廣東省廣州市番禺區(qū)實驗中學(511400) 潘神龍
“事件”是高中教材新課程人教A版必修3第三章《概率》中的基本概念,這個概念是建立所考察試驗的各種概率模型(“理論”)的基礎.事件的本質是集合,遵循集合的運算法則.在利用概率知識解決實際問題時,我們先理清事件之間的關系與運算,再確定概率之間的關系.
但是,在概率的學習中,“概率代表了事件”、“概率之間的關系可以確定事件之間的關系”這些隱蔽的錯誤觀念還是很常見.不少學生、甚至包括一些教師認為:概率為0的事件是不可能事件;概率為1的事件是必然事件;如果事件A與事件B滿足P(A∪B)=P(A)+P(B),那么事件A與事件B互斥;等等.這些錯誤的觀念一旦形成就很難糾正,不僅影響學生對“事件”、“概率”概念的理解,還會阻礙后續(xù)概念的學習.
在本文中,筆者列舉了10個常見的命題,并研究它們的逆命題,得到結論:在許多情況下,概率不能確定事件,概率之間的關系不能確定事件之間的關系.具體如下:
①事件A是不可能事件=?P(A)=0.
②事件A是必然事件=?P(A)=1.
③事件A包含事件B=?P(A)≥P(B).
④事件A與事件A相等B=?P(A)=P(B).
⑤事件A與事件A互斥=?P(A∪B)=P(A)+P(B).
⑥事件A1,A2,···,An互斥=?P(A1∪A2∪···∪An)=P(A1)+P(A2)+···+P(An).
⑦事件A與事件B互斥=?P(A)+P(B)≤1.
⑧事件A與事件B對立=?P(A)+P(B)=1.
⑨事件A,B,C互相獨立=?P(ABC)=P(A)P(B)P(C).
⑩事件A1,A2,···,An互相獨立=?P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An).
下面,我們將通過幾何概型中的具體例子—-“在[0,1]上隨機選取一個數(shù)x”,對這10個命題的逆命題進行研究.
如果事件A的對應區(qū)域是一個單點,由于單點的長度為0,P(A)=0.
例1事件A={x∈[0,1]|x=0.5},P(A)=0,但事件A不是不可能事件.
如果事件A的對應區(qū)域是整個樣本空間的對應區(qū)域去掉一個或有限個(甚至是可列個)點,那么P(A)=1.
例2事件A={x∈[0,1]|x0.5},P(A)=1,但事件A不是必然事件.
不可能事件與必然事件可看作是隨機事件的兩種特殊情況.不可能事件、概率為0的事件、必然事件、概率為1的事件之間的關系如下:
由此可知,不可能事件是概率為0的事件,反之不對.這是因為:若事件A是不可能事件,則事件A的對應區(qū)域是空集;若事件B是概率為0的事件,則事件B的對應區(qū)域的長度(本質上是測度)為0,即事件B的對應區(qū)域可以是空集、一個或有限個(甚至是可列個)點.
同理,必然事件是概率為1的事件,反之不對.
例3事件A1={x∈[0,1]|x>0.5},事件B1={x∈[0,1]|x=0.5},則P(A1)≥P(B1),但事件A1與事件B1互斥;事件A2={x∈[0,1]|x<0.5},事件B2={x∈[0,1]|x≥0.5},則P(A2)=P(B2),但事件A2和事件B2對立;事件A3={x∈[0,1]|x≤0.5},事件B3={x∈[0,1]|x≥0.5},則P(A3)=P(B3),但事件A3不包含事件B3.
一般的,若事件A包含事件B,令A-B表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,則P(A)≥P(B),且P(A-B)=P(A)-P(B).反過來,若“事件A,B,C滿足P(A)≥P(B),且P(C)=P(A)-P(B)”,并不能說明“A=B∪C,且事件B與事件C互斥”.
例4事件A1={x∈[0,1]|x<0.5},事件B1={x∈[0,1]|x>0.5},則P(A1)=P(B1),但事件A1和事件B1互斥;事件A2={x∈[0,1]|x<0.5},事件B2={x∈[0,1]|x≥0.5},則P(A2)=P(B2),但事件A2和事件B2對立;事件A3={x∈[0,1]|x≤0.5},事件B3={x∈[0,1]|x≥0.5},則P(A3)=P(B3),但事件A3與事件B3不相等.
⑥事件A1,A2,···,An互斥An)=P(A1)+P(A2)+···+P(An).
事實上,即使P(A)>0,P(B)>0,且P(A∪B)=P(A)+P(B),也不一定有事件A與事件B互斥.
例5事件A={x∈[0,1]|x≤0.5},事件B={x∈[0,1]|x≥0.5},則P(A∪B)=P(A)+P(B),但A∩B={0.5},事件A與事件B不是互斥.
一般的,根據(jù)概率容斥公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
反過來,若“事件A,B,C,D滿足P(C)=P(A)+P(B)-P(D)”,并不能說明“C=A∪B,且D=A∩B”.
事實上,P(A)>0,P(B)>0,且P(A)+P(B)=1,也不一定有事件A與事件B互斥(對立).
例6事件A={x∈[0,1]|x≤0.5},事件B={x∈[0,1]|x≥0.5},則P(A)+P(B)=1,但A∩B={0.5},事件A與事件B不是互斥(對立).
⑩事件A1,A2,···,An互相獨立P(A1)P(A2)···P(An).
例7事件事件B=事件則P(ABC)=P(A)P(B)P(C).但是,P(AB)P(A)P(B),P(AC)P(A)P(C),P(BC)P(B)P(C).所以,事件A,B,C不是互相獨立.
至此,以上10個命題的原命題均為真命題、逆命題均為假命題.這說明當我們確定概率之間的關系時,往往還不能確定事件之間的關系.
這是因為概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門學科是從數(shù)量的層面來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性,概率只是刻畫事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標.前蘇聯(lián)數(shù)學家A.H.柯爾莫戈洛夫認為,由純數(shù)學觀點來看,“概率”乃是“事件”的數(shù)值函數(shù),這個函數(shù)具有某些公理化所固定下來的性質[3].所以,概率與事件并不是一一對應的,更不是等價的.所以,在利用概率知識解決問題時,我們最好先理清事件之間的關系與運算,再確定概率之間的關系;反過來,卻不一定正確.