“概率”能確定“事件”嗎？

廣東省廣州市番禺區(qū)實驗中學(511400) 潘神龍

“事件”是高中教材新課程人教A版必修3第三章《概率》中的基本概念，這個概念是建立所考察試驗的各種概率模型(“理論”)的基礎.事件的本質是集合，遵循集合的運算法則.在利用概率知識解決實際問題時，我們先理清事件之間的關系與運算，再確定概率之間的關系.

但是，在概率的學習中，“概率代表了事件”、“概率之間的關系可以確定事件之間的關系”這些隱蔽的錯誤觀念還是很常見.不少學生、甚至包括一些教師認為：概率為0的事件是不可能事件;概率為1的事件是必然事件;如果事件A與事件B滿足P(A∪B)=P(A)+P(B)，那么事件A與事件B互斥;等等.這些錯誤的觀念一旦形成就很難糾正，不僅影響學生對“事件”、“概率”概念的理解，還會阻礙后續(xù)概念的學習.

在本文中，筆者列舉了10個常見的命題，并研究它們的逆命題，得到結論：在許多情況下，概率不能確定事件，概率之間的關系不能確定事件之間的關系.具體如下：

①事件A是不可能事件=?P(A)=0.

②事件A是必然事件=?P(A)=1.

③事件A包含事件B=?P(A)≥P(B).

④事件A與事件A相等B=?P(A)=P(B).

⑤事件A與事件A互斥=?P(A∪B)=P(A)+P(B).

⑥事件A1,A2,···,An互斥=?P(A1∪A2∪···∪An)=P(A1)+P(A2)+···+P(An).

⑦事件A與事件B互斥=?P(A)+P(B)≤1.

⑧事件A與事件B對立=?P(A)+P(B)=1.

⑨事件A,B,C互相獨立=?P(ABC)=P(A)P(B)P(C).

⑩事件A1,A2,···,An互相獨立=?P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An).

下面，我們將通過幾何概型中的具體例子—-“在[0,1]上隨機選取一個數(shù)x”，對這10個命題的逆命題進行研究.

如果事件A的對應區(qū)域是一個單點，由于單點的長度為0，P(A)=0.

例1事件A={x∈[0,1]|x=0.5},P(A)=0，但事件A不是不可能事件.

如果事件A的對應區(qū)域是整個樣本空間的對應區(qū)域去掉一個或有限個(甚至是可列個)點，那么P(A)=1.

例2事件A={x∈[0,1]|x0.5},P(A)=1，但事件A不是必然事件.

不可能事件與必然事件可看作是隨機事件的兩種特殊情況.不可能事件、概率為0的事件、必然事件、概率為1的事件之間的關系如下：

由此可知，不可能事件是概率為0的事件，反之不對.這是因為：若事件A是不可能事件，則事件A的對應區(qū)域是空集;若事件B是概率為0的事件，則事件B的對應區(qū)域的長度(本質上是測度)為0，即事件B的對應區(qū)域可以是空集、一個或有限個(甚至是可列個)點.

同理，必然事件是概率為1的事件，反之不對.

例3事件A1={x∈[0,1]|x＞0.5}，事件B1={x∈[0,1]|x=0.5}，則P(A1)≥P(B1)，但事件A1與事件B1互斥;事件A2={x∈[0,1]|x＜0.5}，事件B2={x∈[0,1]|x≥0.5}，則P(A2)=P(B2)，但事件A2和事件B2對立;事件A3={x∈[0,1]|x≤0.5}，事件B3={x∈[0,1]|x≥0.5}，則P(A3)=P(B3)，但事件A3不包含事件B3.

一般的，若事件A包含事件B，令A-B表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，則P(A)≥P(B)，且P(A-B)=P(A)-P(B).反過來，若“事件A,B,C滿足P(A)≥P(B)，且P(C)=P(A)-P(B)”，并不能說明“A=B∪C，且事件B與事件C互斥”.

例4事件A1={x∈[0,1]|x＜0.5}，事件B1={x∈[0,1]|x＞0.5}，則P(A1)=P(B1)，但事件A1和事件B1互斥;事件A2={x∈[0,1]|x＜0.5}，事件B2={x∈[0,1]|x≥0.5}，則P(A2)=P(B2)，但事件A2和事件B2對立;事件A3={x∈[0,1]|x≤0.5}，事件B3={x∈[0,1]|x≥0.5}，則P(A3)=P(B3)，但事件A3與事件B3不相等.

⑥事件A1,A2,···,An互斥An)=P(A1)+P(A2)+···+P(An).

事實上，即使P(A)＞0,P(B)＞0,且P(A∪B)=P(A)+P(B)，也不一定有事件A與事件B互斥.

例5事件A={x∈[0,1]|x≤0.5}，事件B={x∈[0,1]|x≥0.5}，則P(A∪B)=P(A)+P(B)，但A∩B={0.5}，事件A與事件B不是互斥.

一般的，根據(jù)概率容斥公式：

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

反過來，若“事件A,B,C,D滿足P(C)=P(A)+P(B)-P(D)”，并不能說明“C=A∪B，且D=A∩B”.

事實上，P(A)＞0,P(B)＞0,且P(A)+P(B)=1，也不一定有事件A與事件B互斥(對立).

例6事件A={x∈[0,1]|x≤0.5}，事件B={x∈[0,1]|x≥0.5}，則P(A)+P(B)=1，但A∩B={0.5}，事件A與事件B不是互斥(對立).

⑩事件A1,A2,···,An互相獨立P(A1)P(A2)···P(An).

例7事件事件B=事件則P(ABC)=P(A)P(B)P(C).但是，P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C).所以，事件A,B,C不是互相獨立.

至此，以上10個命題的原命題均為真命題、逆命題均為假命題.這說明當我們確定概率之間的關系時，往往還不能確定事件之間的關系.

這是因為概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門學科是從數(shù)量的層面來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，概率只是刻畫事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標.前蘇聯(lián)數(shù)學家A.H.柯爾莫戈洛夫認為，由純數(shù)學觀點來看，“概率”乃是“事件”的數(shù)值函數(shù)，這個函數(shù)具有某些公理化所固定下來的性質[3].所以，概率與事件并不是一一對應的，更不是等價的.所以，在利用概率知識解決問題時，我們最好先理清事件之間的關系與運算，再確定概率之間的關系;反過來，卻不一定正確.