讓直觀想象根植在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中

羅宇軍

【摘要】本文結(jié)合直觀想象的相關(guān)理論，以“平面”第一課時(shí)為例，闡述在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)中如何滲透核心素養(yǎng)，旨在通過具體案例，論述如何在教學(xué)中滲透“直觀想象”素養(yǎng)的培養(yǎng)，為構(gòu)建以提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主旨的教學(xué)模式拋磚引玉.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；直觀想象；平面

一、關(guān)于直觀想象

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題.主要包括：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.通過直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的習(xí)慣，提升數(shù)形結(jié)合的能力，建立良好的數(shù)學(xué)直覺，理解事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律.

二、課堂教學(xué)的情境引入

世界500強(qiáng)面試題：公主到了出嫁的年齡，國(guó)王想找一個(gè)聰明人做自己的女婿.于是就在王宮門口貼出了一張告示，上面說：如果有人能夠種四棵樹，使得其中任意兩棵樹之間的距離相等，就將公主嫁給他.

多數(shù)學(xué)生會(huì)在平面內(nèi)思考而受阻，教師適時(shí)點(diǎn)撥，呈現(xiàn)如右圖所示的三棱錐.

適時(shí)引入：盡管我們初中學(xué)過平面幾何，但如果只局限在平面上，很多問題是解決不了的，這就是我們即將學(xué)習(xí)的一門新課程——立體幾何.

評(píng)析：通過問題的提出，很快把學(xué)生引入課堂上來，由于學(xué)生知識(shí)的局限性，學(xué)生對(duì)于這個(gè)問題一時(shí)反應(yīng)不過來，多數(shù)學(xué)生都設(shè)法在一個(gè)平面內(nèi)思考問題而無法獲得突破，從而形成學(xué)生認(rèn)知上的沖突，激發(fā)學(xué)生的研究興趣，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)應(yīng)注意學(xué)生的反應(yīng)，把學(xué)生的思維從平面引向空間，為學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)做好心理準(zhǔn)備.

三、講解新課

（一）平面的特點(diǎn)

思考1：請(qǐng)同學(xué)們利用類比學(xué)習(xí)的方法，由直線的特點(diǎn)，類比出平面的特點(diǎn)，直線的特點(diǎn)是：直，可向兩端無限延伸、無粗細(xì)之分；而平面的特點(diǎn)是：平，可向四周無限延展、無厚薄之分.

思考2：生活中的面以及常見的平面圖形與幾何中的平面是相同的嗎？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：區(qū)別是可度量與不可度量；聯(lián)系是平面圖形可以表示平面的一部分.

評(píng)析：由于學(xué)生對(duì)于直線知識(shí)很了解，而對(duì)于平面知識(shí)知道得不多，因此，抓住直線與平面之間的關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)平面正可謂是“恰到好處”.由于在后面的學(xué)習(xí)中要做出平面圖形，為避免學(xué)生把二者混為一談，有必要對(duì)二者加以區(qū)分，為下面的學(xué)習(xí)鋪平道路.

（二）平面的畫法

引導(dǎo)：大家還記得直線是怎樣畫的嗎？學(xué)生討論后出示如下畫面：

評(píng)析：由于直線的畫法學(xué)生非常熟悉，因此類比直線的畫法研究平面的畫法就使學(xué)生很容易理解.

思考3：把平面圖形放在空間中，它的位置可以是水平放置，也可以是豎直放置，不同的放置方法，它的畫法一樣嗎？在立體幾何中，通常畫平行四邊形來表示平面，出示教具，學(xué)生由觀察容易得出：當(dāng)平面豎直放置時(shí)，一般畫成矩形.

提問：當(dāng)平面水平放置時(shí)，應(yīng)畫成什么形狀呢？（由學(xué)生討論）然后通過幾何畫板課件引導(dǎo)學(xué)生觀察.

評(píng)析：由于幾何中的平面與現(xiàn)實(shí)中的平面的較大的不同，而在幾何的學(xué)習(xí)中又需要做出平面進(jìn)行研究，因此，為了作圖上的方便，作圖時(shí)可以用平面圖形來表示平面，這一解釋為我們后面的學(xué)習(xí)進(jìn)行了鋪墊.由于課件動(dòng)態(tài)顯示了平面圖形的不同位置，學(xué)生很容易觀察到：平行四邊形的銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)時(shí)最像.

結(jié)論：當(dāng)平面是水平放置的時(shí)候，通常把平行四邊形的銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng).

評(píng)析：豎直放置的平面，學(xué)生通過觀察很容易畫出，而水平放置的平面的直觀圖學(xué)生則不容易做出，因此，授課者在此利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)效果給學(xué)生展示豎直放置平面圖形水平放置的過程中變化的視覺效果，學(xué)生通過觀察歸納出水平放置的平面圖形的畫法，這一點(diǎn)非常經(jīng)典.

（三）平面的表示方法

1.點(diǎn)的表示：大寫的英文字母A，B，C；

2.線的表示：小寫的英文字母a，b，c，d或AB，CD.

評(píng)析：由于點(diǎn)用大寫英文字母表示，而線可由兩點(diǎn)確定，學(xué)生就不難理解直線可用兩個(gè)大寫英文字母表示，由此類比，平面可表示為多邊形，學(xué)生就很自然地想到平面可用多個(gè)大寫英文字母表示.另一方面，點(diǎn)可以用大寫英文字母表示，學(xué)生就不難理解直線可用小寫英文字母表示，由此類比，平面可表示為多邊形，學(xué)生就很自然地想到平面可用字母α，β，γ，…來表示.

練習(xí)：觀察（1）（2）（3）三個(gè)圖形模型說明它們的位置關(guān)系有什么不同：

學(xué)生討論后教師用實(shí)物教具幫助學(xué)生理解.通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的直觀圖的對(duì)比，初步建立學(xué)生的“空間感”！

練習(xí)：下圖中的平面中有無不正確的地方？應(yīng)如何糾正？

提問學(xué)生回答：

教師歸納總結(jié)：

畫空間圖形應(yīng)注意：畫兩個(gè)平面相交時(shí)，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫.

評(píng)析：對(duì)于剛剛學(xué)習(xí)立體幾何的學(xué)生來說，作圖便是他們最早面臨的第一道“門檻”，如何有效地控制學(xué)生在作圖過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，事先預(yù)防總比事后糾正要好得多，課后測(cè)試表明：98%的學(xué)生不會(huì)出現(xiàn)類似錯(cuò)誤.

探究：兩個(gè)相交平面的畫法.

教師出示兩個(gè)相交平面的實(shí)物教具（如圖）.

畫兩個(gè)相交平面的步驟：

1.畫出邊線AB，CD；

2.找交點(diǎn)M，作線段MN（兩個(gè)平面的交線）；

3.過A，B，C，D作MN的平行線段；

4.完成兩個(gè)平行四邊形；

5.看不到的線用虛線或擦去.

評(píng)析：利用課件立刻做出圖形，凸現(xiàn)實(shí)際的思考過程，并利用畫板的動(dòng)態(tài)拖拉技術(shù)，讓學(xué)生觀察，視覺化降低學(xué)生思考的外在負(fù)荷，使學(xué)生很容易理解整個(gè)圖形實(shí)際上是由AB，CD按一定方向拉伸得到，由此，學(xué)生就不難理解為什么先畫出邊線AB，CD了.

四、小結(jié)與反思

在課堂教學(xué)過程中，教師在實(shí)踐課堂教學(xué)之前應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：

1.教師對(duì)本節(jié)教學(xué)包含的數(shù)學(xué)原理和規(guī)律要有深刻的理解；

2.教師備課這一環(huán)節(jié)很重要，備學(xué)生就是認(rèn)識(shí)學(xué)生，就是要根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和可能達(dá)到的能力設(shè)計(jì)好相關(guān)的問題，注意層次，使學(xué)生始終處于思維激活狀態(tài)；

3.科學(xué)高效是課堂教學(xué)的最終目標(biāo)，教學(xué)過程中應(yīng)該注意在呈現(xiàn)知識(shí)的方法方式上力求因?qū)W生而變，選擇恰當(dāng)?shù)陌咐茖W(xué)提取案例所包含的原理和規(guī)律，另外還要關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，科學(xué)選擇恰當(dāng)?shù)妮o助方法，以最適合學(xué)生理解的數(shù)學(xué)語言，達(dá)到科學(xué)高效的教學(xué).