剖析建模策略，探究數(shù)學(xué)模型

婁愛玉

[摘? 要] “倡導(dǎo)知識應(yīng)用，發(fā)展模型意識”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要理念，教學(xué)中應(yīng)將數(shù)學(xué)建模作為重點，利用模型探究來提升學(xué)生的實踐能力，解決實際問題的能力. 文章深入剖析數(shù)學(xué)建模的意義，探索建模策略，結(jié)合實例探究不同模型的構(gòu)建過程.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;函數(shù);不等式;數(shù)列;三角形;策略

在新課改理念下，數(shù)學(xué)建模成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，圍繞數(shù)學(xué)建模開展探究活動成為重要的教學(xué)方式，也是對“學(xué)以致用”學(xué)科理念的深入貫徹，同時有利于提升學(xué)生的應(yīng)用意識和核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模實則是對現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)抽象，即使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)方法來構(gòu)建模型的過程. 其中的建模思想對于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)極為重要，可幫助學(xué)生理解知識本質(zhì)，掌握解題方法，為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 在建模教學(xué)中，要確立學(xué)生的主體地位，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生了解建模的過程，深刻領(lǐng)悟建模的知識與技能.

策略剖析

“抽象概括”是數(shù)學(xué)建模的核心所在，建模過程是一個完整的閉環(huán)，可分為“實際問題”“建立模型”“數(shù)學(xué)結(jié)果”和“實際結(jié)果”四個環(huán)節(jié)，建模流程如圖1所示. 總體而言，建模時要用數(shù)學(xué)語言來抽象概括實際問題，再從數(shù)學(xué)角度來反映實際問題，從而得出關(guān)于實際問題的數(shù)學(xué)描述.

實際建?？砂凑杖缦滤拇蟛襟E進(jìn)行：

第一步，讀題審題，理解實際問題;

第二步，引入數(shù)學(xué)符號，思考建模類型，建立數(shù)學(xué)模型（設(shè)定未知量的情形，只需分析對應(yīng)數(shù)學(xué)模型即可）;

第三步，利用對應(yīng)模型的性質(zhì)及方法解析模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)果;

第四步，結(jié)合實際情況轉(zhuǎn)譯數(shù)學(xué)結(jié)果，得出具體問題的答案.

建模過程需要注意以下幾點：

第一，充分分析實際問題，了解建模的目的;

第二，充分捕捉建模對象的特征，挖掘隱含的數(shù)學(xué)元素;

第三，緊抓主要因素，合理假設(shè)，結(jié)合關(guān)聯(lián)知識解析數(shù)學(xué)模型.

模型探究

高中數(shù)學(xué)中的模型類型較為多樣，通常隱含在與實際問題結(jié)合緊密的知識內(nèi)容中，常見有函數(shù)模型、不等式模型、數(shù)列模型和三角模型等，下面結(jié)合實例具體探究不同類型模型的構(gòu)建過程.

類型一：函數(shù)模型

例1：已知一片森林原有面積為a，現(xiàn)計劃每年砍伐一些，且每年砍伐的面積百分比相等. 當(dāng)砍伐到原面積的一半時，所用時間為10年;為保護(hù)生態(tài)，要至少保留原森林面積的 . 已知到2020年為止，森林剩余面積為原來的 ，試回答下列問題.

（1）試求每年砍伐森林面積的百分比;

（2）到2020年為止，該森林共砍伐了多少年？

（3）從2020年開始，該森林還可以砍伐多少年？

解析：本題目為森林砍伐面積問題，其中的百分比是重點，也是重要的未知量，分析可知該問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，利用函數(shù)知識來求解.

（1）可設(shè)每年砍伐森林面積的百分比為x（0

（2）到2020年為止，森林剩余面積為原來的 ，可據(jù)此構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，設(shè)砍伐了m年，則a（1-x）m= a，即? =? ，整理可得 = ，解得m=5，所以到2020年為止，該森林共砍伐了5年.

（3）核心條件是保留原森林面積的 ，現(xiàn)有森林面積為原來的 ，設(shè)還可砍伐n年，則有 （1-x）n≥ a，所以? ≥? ，解得n≤15，故從2020年開始，該森林還可以砍伐15年.

評析與總結(jié)：使用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)解題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷模型. 解題時要合理設(shè)定模型，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證. 對于涉及增長率的問題，常用的指數(shù)型函數(shù)模型為y=N（1+p）x（其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間），而冪型函數(shù)模型y=a（1+x）n（其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長率，n為時間）. 在探究學(xué)習(xí)時要把握對應(yīng)函數(shù)模型的性質(zhì)特征，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解析.

類型二：不等式模型

為保護(hù)環(huán)境，在國家的號召下某廠將廢棄物進(jìn)行回收處理，轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品. 經(jīng)過測算，處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似為y=x2-50x+900，并且處理1噸的廢棄物可獲得價值10萬元的某種產(chǎn)品，同時國家補(bǔ)貼10萬元，試回答下列問題.

（1）當(dāng)x∈[10，15]時，判斷工廠的回收轉(zhuǎn)化是否可以獲利？若可以，請求出最大利潤;若不能，請求出國家補(bǔ)貼多少萬元，才不致虧損.

（2）當(dāng)處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

解析：本題目為利潤與成本問題，題干已給出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，第（1）問解析利潤可使用對應(yīng)函數(shù)性質(zhì)，第（2）問解析處理量與成本之間的關(guān)系，可采用不等式的性質(zhì).

（1）設(shè)利潤為P，則P與x之間的關(guān)系為P=（10+10）x-y，整理可得P=-（x-35）2+325，x∈[10，15]. 由于x=35？埸[10，15]，P=-（x-35）2+325在[10，15]上為增函數(shù)，可求得P∈[-300，-75]，所以國家補(bǔ)貼75萬元，工廠就不會虧損.

（2）設(shè)每噸的平均處理成本為Q，則Q= =x+ -50≥2 -50=10，當(dāng)且僅當(dāng)x= 時等號成立. 由于x>0，可得x=30. 因此當(dāng)處理量為30噸時，每噸的處理成本最少，且為10萬元.

評析與總結(jié)：上述第（2）問使用均值不等式模型來解析其中的最值問題，均值不等式是高中數(shù)學(xué)重要的公式，不等式的成立含有一定的設(shè)定條件. 有時構(gòu)建不等式模型會借助函數(shù)，解題時可按照“提煉函數(shù)→構(gòu)建不等式模型→不等式性質(zhì)求解”的流程突破.

類型三：數(shù)列模型

例3：已知一種設(shè)備的單價為a元，設(shè)備維修和消耗費(fèi)用第一年為b元，以后每年增加b元（a和b均為常數(shù)），記設(shè)備年平均費(fèi)用=（設(shè)備單價+設(shè)備維修和消耗費(fèi)用）/設(shè)備的使用年數(shù)，回答下列問題.

（1）試求設(shè)備年平均費(fèi)用與設(shè)備使用年數(shù)的關(guān)系（用y表示設(shè)備年平均費(fèi)用，t表示設(shè)備使用年數(shù)）;

（2）當(dāng)a=112500，b=1000時，求設(shè)備的最佳更新年限.

解析：由題意可知，設(shè)備的維修和消耗費(fèi)可構(gòu)成等差數(shù)列，故后續(xù)分析可構(gòu)建等差數(shù)列模型，然后借助模型性質(zhì)求解.

（1）設(shè)備維修和消耗費(fèi)可構(gòu)成以b為首項，b為公差的等差數(shù)列，所以t年后設(shè)備維修消耗費(fèi)為b+2b+3b+…+tb= t，所以y= = + t+ .

（2）根據(jù)題意結(jié)合不等式可得結(jié)論 t+ ≥2 ，故y≥500+2 =15500，當(dāng)且僅當(dāng)t=15時，年平均消耗費(fèi)取得最小值，所以設(shè)備的最佳更新年限為15年.

評析與總結(jié)：數(shù)列是一種特殊的模型，既具有函數(shù)的遞變規(guī)律，又具有數(shù)的特性. 利用數(shù)列模型解析實際問題時，要把握題干中的遞變規(guī)律，關(guān)注變量取值條件. 高中數(shù)列模型最為常用的是等差和等比兩種模型，探究學(xué)習(xí)時要掌握數(shù)列的定義、通項公式及遞推方法，結(jié)合實際情形驗證結(jié)論.

類型四：三角模型

例4：如圖2所示，有一公路從正西方向通過城市中心的O點后轉(zhuǎn)向東北方OB. 現(xiàn)準(zhǔn)備修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)立一站A，在OB上設(shè)立一站B，∠AOB=135°. 鐵路在AB段部分視為是直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km. 試問：把A，B分別設(shè)在公路上距離市中心多遠(yuǎn)處，可使AB最短，并求出最短距離.

解析：本題目涉及了最值，與直角三角形密切相關(guān)，可構(gòu)建“三角”模型來研究最值.

過點O作AB的垂線，設(shè)垂足為點D，則OD=10，設(shè)∠DAO=α，則AD=10cotα，DB=10cot（45°-α），所以AB=AD+DB=10[cotα+cot（45°-α）]，整理可得AB= = ，當(dāng)45°-2α=0時，即α=22.5°時，AB最短，且最短距離為20（ +1），此時A，B距離市中心O為10 千米.

評析與總結(jié)：“三角”模型，即與三角形密切相關(guān)的幾何模型，對于涉及方位的實際問題常構(gòu)建“三角”模型，利用三角形邊長與角度之間關(guān)系，引用三角函數(shù)來突破. 構(gòu)建“三角”模型解題時需注意以下幾點：設(shè)定統(tǒng)一的坐標(biāo)方位;關(guān)注模型中的轉(zhuǎn)向角;靈活利用三角函數(shù)代換公式進(jìn)行變形.

總結(jié)思考

數(shù)學(xué)模型與生活實際緊密相關(guān)，利用模型解決實際問題，充分體現(xiàn)了知識的應(yīng)用價值. 上述所探究的函數(shù)模型、不等式模型、數(shù)列模型、“三角”模型是其中的典型代表，在建模解題時需要充分理解對應(yīng)知識的性質(zhì)特性，掌握模型構(gòu)建的方法策略，辨析模型與實際問題的區(qū)別. 下面提出幾點建議.

建議一，歸納整理類型，數(shù)學(xué)模型的類型眾多，即使是函數(shù)模型也包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等多種. 實際探究時要注意總結(jié)歸納，關(guān)注問題的變量關(guān)系和取值范圍.

建議二，重視模型聯(lián)系，不同模型之間存在一定的聯(lián)系，在特定條件下可互相轉(zhuǎn)化，這也是高中數(shù)學(xué)重要的考查內(nèi)容. 以上述探究為例，在例3辨析關(guān)系時構(gòu)建了等差數(shù)列模型，而求解最值時引入均值不等式，將其轉(zhuǎn)化為不等式模型，求出了最值. 因此探究學(xué)習(xí)時要注重知識拓展，關(guān)注模型聯(lián)系，完善模型體系.