發(fā)揮數(shù)形結(jié)合優(yōu)勢(shì) 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

伏貴芹

[摘要]數(shù)形結(jié)合思想在幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、拓展解題思路、提高學(xué)習(xí)效率、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面發(fā)揮著不可替代的作用.文章展示了數(shù)形結(jié)合思想在厘清概念、推導(dǎo)公式等方面的重要應(yīng)用，以期引起教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)注，從而在教學(xué)中通過(guò)巧妙滲透，發(fā)揮其化抽象為直觀、化繁為簡(jiǎn)的優(yōu)勢(shì)，并全面提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合;學(xué)習(xí)能力;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用主要包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面，其中“以形助數(shù)”是指用幾何圖形來(lái)表達(dá)抽象的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)語(yǔ)言，使數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)、直觀，更易于學(xué)生理解和接受.數(shù)形結(jié)合思想被廣泛地應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)之中，并已成為數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的一部分.不過(guò)，在實(shí)際解題中，部分學(xué)生感覺(jué)畫圖費(fèi)時(shí)費(fèi)力，習(xí)慣于從代數(shù)的角度去分析問(wèn)題，這就使得他們?cè)诿鎸?duì)一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，因沒(méi)能將問(wèn)題進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化而出現(xiàn)思維受阻，這自然會(huì)在無(wú)形中增加解題壓力，降低解題效率.下面，筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談幾點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)，以期教師能夠在教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)注重滲透數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)而發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用

1.數(shù)形結(jié)合思想融于概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念大多是在生產(chǎn)生活中通過(guò)觀察、分析、實(shí)踐等總結(jié)、歸納得到的，其抽象性和概括性與生俱來(lái).可見(jiàn)，讓學(xué)生將概念“學(xué)懂吃透”并非一件容易的事.很多學(xué)生雖然能夠?qū)⒏拍畋车脻L瓜爛熟，卻沒(méi)有理解概念的真正內(nèi)涵，仍然處于“知其然，而不知其所以然”的狀態(tài)，所以難以靈活應(yīng)用概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.為了帶領(lǐng)學(xué)生走出概念困境，讓他們將概念“學(xué)懂、吃透”，在概念教學(xué)中，教師不妨將“形”的直觀與“數(shù)”的具體有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生在“形”的輔助下更好地理解“數(shù)”，在“數(shù)”的輔助下更好地認(rèn)識(shí)“形”，通過(guò)兩者的互相轉(zhuǎn)換和補(bǔ)充，使數(shù)學(xué)概念更加形象、具體，更易于學(xué)生理解和內(nèi)化.

案例1“數(shù)軸”的教學(xué)設(shè)計(jì).

本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握數(shù)軸的三要素，要求學(xué)生不僅能說(shuō)出數(shù)軸上的“點(diǎn)”所表示的“數(shù)”，還要知曉如何將具體的“數(shù)”用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示.可見(jiàn)，其是初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的起點(diǎn).為此，在“數(shù)軸”的教學(xué)中，教師需要嘗試應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)引導(dǎo)學(xué)生將“點(diǎn)”與“數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系更加清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)出來(lái)，從而讓學(xué)生在理解數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，感悟數(shù)形結(jié)合思想的重要價(jià)值，以此培養(yǎng)他們的數(shù)形結(jié)合意識(shí).

教學(xué)環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引出主題

問(wèn)題：某火車站有4個(gè)出口，小明下車后想從東出口出站.但因不熟悉地形，又沒(méi)有看懂指示牌，于是他往西走了100m，發(fā)現(xiàn)走錯(cuò)后他又折回往東走，往東走了300m后他發(fā)現(xiàn)距離東出口還有200m.你能用線段和數(shù)字將小明所走的路線畫出來(lái)嗎？

設(shè)計(jì)意圖借助生活情境，引導(dǎo)學(xué)生建立“點(diǎn)”與“數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此引入主題.

教學(xué)環(huán)節(jié)二：動(dòng)手實(shí)踐，探究新知

此環(huán)節(jié)以學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐為主，要求學(xué)生通過(guò)圖形抽象出情境中的具體問(wèn)題，使內(nèi)容變得更加準(zhǔn)確和直觀.同時(shí)，教師給予啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生在理解數(shù)軸三要素的同時(shí)，規(guī)范數(shù)軸畫法.

設(shè)計(jì)意圖動(dòng)手“畫”，能讓學(xué)生理解“正數(shù)”“負(fù)數(shù)”“線段”等元素，掌握用數(shù)軸表示數(shù)的方法，領(lǐng)悟數(shù)軸的作用.

教學(xué)環(huán)節(jié)三：概括總結(jié)，深化理解

經(jīng)過(guò)前面兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，“數(shù)軸”的概念已經(jīng)初步形成，此時(shí)教師可鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述圖形，并逐步抽象出“數(shù)軸”的概念.

設(shè)計(jì)意圖概括總結(jié)能力是學(xué)生應(yīng)具備的基本能力和基本素養(yǎng).在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生在抽象和概括的過(guò)程中更好地理解概念.

在前面兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察和實(shí)踐，嘗試“以形助數(shù)”;在第三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，教師則引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述圖形，實(shí)現(xiàn)了“以數(shù)助形”.“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了讓學(xué)生學(xué)懂、吃透“數(shù)軸”概念的目標(biāo)，提升了教學(xué)效率.

2.數(shù)形結(jié)合思想滲透于公式推導(dǎo)

為了快速提升學(xué)生的成績(jī)，部分教師在教學(xué)中常將現(xiàn)成的公式、定理以“灌輸”的方式傳授給學(xué)生，忽視了公式的推導(dǎo)過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生對(duì)公式的理解僅限于“一知半解”.另外，數(shù)學(xué)公式眾多，在教學(xué)中若缺失過(guò)程的推導(dǎo)，學(xué)生極易造成公式混淆.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視公式的推導(dǎo).不過(guò)，數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)過(guò)程很抽象、復(fù)雜，學(xué)生常常因找不到問(wèn)題的突破口而出現(xiàn)畏難情緒，所以在公式的推導(dǎo)過(guò)程中，教師不妨引入“形”，并發(fā)揮直覺(jué)思維的優(yōu)勢(shì)，將抽象的問(wèn)題逐漸向直觀化、具體化轉(zhuǎn)化，便于學(xué)生找到公式推導(dǎo)的合理切入點(diǎn)，順利完成公式的推導(dǎo).

案例2“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計(jì).

在教學(xué)中，若教師直接給出公式a²+b²=c²（其中a，b為直角邊的長(zhǎng)，c為斜邊的長(zhǎng)），就讓學(xué)生直接套用公式解決問(wèn)題，雖然學(xué)生能夠結(jié)合已知條件迅速地求出第三條邊的長(zhǎng)，但這樣的教學(xué)能提升學(xué)生的思維能力，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力嗎？答案自然是否定的.這樣的教學(xué)方式，不僅難以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，不利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.其實(shí)，在應(yīng)用公式解決問(wèn)題前，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)公式的推導(dǎo)過(guò)程，從而在推導(dǎo)的過(guò)程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

對(duì)于公式的探究，教師可以按如下步驟進(jìn)行：首先，給出范例圖形，讓學(xué)生猜想直角三角形三邊長(zhǎng)a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系;其次，通過(guò)“割補(bǔ)法”確定數(shù)量關(guān)系;最后，借助計(jì)算驗(yàn)證數(shù)量關(guān)系.上述過(guò)程通過(guò)“數(shù)”與“形”的結(jié)合與轉(zhuǎn)換，完成了公式的推導(dǎo)和驗(yàn)證，使公式的推導(dǎo)更加生動(dòng)，更具操作性.另外，在公式的推導(dǎo)過(guò)程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行合理猜想，其往往是創(chuàng)新的起點(diǎn)，教師還應(yīng)多鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生，以此提升他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

3.數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)計(jì)算

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)計(jì)算側(cè)重于算法知識(shí)，只要學(xué)生熟練掌握運(yùn)算法則、認(rèn)真運(yùn)算，就能完成基本的運(yùn)算要求，但是初中階段的數(shù)學(xué)計(jì)算側(cè)重于算理，要求學(xué)生不僅要掌握運(yùn)算規(guī)則，還要理清運(yùn)算中的邏輯關(guān)系.因此，在計(jì)算能力的培養(yǎng)上，教師不能簡(jiǎn)單地依賴強(qiáng)化訓(xùn)練，還應(yīng)找到適合的方法.眾所周知，有些數(shù)學(xué)計(jì)算單純從“數(shù)”的角度去思考，往往難以理清蘊(yùn)含其中的數(shù)量關(guān)系，而借助“形”，則往往可以達(dá)到事半功倍的效果.為此，在數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)過(guò)程中，教師要重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，以此提高學(xué)生的運(yùn)算效率.

提高解題準(zhǔn)確率.

數(shù)形結(jié)合在實(shí)際生活中的應(yīng)用

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是更好地解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，而現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題又推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，可見(jiàn)，兩者相互依存、密不可分.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能一味地追求成績(jī)，應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，并鼓勵(lì)他們用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決，使數(shù)學(xué)更有生活味.借助生活問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)，不僅能讓學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，還能激發(fā)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情.另外，在解決實(shí)際生活問(wèn)題的過(guò)程中，教師可以滲透數(shù)形結(jié)合思想，從而為抽象的數(shù)學(xué)與多彩的生活搭起自然傳輸?shù)募~帶，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加豐富多彩.

例如，兩人相約晚上6點(diǎn)—7點(diǎn)在某餐廳見(jiàn)面，先到的一方最多等候?qū)Ψ?5min.若15min內(nèi)兩人能夠順利見(jiàn)面（要求見(jiàn)面的最晚時(shí)間為7點(diǎn)），就算見(jiàn)面成功，否則視為見(jiàn)面失敗.請(qǐng)問(wèn)兩人見(jiàn)面成功的概率有多大.

這樣的場(chǎng)景在生活中經(jīng)常發(fā)生，若從數(shù)的角度直接計(jì)算，往往會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，但結(jié)合圖形，問(wèn)題就會(huì)變得一目了然（如圖1所示）.

其實(shí)生活中的許多問(wèn)題都需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決，因?yàn)檫\(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想會(huì)使問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單、直觀.可見(jiàn)，在生活中滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以大大提升學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.

總之，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從而通過(guò)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換，使數(shù)學(xué)知識(shí)變得更加形象、清晰、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)單，進(jìn)而強(qiáng)化問(wèn)題深度，促進(jìn)學(xué)生學(xué)力的全面提升.