的解釋？

其次，筆者設(shè)計了如下學(xué)習(xí)任務(wù)：如圖2，已知隧道的截面是半徑為5米的半圓，車輛只能在道路中間線的右側(cè)行駛。一輛寬為3米、高為4.3米的貨車能不能駛?cè)脒@條隧道？根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)，筆者提出如下教學(xué)問題：這一現(xiàn)實(shí)生活問題可以抽象出一個怎樣的數(shù)學(xué)問題？我們判斷貨車能否通過隧道的依據(jù)是什么？在這些任務(wù)的驅(qū)動下，學(xué)生需要完成如下兩個子任務(wù)：①從實(shí)際生活情境中抽象出數(shù)學(xué)模型；②用數(shù)學(xué)語言描述貨車通過隧道的依據(jù)。

學(xué)生為了解決上述問題進(jìn)行小組合作探究，在已有知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，歸納得到三種可能，并抽象出如下數(shù)學(xué)模型（如圖3所示），提出解決方案：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出AC長度，發(fā)現(xiàn)AC長度比半徑大，因此貨車無法通過隧道。

在學(xué)生解決問題的過程中，筆者觀察全體學(xué)生能否順利完成數(shù)學(xué)建模任務(wù)，能否用已學(xué)知識解決情境中的問題，并對學(xué)生進(jìn)行即時評價。對完成學(xué)習(xí)任務(wù)的學(xué)生即時給予肯定、表揚(yáng)，對暫時沒有完成任務(wù)的學(xué)生給予啟發(fā)引導(dǎo)，幫助其完成任務(wù)，幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)信心、保持學(xué)習(xí)動力，發(fā)揮即時評價的導(dǎo)學(xué)功能。

本課中，筆者設(shè)計的第一個問題是“為什么要學(xué)習(xí)圓的方程？”，目的是讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)圓的方程的必要性，幫助學(xué)生培養(yǎng)大單元教學(xué)理念，圍繞解析幾何的核心“幾何問題代數(shù)化”，讓學(xué)生經(jīng)歷解析幾何知識的發(fā)展、思想與方法的深化過程，激發(fā)學(xué)生深度參與學(xué)習(xí)活動，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。當(dāng)學(xué)生找不到其他方法解決這一實(shí)際問題時，筆者通過啟發(fā)性問題引導(dǎo)學(xué)生思考：在前面直線方程的學(xué)習(xí)中，我們用方程表示直線，通過方程定量地研究直線的性質(zhì)，如直線的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)以及距離等問題……類似的，圓是否也可以用方程來表示？貨車無法駛?cè)胨淼揽梢赞D(zhuǎn)化成什么數(shù)學(xué)問題？

學(xué)生根據(jù)之前積累的基本活動經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用類比的思想，感知可以通過圓的方程定量地研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等問題，從而意識到學(xué)習(xí)圓的方程的必要性，自然過渡到本課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，解決了“為何學(xué)”的問題。通過這一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)會了用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，從而提升了自身的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。

2.問題引領(lǐng)，探索新知

筆者設(shè)計了如下學(xué)習(xí)任務(wù)：類比直線方程的建立過程，建立圓的方程。在這一學(xué)習(xí)任務(wù)的驅(qū)動下，學(xué)生需要完成如下三個子任務(wù)：①厘清建立圓的方程的研究思路；②推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；③理解“曲線的方程和方程的曲線”這一概念的內(nèi)涵。

問題驅(qū)動教學(xué)方法是新課改所倡導(dǎo)的教學(xué)方式，這對增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提升數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)有效性等具有重要的價值和作用。在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者采用問題驅(qū)動方法，設(shè)計適切的問題串，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，進(jìn)而促使學(xué)生主動地開展學(xué)習(xí)和探究。筆者設(shè)計了如下問題串：①直線方程是如何建立的？②我們是如何通過直線的幾何要素構(gòu)建代數(shù)方程的？③如何類比直線方程的建立過程建立圓的方程？④確定一個圓的幾何要素是什么？⑤若圓心為A（a，b），半徑為r，則圓上任意一點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)滿足怎樣的關(guān)系式？

在解決上述問題的過程中，學(xué)生通過回憶直線方程的推導(dǎo)過程，類比推導(dǎo)圓的方程，然后根據(jù)圓的定義“平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合”，可知確定一個圓的幾何要素有兩個：圓心和半徑。在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠明確建立圓的方程的研究思路，從而推導(dǎo)出以點(diǎn)A（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-a）2+（y-b）2=r2［以下簡稱方程（1）］。

在此基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步設(shè)計如下問題：方程（1）是否為圓的方程？筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對這一問題感到困惑，認(rèn)為既然是根據(jù)圓的定義推導(dǎo)出的方程必定是圓的方程，因此無法理解這個問題的意義所在。存在這樣的困惑，究其原因是學(xué)生不理解數(shù)量關(guān)系與空間形式一一對應(yīng)關(guān)系的內(nèi)在含義。

“曲線的方程與方程的曲線”這個概念比較抽象，學(xué)生不易理解，教師通過師生互動交流、提問、追問等方式了解學(xué)生存在的困惑，及時調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)若點(diǎn)M（x，y）在圓上，則說明點(diǎn)[M]的坐標(biāo)滿足圓的方程；反之，若點(diǎn)[M]的坐標(biāo)（x，y）滿足圓的方程，就說明點(diǎn)[M]與圓心的距離為r，即點(diǎn)M在圓上。因此，我們把方程（1）稱為以A（a，b）為圓心、r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。通過對這一系列問題的思考與分析，學(xué)生明白了解析幾何中圓與圓的方程一一對應(yīng)的關(guān)系，理解了正因?yàn)榭臻g形式與數(shù)量關(guān)系的一一對應(yīng)，我們可以利用方程表示曲線，對曲線進(jìn)行運(yùn)算，并建立方程的幾何直觀表達(dá)，把方程形象化。

在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生能夠遷移直線方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，類比推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這說明學(xué)生已經(jīng)找到用已有知識解決解析幾何問題的路徑，符合這一階段的認(rèn)知發(fā)展要求。教學(xué)中，教師要留足時間讓學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，鼓勵學(xué)生上臺分享展示，并在旁觀察指導(dǎo)，診斷學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，幫助學(xué)生解決困難；要關(guān)注學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言的過程，診斷學(xué)生是否能調(diào)動學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比探究，是否了解用坐標(biāo)法研究解析幾何問題的基本步驟，在學(xué)習(xí)過程中是否順利發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)，從而幫助學(xué)生獲得“四基”、提高“四能”。

3.解決問題，應(yīng)用鞏固

筆者設(shè)計了如下學(xué)習(xí)任務(wù)：明確圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，并進(jìn)行求解運(yùn)算。在這一學(xué)習(xí)任務(wù)的驅(qū)動下，學(xué)生需要完成如下四個子任務(wù)：①根據(jù)圓的方程寫出圓心坐標(biāo)及半徑；②根據(jù)具體條件選擇適當(dāng)方法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；③利用圓的方程研究圓的性質(zhì)，如點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；④利用所學(xué)知識解決新課引入中的實(shí)際問題。

為了有效引導(dǎo)學(xué)生完成如上學(xué)習(xí)任務(wù)，筆者主要通過如下四道練習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生展開學(xué)習(xí)：①根據(jù)下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑［（x-3）[2]+（y-4）[2]=4，（x+3）[2]+（y-1）[2]=2，（3x-2）[2]+（3y-6）[2]=27］；②求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程［1.圓心為A（2，-3），半徑為5；2.圓心為A（2，-3），且過點(diǎn)（1，-1）］；③求過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

在解決練習(xí)①和練習(xí)②的過程中，學(xué)生都能快速準(zhǔn)確地回答。但由于變式中的圓的方程為非標(biāo)準(zhǔn)形式，部分學(xué)生判斷圓心和半徑存在一定困難，對練習(xí)③有部分學(xué)生能熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，對三元二次方程組的求解則感到困難，較少學(xué)生想到用幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。對判斷特殊點(diǎn)是否在圓上，絕大部分學(xué)生都明白若點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，則說明該點(diǎn)在圓上，否則就不在圓上，或者通過計算點(diǎn)到圓心的距離是否等于半徑來判斷點(diǎn)是否在圓上。

教學(xué)過程中，筆者充分發(fā)揮評價的診斷功能，通過課堂提問和投影學(xué)生的解答過程，診斷學(xué)生是否掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)并能根據(jù)方程快速判斷圓心和半徑，是否能已知圓心和半徑熟練求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。通過評價筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對練習(xí)①、練習(xí)②這種類型的問題掌握情況良好，但練習(xí)③存在較大問題，主要表現(xiàn)在學(xué)生運(yùn)用待定系數(shù)法求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，解三元二次方程普遍存在困難。這與原教學(xué)計劃不太吻合，此時筆者調(diào)整教學(xué)策略，詳細(xì)板書運(yùn)算過程，幫助學(xué)生突破運(yùn)算難點(diǎn)，掌握運(yùn)算方法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。同時，筆者通過學(xué)生之間的展示分享、交流互評，為學(xué)生提供了多種解題思路，讓學(xué)生體會不同解法的優(yōu)缺點(diǎn)，積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而達(dá)到鞏固提高的效果。

為了有效解決學(xué)生存在的學(xué)習(xí)問題，筆者進(jìn)一步設(shè)計了“根據(jù)特殊到一般的思想，研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”這一學(xué)習(xí)任務(wù)，以及“如何判定點(diǎn)P（x[0]，y[0]）與圓C：（x-a）2+（y-b）2=r[2]的位置關(guān)系？”這一小組探究問題。根據(jù)前面探究具體的點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，學(xué)生很自然地將這一知識遷移用于解決平面內(nèi)任意一點(diǎn)與已知圓的位置關(guān)系問題，歸納總結(jié)出點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)。而且，學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號語言準(zhǔn)確表達(dá)幾何條件，并轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)形式，思維能力得到了提升。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教師要充分挖掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)思想方法的教學(xué)。“從特殊到一般”是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，學(xué)生學(xué)會通過特殊化、具體化的問題，從而總結(jié)出一般性的結(jié)論，并用已有的理論知識去驗(yàn)證一般性的結(jié)論。這一思想方法在認(rèn)識活動中被反復(fù)運(yùn)用，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展具有重大意義。因此，在這一學(xué)習(xí)任務(wù)中，筆者通過讓學(xué)生判斷特殊點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，檢驗(yàn)學(xué)生能否歸納出判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的一般方法，觀測學(xué)生是否會運(yùn)用“從特殊到一般”的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。這樣不僅能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識、理解和運(yùn)用，還讓學(xué)生學(xué)會從解決數(shù)學(xué)問題的過程中提煉數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)。

接著，筆者進(jìn)一步設(shè)計了“學(xué)以致用，解決新課引入中的實(shí)際問題”這一學(xué)習(xí)任務(wù)。根據(jù)前面的鋪墊，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識這一現(xiàn)實(shí)問題的本質(zhì)是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并能夠?qū)缀螁栴}代數(shù)化，能夠基于圖形的對稱性建立直角坐標(biāo)系，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用代數(shù)比較大小而解決問題。全班大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確書寫解決過程，正確率高，情況良好。具體過程如下：如圖4所示，半圓所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2+y2=25]，將點(diǎn)C（3，4.3）代入圓的方程等號左側(cè)可得32+4.32=27.49>25，因此，點(diǎn)C在圓外，故貨車無法駛?cè)胨淼馈?/p>

通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，建立了圓的模型，并能夠運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題，體會了解析幾何的魅力，發(fā)展了自身直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

4.總結(jié)提升，評價反思

筆者設(shè)計了“歸納小結(jié)，完成知識系統(tǒng)建構(gòu)與方法提煉”這一學(xué)習(xí)任務(wù)，同時提出“本課你學(xué)到了哪些知識？收獲了哪些方法？”的思考問題。學(xué)生通過3—5分鐘的課堂回顧，理解新概念，整理研究解析幾何問題的思路，歸納在不同的條件背景下如何研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。筆者在旁進(jìn)行輔助梳理，全班學(xué)生共同總結(jié)出如下學(xué)習(xí)心得：一是知識層面，學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r[2]，圓心為（a，b），半徑為r（r>0）；二是方法層面，歸納了直接法、待定系數(shù)法、幾何法等求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的常見方法，以及學(xué)會了運(yùn)用幾何法與代數(shù)法等判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法；三是思想層面，了解了研究解析幾何問題的基本思想方法——坐標(biāo)法，研究了解析幾何問題的核心是“幾何問題代數(shù)化”。在此過程中，筆者通過學(xué)生的歸納總結(jié)、對話交流，檢查課堂教學(xué)是否已經(jīng)達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，以及學(xué)生是否已經(jīng)掌握了本課的基本知識、基本技能、基本方法，是否積累了基本活動經(jīng)驗(yàn)，是否學(xué)會了知識的遷移應(yīng)用，學(xué)生得到了哪些發(fā)展、提升了哪些核心素養(yǎng)。

接著，筆者設(shè)計最后兩道練習(xí)題，以此提升學(xué)生的運(yùn)算求解素養(yǎng)，檢驗(yàn)本課的教學(xué)效果，并將這一步驟的檢驗(yàn)結(jié)果作為下一課時學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，“以終為始”開展新的教學(xué)設(shè)計。練習(xí)題如下：①求以C（2，-3）為圓心，且過點(diǎn)B（5，-1）的圓的方程；②求經(jīng)過點(diǎn)P（1，1）和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x+3y+1=0上的圓的方程。

在本課教學(xué)中，筆者嘗試了“以終為始，評價先行”的教學(xué)思路：首先在課前基于目標(biāo)預(yù)設(shè)評價方案，以學(xué)習(xí)任務(wù)為抓手、以評價任務(wù)為主線，進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐和評價；其次觀察學(xué)生在每一個教學(xué)環(huán)節(jié)中的真實(shí)表現(xiàn)，及時評價、點(diǎn)撥、糾正，以問題串驅(qū)動學(xué)生不斷思考、回應(yīng)，并將評價貫穿整個教學(xué)過程，突出了評價的診斷功能，同時也充分發(fā)揮了它的激勵功能，符合新課改關(guān)于評價方式要多樣化、評價主體要多元化的理念和要求。而且在每個教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者都對學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行了即時評價，讓學(xué)生不僅能夠得到肯定和鼓勵，還能及時糾正不足，這對教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成起到了積極的作用，體現(xiàn)了“素養(yǎng)為本，科學(xué)評價”的理念。通過長期的實(shí)踐研究，筆者認(rèn)為“以終為始，評價先行”的教學(xué)改革對教師的專業(yè)發(fā)展、學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)、教學(xué)質(zhì)量的提高都具有十分重要的意義。

參考文獻(xiàn)

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注：本文系廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度廣西高考綜合改革專項(xiàng)課題“基于中學(xué)數(shù)學(xué)教師核心素養(yǎng)發(fā)展的教師新教材實(shí)施的實(shí)踐能力培養(yǎng)研究”（2021ZJY1755）的研究成果。

作者簡介：李?。?973— ），湖南郴州人，高級教師，主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 蒙秀溪）