二次函數(shù)與三角形綜合題的解題策略研究

周文麗

[摘要]二次函數(shù)與三角形結(jié)合出題在中考中是?？碱}型，該類(lèi)考題較綜合，常成為學(xué)生獲得高分的“攔路虎”.文章探析了二次函數(shù)與三角形綜合題的解題思路和方法策略，并對(duì)該類(lèi)題如何更好地進(jìn)行教學(xué)提出了三點(diǎn)建議，以期對(duì)中考生的學(xué)習(xí)和一線教師的教學(xué)帶來(lái)一點(diǎn)啟示.

[關(guān)鍵詞]二次函數(shù);三角形;解題策略

問(wèn)題的提出

初中數(shù)學(xué)知識(shí)涉及150多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其中二次函數(shù)與幾何圖形所涉及的知識(shí)點(diǎn)約有47個(gè)，占比約31.3%.在當(dāng)前九年義務(wù)教育階段，中考具有很強(qiáng)的選拔性，且數(shù)學(xué)作為三大主科之一，其中以二次函數(shù)為背景，結(jié)合幾何圖形進(jìn)行考查的題型成為中考必考題型，分值為8～16分.可見(jiàn)，如果一個(gè)初中生沒(méi)有很好地掌握二次函數(shù)和幾何圖形的基礎(chǔ)知識(shí)，他或許會(huì)與重點(diǎn)高中失之交臂.因此，研究二次函數(shù)壓軸題很有必要.

筆者分析昆明市近六年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題，發(fā)現(xiàn)其均以二次函數(shù)為背景，再結(jié)合等腰（直角）三角形存在性、三角形相似及三角形的面積（周長(zhǎng)）來(lái)考查學(xué)生的能力.這類(lèi)題注重基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性，關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)和通性通法，既重能力考查，又重素養(yǎng)考查.對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生需具有抓住題眼抽象出圖像的能力，并結(jié)合幾何圖形性質(zhì)及其特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、方程等數(shù)學(xué)思想方法完成解題.但很多學(xué)生不能根據(jù)題眼抽象出圖像，因此，教師在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.所以探析二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題的解題策略變得尤為重要.

典例呈現(xiàn)

（一）特殊三角形存在性問(wèn)題與面積最大值問(wèn)題

二次函數(shù)與三角形的綜合題是代數(shù)與幾何知識(shí)的融合，難度較高，要求學(xué)生熟悉二次函數(shù)和三角形的有關(guān)知識(shí)，注重知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)，形成知識(shí)鏈，并有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、方程與函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法，提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面以2016年昆明市中考數(shù)學(xué)第23題為例，探析特殊三角形存在性問(wèn)題與面積最大值問(wèn)題的解題策略.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值.

（3）若M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△MQC為等腰三角形且△MOB為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析第（1）問(wèn)通過(guò)待定系數(shù)法易求出拋物線的解析式為y=-2x²+2x+4.第（2）問(wèn)主要考查圖形的分割以及常見(jiàn)平面圖形面積的計(jì)算，該類(lèi)題需要學(xué)生根據(jù)題眼先將幾何圖形抽象出來(lái)，再將不規(guī)則圖形分割成規(guī)則圖形，利用規(guī)則圖形的面積公式求解，最后求面積之和.第（3）問(wèn)是等腰三角形和直角三角形同時(shí)存在性問(wèn)題，非常綜合，需要學(xué)生根據(jù)題眼和分類(lèi)討論思想先抽象出幾何圖形，再根據(jù)直角三角形和等腰三角形的特點(diǎn)及性質(zhì)，利用三角形相似、勾股定理或銳角三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行求解.

1.第（2）問(wèn)的解法探析

解法3過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，將四邊形COBP分割成△CEP和直角梯形EOBP（如圖4所示）.設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)S=S_△CEP+S_{直角梯形EOBP}求出S的最大值.

評(píng)析第（2）問(wèn)是面積最大值問(wèn)題，滲透割補(bǔ)和數(shù)形結(jié)合思想，難度適中.要解決此類(lèi)題，需要學(xué)生明晰如下解題過(guò)程：“題眼”→抽象出圖形→分割不規(guī)則圖形→設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（根據(jù)拋物線方程）→求規(guī)則圖形的面積→求面積之和→配方.由上述三種解法不難看出一個(gè)共性，那就是，一般來(lái)說(shuō)，動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為分割后各規(guī)則圖形的高.

2.第（3）問(wèn)的解法探析

假設(shè)存在點(diǎn)Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形.由題意易知只能∠BQM=90°或∠BMQ=90°.

當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，可抓住“題眼”抽象出圖形（如圖5所示）.易知只能CM=MQ.可求出直線BC的方程，再設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并表示出MQ，OQ，BQ，BC的長(zhǎng)度.此情況主要有以下三種解法.

解法1（勾股定理）在Rt△BQM中求出BM，MQ的長(zhǎng)，再根據(jù)CM=MQ即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

進(jìn)而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

評(píng)析第（3）問(wèn)表面上是考查等腰三角形和直角三角形的存在性問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是勾股定理、三角形相似、銳角三角函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，難度較大.解決該類(lèi)題需要用分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想方法.通過(guò)對(duì)該題型多種解法的探討可歸納出解決此類(lèi)題的一般思路：假設(shè)點(diǎn)存在一以動(dòng)化靜，借助分類(lèi)討論思想，并根據(jù)題意抽象出圖形→先從直角三角形入手→分析并確定等腰三角形的兩腰（不能確定的，進(jìn)行分類(lèi)討論）→設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)→利用假設(shè)得到的結(jié)論、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)來(lái)求解.

（二）三角形相似與周長(zhǎng)最小值問(wèn)題

三角形相似問(wèn)題的本質(zhì)是動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題，核心是數(shù)形結(jié)合.數(shù)形結(jié)合的精髓是函數(shù)，函數(shù)的核心是運(yùn)動(dòng)變化，點(diǎn)在函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)使得三角形的對(duì)應(yīng)邊發(fā)生變化，有策略地對(duì)相似比進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.下面分析例2，探析其解題策略.

例2已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)O（0，0），A（8，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B，且對(duì)稱軸為直線x=3.

（1）求該二次函數(shù)的解析式;

（2）M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)△ABM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

（3）P是x軸上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，與拋物線交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為C，當(dāng)以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

評(píng)析第（3）問(wèn)考查得比較直接，但是題目沒(méi)有給出圖形，需要學(xué)生先根據(jù)“題眼”和二次函數(shù)知識(shí)抽象出草圖.對(duì)于以二次函數(shù)為背景，考查相似三角形的試題，一般來(lái)說(shuō)學(xué)生需經(jīng)歷如下解題過(guò)程：抽象出圖形一設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)并求線段的長(zhǎng)（長(zhǎng)度需加絕對(duì)值）一找特殊條件（垂直）一利用相似結(jié)論分類(lèi)討論相似比一代值求解（注意含絕對(duì)值等式的求解方法）.總之，做此類(lèi)題時(shí)要注意找特殊條件，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)邊可能的情況，求出的線段長(zhǎng)度加絕對(duì)值可減少討論的次數(shù).

反思與建議

二次函數(shù)與三角形綜合是代數(shù)與幾何相結(jié)合命題的一種重要形式，注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本素養(yǎng)，要求學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)抽象能力，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.該題型一直以來(lái)是考生取得優(yōu)異成績(jī)的“攔路虎”，原因是二次函數(shù)壓軸題考查的知識(shí)點(diǎn)多、條件較隱蔽、計(jì)算量大且抽象，考生往往會(huì)出現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)混用、題意理解不透、條件挖掘不完整、計(jì)算失誤、分類(lèi)討論不全面等情況.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)改變傳統(tǒng)的應(yīng)試教學(xué)模式，提高教學(xué)靈活度，真切地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的能力.下面提幾點(diǎn)建議.

首先，教師應(yīng)注重直觀教學(xué).二次函數(shù)對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)比較抽象，而抽象源于具體，在教學(xué)中，教師要善于引入豐富的教學(xué)手段或進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)M，讓學(xué)生直觀地感受進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)生活化，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.如例1的第（2）問(wèn)，教師在講解時(shí)可借助幾何畫(huà)板利用面積函數(shù)演示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，S何時(shí)有最大值，讓學(xué)生直觀感知，調(diào)動(dòng)學(xué)生解題探究的興趣.

其次，教師應(yīng)注重學(xué)生的基礎(chǔ).該題型注重考查二次函數(shù)與三角形相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，只是綜合性較強(qiáng)，教學(xué)中部分教師可能出現(xiàn)過(guò)度重視解題技巧訓(xùn)練的誤區(qū).因此，教師在二次函數(shù)壓軸題的教學(xué)中，應(yīng)重視學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和應(yīng)用，注重學(xué)生相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)結(jié)，并幫助學(xué)生形成知識(shí)鏈.

最后，教師應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng).在該題型的教學(xué)中，教師要側(cè)重學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，要讓學(xué)生經(jīng)歷“審題→明確題意→思路探討→解題→總結(jié)解題策略”的過(guò)程，掌握常見(jiàn)題型中易出現(xiàn)的基礎(chǔ)知識(shí)、常涉及的基本技能和解題思路.