基于直觀想象 多維構造解法

魏宇亭

[摘要]中考試題，既要考查學生“四基“四能”的掌握情況，更應考查學生數學素養(yǎng)的發(fā)展狀況.文章以2021年徐州市中考數學試卷第21題為例，從試題命制和批改等角度，論述培養(yǎng)學生以直觀想象為代表的核心素養(yǎng)的教學啟示.

[關鍵詞]數學核心素養(yǎng);直觀想象;多維解法

《普通高中課程標準（2017年版）》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式尤其是圖形，理解和解決數學問題的素養(yǎng)[1].從定義上看，該素養(yǎng)主要涉及幾何直觀和空間想象兩個方面.孔凡哲和史寧中教授指出，幾何直觀是在直觀感知的感性基礎之上所形成的理性思考的結果，是學習者對數學對象的幾何屬性的整體把握和直觀判斷的能力[2].可見，幾何直觀是解決數學問題的思考途徑，能幫助學生認清問題的實質，理清解題思路，探索解題方向.筆者參加2021年徐州市中考數學試卷命題，隨后負責第21題的批閱與仲裁，該題既考查了學生對三角形、平行四邊形、圓等基本圖形性質的綜合應用，又從直觀識圖和優(yōu)選解法兩個角度考查了學生以直觀想象為代表的數學核心素養(yǎng)的發(fā)展狀況.現就該題的命制設想、基于直觀想象的多維解法及批改中發(fā)現的典型錯誤，淺談對教學的啟示.

試題及出處

試題如圖1所示，AB為⊙O的直徑，C，D兩點在⊙O上，AC與OD交于點E，AE=EC，OE=ED，連接BC，CD.求證：

（1）△AOE≌△CDE;

（2）四邊形OBCD是菱形.

【出處：2021年徐州市中考數學試卷第21題.】

命題設想

1.簡而不庸，突出考查學生的直觀想象素養(yǎng)

本題是一道基礎證明題，設計該題時，旨在將三角形、平行四邊形、圓等基本圖形融入一題，提高試題的綜合性和各知識間的關聯度，且在構圖上追求簡潔、形態(tài)美觀，所給條件明確，利于學生基于直觀想象順利解題.在圖形的選擇上，題中三角形和平行四邊形均為特殊圖形，具有特殊性質，內涵豐富.特殊圖形的綜合，圖形特性的雜糅，為學生鋪設了多維的解題思路，也制造了優(yōu)選解法的挑戰(zhàn)，能突顯出學生以直觀想象為代表的核心素養(yǎng)的發(fā)展狀況.圖形中含有30°、60°、90°和120°的特殊角，也預設了運用“數形結合”思想的解題條件，拓寬了解題思路，所以本題雖簡單但不平庸.

2.多維解法，突出考查學生的邏輯推理素養(yǎng)

章建躍博士曾指出“推理是數學的命根子”.可見培養(yǎng)學生的邏輯推理能力在數學教學中的重要性.學生的邏輯推理能力是中考命題的重要考查點，本題很好地體現了相關的考查要求.在設問上，第（1）問證明兩個三角形全等，第（2）問證明四邊形為菱形，這兩個結論的證得，均建立在嚴謹推理的基礎上.學生對圖形性質的熟悉程度，對符號語言的規(guī)范使用，以及對邏輯結構的嚴謹架構，是決定本題高質量完成的重要因素.題干與設問層次分明，兩問之間的連續(xù)性強，兩個問題步步拔高，層層遞進，第（1）問的結論恰是第（2）問的條件，突顯了命題的整體性、連續(xù)性和有效性.數學各核心素養(yǎng)不是孤立存在的，本題完美地體現了直觀想象和邏輯推理之間的遞進關系.如求證第（1）問，學生在直觀想象的基礎上會產生兩種思路，其一，基于圖形直觀，易發(fā)現∠AEO與∠CED是一組對頂角，結合已有條件，易構成“SAS”的條件，從而完成求證;其二，根據已知條件“AE=EC，OE=ED”，基于直觀想象，易發(fā)現連接OC，AD后所形成的四邊形AOCD為平行四邊形.雖然思路二略顯笨拙，但也是學生基于直觀想象的收獲，應被認可.學生在直觀想象的基礎上確定求證思路，用規(guī)范的邏輯推理過程完成求證，能實現數學核心素養(yǎng)間的傳導和綜合應用.

試題多維解法薈萃

1.對于第（1）問，基于直觀想象的求證思路分析

【維度1：基于對頂角相等的直觀想象】

如圖2所示，根據題干條件“AC與OD交于點E”，學生基于直觀想象，運用對頂角相等的性質，易得∠AEO=∠CED，再與題干條件“AE=EC，OE=ED”組合，由“SAS”可得△AOE≌△CDE.

【維度2：基于發(fā)現平行四形AOCD的直觀想象】

如圖3所示，根據題干條件“AE=EC，OE=ED”，連接OC，AD后，可證得四邊形AOCD為平行四邊形.于是可得AO=CD.再根據“SSS”可得△AOE≌△CDE.

2.對于第（2）問，基于直觀想象的多維證法賞析

試題匯聚了含30°角的直角三角形、菱形、圓等特殊圖形，基于直觀想象，第（2）問可產生多維解題思路.筆者整理后，繪制了如圖4所示的解題路徑圖.可見，在多維的求證思路中，簡捷與繁雜共存.解題時，學生要甄別優(yōu)選，這能在高階思維層面培養(yǎng)學生運用直觀想象優(yōu)選對象的素養(yǎng).

【維度1：用定義法證明四邊形OBCD是菱形】

證法1因為△AOE≌△CDE，所以OA=DC，∠OAC=∠DCE.所以AB∥CD.因為A，B兩點在⊙O上，所以OA=OB.所以OB=DC.所以四邊形OBCD是平行四邊形.因為B，D兩點在⊙O上，所以OB=OD.所以平行四邊形OBCD是菱形.

證法3因為△AOE≌△CDE，所以∠OAC=∠DCE.所以AB∥CD.如圖5所示，連接OC.因為A，C兩點在⊙O上，所以OA=OC.又因為AE=EC，所以OE⊥AC，即∠AEO=90°.因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°.所以∠AEO=∠ACB.所以OD∥BC.所以四邊形OBCD是平行四邊形.因為B，D兩點在⊙O上，所以OB=OD.所以平行四邊形OBCD是菱形.

【維度2：構造“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”的判定條件】

證法4如圖6所示，連接OC，AD，因為△AOE≌△CDE，所以OA=CD，∠OAC=∠DCE.所以AB∥CD.所以四邊形OCDA為平行四邊形.因為A，C兩點在⊙O上，所以OA=OC.所以平行四邊形OCDA是菱形.所以∠OAD=∠OCD.因為OA=OB，所以OB=CD.又AB∥CD，所以四邊形OBCD是平行四邊形.所以∠CDB=∠ABD.連接BD交OC于點F.因為AB是⊙O的直徑，所以∠ADB=90°.所以∠ABD+∠OAD=90°.所以∠OCD+∠CDB=90°.所以∠DFC=90°.所以OC⊥BD.所以平行四邊形OBCD是菱形.

【維度3：構造“四條邊相等的四邊形是菱形”的判定條件】

OA=OB.因為B，D兩點在⊙O上，所以OB=OD.所以OB=BC=CD=OD.所以四邊形OBCD是菱形.

證法8如圖8所示，連接OC，AD.因為△AOE≌△CDE，所以OA=CD，∠OAC=∠DCE.所以AB∥CD.所以四邊形OCDA為平行四邊形.因為A，C兩點在⊙O上，所以OA=OC.所以四邊形OCDA是菱形.所以OA=AD.因為A，D兩點在⊙O上，所以OA=OD.所以OA=OD=AD.所以△AOD為等邊三角形.所以∠AOD=60°.因為OA=OC，AE=EC，所以OE⊥AC，即∠AEO=90°.因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°.所以∠AEO=∠ACB.所以OD∥BC.所以∠B=∠AOD=60°.因為B，C兩點在⊙O上，所以OB=OC.所以△OBC為等邊三角形.所以OB=BC.因為A，B，D三點在⊙O上，所以OA=OB=DO.所以OB=BC=CD=DO.所以四邊形OBCD是菱形.

上述8種證法均較有代表性.若再深入探究，尚有其他證法.學生基于直觀想象，從“形結構”和“數形結合”兩方面均可完成求證，解題維度多樣.形象地說，試題為學生準備了不同的入口，進入后，均可發(fā)現相應的求證途徑.在多維的證法中有的簡捷有的曲折，這需要學生對解法進行優(yōu)選.在有限的時間內，學生要從眾多的解法中實現優(yōu)選，這拔高了對直觀想象能力的要求，而這恰是命題的亮點.

批改中的典型錯誤對數學教學的啟示

1.注重概念教學，強化“四基”“四能”的教學

本題作為一道中檔題，預設難度不高，但在批改中發(fā)現了較多的錯誤.錯誤突出表現在，學生對數學概念掌握不牢，直觀想象能力較差.如在第（1）問中，相當多的學生不能在圖形中直觀發(fā)現∠AEO和∠CED是一組對頂角，從而構成不了兩三角形全等的條件，解題思路被迫中斷.也有學生根據“AE=CE，OE=DE”直接得到AC⊥OD的結論，雖然AC與OD的確是垂直的位置關系，但根據上述兩條件直接得到該結論，理由不足，由此可見學生不能很好地掌握基本圖形的性質.還有學生由“AE=CE，OE=DE”得到四邊形OCDA為平行四邊形，從而得到∠OAE=4DCE，加上AE=CE，OE=DE后，堂而皇之地用“SSA”去證△AOE≌△CDE.因此，在教學中教師要注重生成概念的過程教學，使學生體會蘊含其中的思想方法和數學素養(yǎng)，教學中還要發(fā)展學生的幾何直觀能力，如讓學生經常思考圖形中的問題，如圖形的條件、圖形彼此間的關系、需要確定的結論等，嘗試用圖形來描述、理解并解決問題題可見，教學中教師有必要提高學生掌握“四基”“四能”的水平.

2.在概念教學中厚植數學核心素養(yǎng)

李邦河院士認為：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！[4]”由此可見數學概念教學的核心地位.但在現實教學中，只重視概念運用，淡化概念的形成過程，甚至用解題技巧代替概念學習的現象大量存在，重解題、輕概念的現象使數學概念教學長期處于扁平化、淺層次、低效率的層面，學生的解題思路狹窄，解題過程笨拙，難以達到高效、簡捷、靈動的層面，本題即是代表.在批改第（2）問時筆者發(fā)現，學生缺少直觀想象，不能形成明確的證明思路，指向性混亂，錯誤率較高.數學概念蘊含著深厚的歷史文化背景、豐富的思想方法，嚴謹的抽象、推理和建模過程，讓學生經歷概念的“形成”過程，從而積累數學活動經驗，體悟思想方法，錘煉思維品質，提高解題能力，提升數學核心素養(yǎng)，這是改變“重解題、輕概念”的康莊大道.

3.基于直觀想象，培養(yǎng)學生的優(yōu)選能力

試題中兩小問的證法均不唯一，在多維度的證法中，簡單與復雜并存，直觀與推理同在.本題除了考查學生對圖形基本性質的掌握情況和基本的邏輯推理外，最具價值的是考查了學生建立在直觀想象上的優(yōu)選能力.從較多的解法中，眾多的圖形中，能夠迅速地確定解題的優(yōu)選思路，對學生的挑戰(zhàn)極高.學生要達到這樣的高度，需要教師在教學中要有目標地讓學生積累經驗，要注重培養(yǎng)學生的直觀識圖能力和說題能力，要深挖一題多解的教學內涵，要對多維度的解題思路進行評價、優(yōu)選，幫助學生建立基于直觀想象的優(yōu)選眼光，培養(yǎng)學生的極速優(yōu)選能力，這也是本題應產生的教學價值.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]孔凡哲，史寧中.中國學生發(fā)展數學核心素養(yǎng)概論[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

[3]李霞.初中平面幾何的推理教學之研究[J].初中數學教與學，2021（01）：13-15.

[4]李邦河.數的概念的發(fā)展[J].數學通報，2009，48（08）：1-3.